wykład 9

Kratownice
Wieża Eiffel’a
Prof. Edmund Wittbrodt
Prof. Edmund Wittbrodt
Kratownica jest to konstrukcja nośna, składająca się z prętów połączonych ze sobą w węzłach. Kratownica może być:
1) płaska, gdy wszystkie pręty leżą w jednej płaszczyźnie,
2) przestrzenna, gdy pręty nie leżą w jednej płaszczyźnie.
Rozwiązywanie kratownicy polega na znalezieniu sił wewnętrznych w prętach dla danego obciążenia zewnętrznego
kratownicy.
Przy rozwiązywaniu kratownic najczęściej zakładamy:
1)
2)
3)
4)
siły są w równowadze, zarówno dla całej kratownicy jak i dla poszczególnych węzłów,
siły przyczepione są w węzłach kratownicy,
pręty połączone są w węzłach przegubami idealnymi, tj. bez tarcia,
kratownica jest sztywna, tzn. przy założeniu prętów jako doskonale sztywnych i przegubów idealnych, dwa dowolne
węzły nie mogą się przemieszczać względem siebie.
5)
Kryteria sztywności:
dla kratownicy płaskiej
p = 2w – 3,
(2.52a)
dla kratownicy przestrzennej
p = 3w – 6,
(2.52b)
gdzie: p – liczba prętów, w – liczba węzłów.
Gdy p < 2w – 3 dla kratownicy płaskiej, lub p < 3w – 6 dla przestrzennej, to kratownica jest niesztywna, natomiast gdy
p > 2w – 3 dla kratownicy płaskiej, lub p > 3w – 6 dla przestrzennej, to kratownica jest przesztywniona.
Prof. Edmund Wittbrodt
a)
P1 = P
P
a
b
b
a+ b
P2 = P
a
a+ b
⇒
b)
~ 10 % błąd
⇒
c)
kratownica
sztywna
3 = 2—3 – 3
kratownica
niesztywna
(chwiejna)
4 < 2—4 – 3
Założenia stosowane przy rozwiązywaniu kratownic: a) redukcja siły do węzłów, b) idealizacja przegubów, c) warunek sztywności
Prof. Edmund Wittbrodt
Metoda analityczna. Przy rozwiązywaniu kratownicy metodą analityczną należy:
1) sprawdzić warunek sztywności kratownicy,
2) po naniesieniu sił zewnętrznych działających na kratownicę, należy obliczyć reakcje podpór, traktując kratownicę jako
sztywną całość,
3) obliczyć siły wewnętrzne w prętach, pisząc warunki równowagi dla poszczególnych węzłów kratownicy.
Przykładowo, dla kratownicy przedstawionej na rysunku, obciążonej jak na rysunku, rozwiązanie przebiega następująco:
P1
II
α
y
h
Ax
P2
α
2
Ay
III
1
3
4
Przykładowa kratownica płaska złożona z 7 prętów oraz 5 węzłów
5
B
α
I
6
IV
7
A
7 = 2⋅5 – 3
ad 2)
M A = 2 Ba − P1
x
B
a
ad 1)
V
a
a
− P2 h = 0 ,
2
Wx = P2 + Ax = 0 ,
Wy = Ay + B − P1 = 0 ,
skąd:
Ax = − P2 ,
Ay =
3P1
h
− P2
4
2a
,
B=
P1
h
+ P2
4
2a
.
Prof. Edmund Wittbrodt
ad 3) na węzeł I działają siły
warunki równowagi węzła:
Wx = S6 + S2 cos α + Ax = 0 ,
Wy = S2 sin α + Ay = 0 ,
skąd wyznaczymy nieznane siły
S2
i S6 .
S1
i S3 .
na węzeł II działają siły
warunki równowagi węzła:
Wx = S1 + S3 cos α − S2 cos α = 0 ,
Wy = − P1 − S2 sin α − S3 sin α = 0 ,
skąd wyznaczymy nieznane siły
itd. dla pozostałych węzłów.
y
a)
b)
y
S2
Ay
α
Ax
I
II
x
S6
α
S2
P1
Siły działające w węzłach kratownicy: a) nr I, b) nr II
S1
x
α
S3
Prof. Edmund Wittbrodt
Metoda przekroi Rittera. Metoda ta jest wygodna, gdy nie interesują nas siły we wszystkich prętach kratownicy.
W metodzie tej:
1) przecinamy myślowo kratownicę na dwie oddzielne części, przy czym:
• nie możemy przeciąć więcej niż 3 pręty (dla kratownicy płaskiej)
• wszystkie przecięte pręty nie mogą się schodzić w jednym węźle
2) odrzucamy część kratownicy, zaś do pozostałej w miejsca przecięć przykładamy siły działające wzdłuż prętów
pręty należy ciąć tu
b)
a)
l
2
P1
O
y
2
x
α
6
P2
h
A
B
11
Przykładowa kratownica złożona z 11 prętów i 7 węzłów: a) schemat ogólny, b) myślowe przecięcie kratownicy
3) siły przyłożone do prętów dobieramy tak, aby rozważana część kratownicy pozostawała w równowadze:
Wx = − S2 − S11 − S6 cos α + P2 = 0
Wy = B + S6 sin α = 0
l
M O = B − S11h = 0
2
skąd wyznaczymy nieznane siły wewnętrzne S2 ,
S6
i
S11 .
Prof. Edmund Wittbrodt
Uwagi:
1) można przeciąć więcej niż 3 pręty, ale pod warunkiem, że oprócz jednego pozostałe są równolegle,
1
2
3
4
2) przy złożonych kratownicach jeden przekrój może być niewystarczający, np.
P1
1
P2
2
6
A
I
II
B
3
5
A
4
M AI = f1 ( S1 , S4 , P1 , A) ,
B
M BII = f 2 ( S1 , S4 , P2 , B ) ,
skąd obliczamy siły
S1
i
S4 .
Prof. Edmund Wittbrodt
Układy statycznie wyznaczalne i inne
Układ, w którym ogólna liczba nałożonych więzi w (niewiadomych sił reakcji) jest równa liczbie możliwych do napisania
równań r nazywamy układem statycznie wyznaczalnym (izostatycznym, sztywny). W układzie takim liczba stopni
swobody s=r-w jest zerowa (s=0).
Oznaczono: s – liczba stopni swobody
r – liczba równań do dyspozycji
w – liczba nieznanych sił reakcji więzi
Liczbę równań do dyspozycji obliczamy:
r = 3 ⋅ n - układ płaski
r = 6 ⋅ n - układ przestrzenny
gdzie: n - liczba brył (ciał)
R2
R3
Układ statycznie wyznaczalny
R1
w = r, tj.
s=0
Prof. Edmund Wittbrodt
Jeżeli rozpatrywany układ ma więcej niewiadomych niż równań, to niewiadomych tych nie da się wyznaczyć metodami
mechaniki ogólnej. Układ taki nazywać będziemy układem statycznie niewyznaczalnym (hiperstatycznym,
przesztywniony). Niewiadome w takich układach mogą być wyznaczone tylko przy założeniu odkształcalności.
Zagadnieniami tymi zajmuje się „wytrzymałość materiałów”.
Układ statycznie niewyznaczalny
R2
R1
R4
R3
w > r, tj.
s<0
Jeżeli liczba niewiadomych w układzie jest mniejsza niż liczba równań, to układ taki nazywamy układem chwiejnym
(hipostatycznym, niedosztywniony). Układami chwiejnymi są wszelkiego rodzaju mechanizmy. Takimi układami zajmuje
się „teoria maszyn i mechanizmów”.
R2
R1
w < r, tj.
s>0
W mechanice ogólnej zajmować się będziemy układami statycznie wyznaczalnymi.
Prof. Edmund Wittbrodt
Określanie statycznej wyznaczalności układu
c = 4 – liczba ciał
ciało 1
ciało 2
p = 6 – liczba
wi – liczba odebranych stopni swobody
(reakcji więzów) w i-tym podparciu
ciało 3
ciało 4
rc – liczba stopni swobody ciała
swobodnego dla układu płaskiego
(rc=6 – dla układu przestrzennego)
podparcie 1
w1=3
podparcie 2
w2=2
podparcie 3
w3=1
podparcie 4
w4=2
podparcie 5
w5=2
podparcie 6
w6=1
r = c rc = 4 3 = 12
r > w – układ chwiejny
6
w = ∑ wi = 3 + 2 + 1 + 2 + 2 + 1 = 11
i =1
s= r - w = 12 – 11 = 1 – w układzie pozostaje wolny jeden stopień swobody
Ponieważ
s > 0 , to układ jest chwiejny (mechanizm).
Prof. Edmund Wittbrodt