Wstęp do topologii –Praca domowa nr 2 Zadanie 0.1. Czy funkcja f

Wstęp do topologii –Praca domowa nr 2
Zadanie 0.1. Czy funkcja f : R → R określona wzorem f (x) = 7x − 5 jest ciągła jeśli:
a) dX jest metryką zero-jedynkową, a dY metryką naturalną?
b) dY jest metryką zero-jedynkową, a dX metryką naturalną?
c) dX oraz dY jest metryką zero-jedynkową?
d) dX oraz dY jest metryką naturalną?
Zadanie 0.2. Czy funkcja f : R → R określona wzorem
(
5 gdy x > 0
f (x) =
jest ciągła jeśli:
0 gdy x ≥ 0
a) dX jest metryką zero-jedynkową, a dY metryką naturalną?
b) dY jest metryką zero-jedynkową, a dX metryką naturalną?
c) dX oraz dY jest metryką zero-jedynkową?
d) dX oraz dY jest metryką naturalną?
Zadanie 0.3. Czy funkcja f : R → R określona wzorem
(
x2 + 1 gdy x > 1
f (x) =
jest ciągła jeśli:
3
gdy x ≤ 1
a) dX jest metryką zero-jedynkową, a dY metryką naturalną?
b) dY jest metryką zero-jedynkową, a dX metryką naturalną?
c) dX oraz dY jest metryką zero-jedynkową?
d) dX oraz dY jest metryką naturalną?
Zadanie 0.4. Niech X = Y = R , dX jest metryką naturalną, zaś
(
|y1 − 2| + |y2 − 2| gdy y1 6= y2
dY (y1 , y2 ) =
0
gdy y1 = y2 .
Czy funkcja f : X → Y określona wzorem f (x) = 3x jest ciągła? Czy jest ona homeomorfizmem?
Zadanie 0.5. Niech X = Y = [0, ∞), dY jest metryką naturalną, zaś
(
y1 + y2 gdy y1 6= y2
dX (y1 , y2 ) =
0
gdy y1 = y2 .
Sprawdź czy funkcja f : X → Y określona wzorem f (x) = x jest ciągła. Czy jest ona
homeomorfizmem?
Zadanie 0.6. Niech X = {−1} ∪ (0, 1], Y
Sprawdź czy funkcja f : X → R określona
(
x
f (x) =
0
= [0, 1], dX oraz dy jest metryką naturalną.
wzorem
gdy x > 0
gdy x = −1.
jest ciągła? Czy jest ona homeomorfizmem?
Zadanie 0.7. Niech X = Y = [0, ∞), dX jest metryką naturalną, zaś
(
3y1 + 3y2 gdy y1 6= y2
dY (y1 , y2 ) =
0
gdy y1 = y2 .
Sprawdź czy funkcja f : X → Y określona wzorem f (x) = x jest ciągła w punkcie
x1 = 0 oraz w punkcie x2 = 2.
Zadanie 0.8. Niech X = Y = R, dX jest metryką naturalną, zaś
(
|y1 + 2| + |y2 + 2| gdy y1 6= y2
dY (y1 , y2 ) =
0
gdy y1 = y2 .
Sprawdź czy funkcja f : X → Y określona wzorem f (x) = x jest ciągła w punkcie
x1 = 0 oraz w punkcie x2 = −2.
Zadanie 0.9. Niech X = Y = R, dX oraz dY jest metryką naturalną. Sprawdź czy
funkcja f : X → Y określona wzorem
(
x2 gdy x ∈ Q
f (x) =
0 gdy x ∈
/ Q.
jest ciągła w punkcie x1 = 0 oraz w punkcie x2 = −2.
Zadanie 0.10. Niech X = Y = R, dX oraz dY jest metryką naturalną. Sprawdź czy
funkcja f : X → Y określona wzorem
(
0 gdy x ∈ Q
f (x) =
x3 gdy x ∈
/ Q.
jest ciągła w punkcie x1 = −1 oraz w punkcie x2 = 2.
Renata Wiertelak
2