wykład 8

Tarcie cięgien
Rozważmy sytuację, w której cięgno przerzucone jest przez bęben. Dane są: R – promień bębna,
współczynnik tarcia pomiędzy cięgnem a bębnem.
ϕ–
kąt opasania,
µ
–
dα
ϕ
(cięgno czynne)
α
R
cięgno
S
bęben
Siły działające na cięgno
(cięgno bierne)
SO
Określić chcemy zależność pomiędzy siłami przyłożonymi do końców cięgna tak, aby nie nastąpił poślizg cięgna
względem bębna. W tym celu rozważamy wycinek bębna z zaznaczeniem sił działających na cięgno. Z warunków
równowagi sił na kierunek styczny i normalny mamy:
S + dS
dα
2
dα
dα
+ dT + S cos
=0,
2
2
(2.32a)
dα
dα
+ ( S + dS )sin
=0.
2
2
(2.32b)
Wt = −( S + dS ) cos
dN
dα
Wn = −dN + S sin
dT
Rozkład sił działających na elementarny fragment cięgna
n
S
dα
2
t
Prof. Edmund Wittbrodt
Przy założeniu małych kątów
dα
możemy przyjąć uproszczenia:
sin
d α dα
≈
2
2
,
cos
dα
dα
≈ 1 , dS
≈ 0,
2
2
co po podstawieniu do
(2.32) daje układ równań:
dT − dS = 0 ,
dN − Sdα = 0
(2.33)
Aby rozwiązać ten układ, który zawiera trzy niewiadome, przyjmujemy graniczny stan równowagi, a zatem
dT = µ dN
.
(2.34)
Z układu trzech równań (2.33a, 2.33b) i (2.34) otrzymujemy
dS
= µ dα
S
,
(2.35)
co po scałkowaniu daje
S = Ae µα ,
(2.36)
gdzie A jest stałą całkowania.
Stałą całkowania A określimy z następujących warunków brzegowych (rys.): gdy: α = 0, S = S0; α = ϕ, S = S, które po
podstawieniu do (2.36) dają:
A = S0, α = ϕ.
Prof. Edmund Wittbrodt
Zatem wzór (2.36) przyjmuje ostateczną postać (dla tarcia granicznego)
S = S0 e µϕ
,
gdzie: S – siła przyłożona do cięgna czynnego (ciągnącego), S
(2.37)
= S0 – siła przyłożona do cięgna biernego (ciągnionego),
µ – współczynnik tarcia, ϕ – kąt opasania bębna.
Moment przenoszony przez przekładnię pasową obliczamy (dla tarcia granicznego, maksymalny):
M = S o R (e µϕ − 1)
Prof. Edmund Wittbrodt
Opory toczenia
Podczas toczenia walca po płaszczyźnie mamy do czynienia z innym rodzajem oporów. Tłumaczymy je odkształcalnością
podłoża i samego walca. W związku z powyższym reakcja normalna podłoża jest przesunięta o wielkość f.
y
Siły działające na toczący się walec
r
P
Z sumy momentów względem punktu O mamy
Q
T
O
− Pr + Nf = 0 ,
f
skąd
P=N
f
r .
N
(2.38)
Jeżeli toczenie odbywa się bez poślizgu, to suma rzutów sił na kierunek osi x równa jest
a zatem
T = P.
x
Wx = P − T = 0 ,
(2.39)
Toczenie odbywa się bez poślizgu dopóki siła tarcia spełnia warunek
T ≤ µN .
(2.40)
Z sumy rzutów na kierunek osi y mamy
N =Q.
(2.41)
Prof. Edmund Wittbrodt
Po podstawieniu (2.41), (2.39), (2.38) do (2.40), otrzymujemy warunek toczenia się walca bez poślizgu w postaci
f ≤ µr .
(2.42)
W tabeli podano wartości współczynników oporu toczenia f dla niektórych par materiałów.
Wartości współczynników oporu toczenia f dla niektórych par materiałów
rodzaje materiałów
koło żeliwne po żeliwie
koło stalowe po stali
koło drewniane po drewnie
koło drewniane po kamieniu
koło ze stali hartowanej po
stali hartowanej
koło samochodowe po asfalcie
koło samochodowe po gruncie
trawy
f [mm]
0,05
0,05
0,5–1,5
1,3
0,005–0,01
2,4
10–15
Prof. Edmund Wittbrodt