Topologia

Topologia
Matematyka WPPT
semestr letni 2010/2011
Lista 4
1. Pokaż, że następujące warunki są równoważne ciągłości funkcji f : X → Y , gdzie X, Y
– przestrzenie metryczne:
(a) Dla każdego B ⊂ Y zachodzi f −1 (B) ⊂ f −1 (B).
(b) Dla każdego B ⊂ Y zachodzi f −1 (Int (B)) ⊂ Int f −1 (B) .
(c) Dla każdej kuli otwartej w Y jej przeciwobraz jest zbiorem otwartym w X.
2. Niech f : X → R będzie funkcją ciągłą na przestrzeni metrycznej X. Udowodnij, że
zbiór rozwiązań równania f (x) = 0 jest domknięty w X.
3. Które z wymienionych poniżej odwzorowań są ciągłe:
(a) f 7→ 01 f (x) dx z przestrzeni C([0, 1]) z metryką maksimum w R,
(b) f →
7 f 0 z przestrzeni C 1 ([0, 1]) funkcji określonych na odcinku [0, 1], mających ciągłą
pochodną, z metryką maksimum, w C([0, 1]), też z metryką maksimum.
R
4. Które z następujących par przestrzeni są homeomorficzne?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(0, 1) i (0, +∞), obie z metryką euklidesową;
(0, 1) i (0, 1) ∪ (1, 2), obie z metryką euklidesową;
R i [0, 1], obie z metryką euklidesową;
{ n1 : n ∈ N} ∪ {0} i { n1 : n ∈ N} ∪ {− n1 : n ∈ N} ∪ {0}, obie z metryką euklidesową;
R z metryką euklidesową i z metryką dyskretną.
5. Pokaż, że:
(a) Dowolny kwadrat (sam brzeg) i dowolony okrąg (też tylko brzeg) w R2 z metryką
euklidesową są homeomorficzne i homeomorfizm pomiędzy nimi h, a także h−1 , są
funkcjami jednostajnie ciągłymi.
(b) Koło domknięte bez środka i koło domknięte z usuniętym mniejszym kołem domkniętym o tym samym środku w R2 z metryką euklidesową są homeomorficzne,
ale tym razem homeomorfizm nie jest funkcją jednostajnie ciągłą.
6. Powiedz, kiedy dwie przestrzenie metryczne z metryką dyskretną są homeomorficzne.
7. Pokaż, że:
(a) Jeśli przekształcenie f : X → Y (X i Y – przestrzenie metryczne) jest izometrią,
to jest homeomorfizmem.
(b) Przekształcenie identycznościowe z X z metryką d w X z inną metryką ρ nie musi
być homeomorfizmem.
8. Pokaż, że R2 z metrykami maksimum i taksówkową są nie tylko homeomorficzne (to
wynika z zadania 8. z 2. listy), ale wręcz izometryczne.
9. Uzasadnij, że jeśli d jest metryką, to ρ(x, y) := arc tg(d(x, y)) też jest metryką (na
tym samym zbiorze). Następnie, korzystając z tego faktu, pokaż, że każda przestrzeń
metryczna nieograniczona jest homeomorficzna z pewną przestrzenią ograniczoną.