Ćwiczenia 15 - Rozkład LR. Odwracanie macierzy.

Ćwiczenia 15 - Rozkład LR. Odwracanie macierzy.
1. Dla danej macierzy
4 −4 4 0
2
2 6 4
1 −3 9 6
3 −2 1 5


A=








6. Stosując metodę eliminacji Gaussa z częściowym wyborem elementów
podstawowych rozłożyć macierz
c) oblicz A−1 = R−1 L−1 .
2. Wyznacz rozkład LR dla macierzy A, a następnie w oparciu o ten
rozkład rozwiąż układ równań Ax = b, gdzie
1
1
0
3
2
1 −1
1
3 −1 −1
2
−1
2
3 −1






,b = 


4
3
5
−2

C=

1 1 1
1
2
1
3
3
2
3
2
1 2




 , b1 = 
3
7
2
13
3


0




 , b2 =  1  .
5
3
4. Stosując eliminację Gaussa z częściowym wyborem elementów podstawowych, wyznacz macierz permutacji P oraz macierze trójkątne L, R
takie, że P A = LR

0 1
0
2
2 1
 0
a) A = 

 1
2
1
1
0
1
2
0
0



,


2 0
2
1
0
0
1
0 2 −1
 0

b) A = 
 0

2 3
3
4
4 3
 6

A=
 0
2 3
0 6
4 0
3 10





na iloczyn macierzy górno i dolnie trójkątnej. Wykorzystać trzymany
h
iT
rozkład do rozwiązanie układu równań Ax = b gdzie b = 13 , 1, 2, 13
.
6


.

3. Wyznacz rozkład LR dla macierzy C, a następnie w oparciu o ten
rozkład rozwiąż układ równań Cx = bi , gdzie


na iloczyn macierzy górno i dolnie trójkątnej. Wykorzystać trzymany
rozkład do rozwiązanie układu równań Ax = b gdzie b = [4, −12, 0, −10]T .
b) znajdź rozkład trójkątny LR,

A=


2 −3
1
−6
1 −7 


7 −4 −1 
5 −13
9 −3
−1
 3
A=

 −2
a) podaj macierzowy przebieg eliminacji Gaussa,

5. Stosując metodę eliminacji Gaussa z częściowym wyborem elementów
podstawowych rozłożyć macierz
0
2
2
0



.

7. Stosując metodę eliminacji Gaussa z pełnym wyborem elementów podstawowych rozłożyć macierz A na iloczyn macierzy górno i dolnie trójkątnej. Wykorzystać trzymany rozkład do rozwiązanie układu równań
Ax = b, gdzie




1 3 2
1



A =  0 4 8 ,b =  2 
.
5 6 4
1
8. Wyznacz macierz odwrotną do macierzy A przy pomocy eliminacji
Gaussa




2 2 2 2
1 2
0
 0 1 1 1 



A=
.
 2 1 −1  , B = 
 2 2 4 4 
3 1
1
0 1 1 2
9. Podaj algorytm odwracania macierzy dolnietrójkątnej L z 1 na głównej przekątnej. Wyprowadź wzory na elementy macierzy odwrotnej do
macierzy górnietrójkątnej R.
10. Zaprogramuj obliczanie macierzy odwrotnej przy pomocy eliminacji
Gaussa.
162
163