Funkcje

Funkcje- cz.1
1. W ilocznie kartezjańskim X × Y dana jest relacje R. Zbadaj, czy ta relacje jest
funkcją.
(a) X- zbiór mieszkańców Polski posiadających PESEL, Y = N+ . Człowiek x jest
w relacji z liczbą naturalną y gdy y jest jego numerem PESEL.
(b) X = Y - zbiór wszystkich ludzi. Człowiek x jest w relacji z człowiekiem y gdy y
jest dzieckiem x.
(c) X- zbiór wszystkich ludzi , Y = N. Człowiek x jest w relacji z liczbą naturalną
y, gdy y jest liczbą jego dzieci.
(d) X = Y - zbiór wszystkich ludzi. Człowiek x jest w relacji z człowiekiem y gdy y
jest rodzicem x.
(e) X = Y = R, R = {(x, y) : x2 = y 2 }
(f) X = Y = R+ , R = {(x, y) : x2 = y 2 }
2. Określamy trzy funkcje przekształcające zbiór R w zbiór R w następujący sposób:
f (x) = x3 − 4x,
g(x) =
x2
1
, h(x) = x4
+1
Znajdź:
(a) f ◦ g ◦ h
(b) f ◦ h ◦ g
(c) h ◦ g ◦ f
(d) f ◦ f
(e) g ◦ g
(f) g ◦ h
3. Pokaż, że jeśli f : S −→ T i g : T −→ U są funkcjami różnowartościowymi, to
funkcja g ◦ f jest też różnowartościowa.
4. Udowodnij, że złożenie funkcji jest łączne.
5. Weźmy funkcjie f i g przekształcające zbiór Z w zbiór Z, gdzie f (n) = n − 1, a g
jest funkcją charakterystyczną χE zbioru E = {n ∈ Z : n jest parzysta }
(a) Oblicz (g ◦ f )(5), (g ◦ f )(4), (f ◦ g)(7), (f ◦ g)(8)
(b) Oblicz (f ◦ f )(11), (f ◦ f )(12), (g ◦ g)(11), (g ◦ g)(12)
(c) Wyznacz funkcje g ◦ f oraz f ◦ f
1
6. Dane są zbiory funkcji :
A = {+, ◦, succ, Id}, B = {reverse, length, double, head, tail}
Zbuduj używając funkcji ze zbioru A
(a) f (n) = n2 , f : N −→ N
(b) f (n) = n2 + 2n + 1, f : N −→ N
(c) f (n) = 3n2 + 4n + 2, f : N −→ N
2