Obliczanie jakim procentem liczby a jest liczba b - darmowy e

Obliczanie jakim procentem
jednej liczby jest druga liczba
Przedmowa
Początek tego opracowania jest napisany z myślą o uczniach szkół podstawowych którzy całkowicie nie rozumieją o co chodzi w procentach, a pozostała część jest przeznaczona dla gimnazjalistów oraz osób starszych
które chcą sobie przypomnieć wszystko na ich temat. Prawie wszystko co tu znajdziesz jest wyjaśnione „na
chłopski rozum” z zachowaniem poprawności matematycznej.
Pełną wersję tego opracowania znajdziesz tu:
http://matematyka.strefa.pl/procenty_i_promile.pdf
Opracowanie
Przypuśćmy, że chcesz obliczyć jakim procentem liczby 12 jest liczba 6. Bez obliczeń wiesz, że 6 to 50% liczby 12.
W zadaniach które będziesz rozwiązywać, trzeba to jednak wyliczyć. Nie wolno zgadywać. No i pytanie jak to zrobić?
Sposób 1: Układasz równanie wynikające bezpośrednio z treści zadania:
z użyciem symbolu %
bez używania symbolu %
‫ ݔ‬ᇣ
zᇧ
liczby
ᇤᇧᇥ 12 = 6
ż
‫ ⋅ ݔ‬12 = 6 /: 12
‫=ݔ‬
Symbol % nie wyszedł w wyniku końcowym, bo był
napisany w pierwszej linijce.
6
1
50
= =
12 2 100
‫ = ݔ‬50%
Sposób 2: Skoro wiesz, że ma Ci wyjść wynik 50% czyli , więc zauważasz, że dzieląc liczbę 6 przez 12 dostaniesz ty
le ile potrzebujesz, czyli . Układasz więc działanie:
6
⋅ 100%
12
i je obliczasz:
Jeśli dysponujesz kalkulatorem, obliczenie wyniku możesz zrobić w taki sposób:
6
⋅ 100% = 0,5 ⋅ 100% = 50%
12
Przypominam, że przy mnożeniu przez 100 przecinek przesuwa się o 2 miejsca w prawo.
Wersja z dnia: 08.09.2011
http://matematyka.strefa.pl
Jak obliczać procenty? Jak wykonuje się obliczanie jakim procentem jednej liczby jest druga liczba? Są tu rozwiązane zadania i ćwiczenia do samodzielnego policzenia. To jest darmowy e-book pdf. Download to opracowanie.
Procenty — strona 1
Jak widać, szybszy jest sposób 2. Jest z nim tylko jeden problem. Otóż niektórym osobom sprawia kłopot
ustalenie którą z dwóch liczb napisać nad kreską ułamkową a którą pod nią. Można to łatwo ominąć:
— jeśli chcesz otrzymać wynik mniejszy od 100%, to nad kreską ułamkową napisz mniejszą z dwóch liczb
— jeśli chcesz otrzymać wynik większy od 100%, to nad kreską ułamkową napisz większą z dwóch liczb
Sposób 3: Wypisujesz dane w odpowiedni sposób i układasz jedną z dwóch proporcji:
z użyciem symbolu %
100% —
‫ݔ‬%
—
%
%
=
bez używania symbolu %
12
To są dane na podstawie których będzie ułożona proporcja.
6
%
To jest poprawnie ułożona proporcja do tego zadania.
=
2 = 100 /: 2
100% —
‫ݔ‬
—
%
Powyższa proporcja po odpowiednich skróceniach.
Zastosowano mnożenie po skosie.
=
12
6
To jest poprawnie ułożona proporcja.
=
Skrócono liczbę 12 z liczbą 6.
2 = 100% /: 2
= 50
To są dane które posłużą do ułożenia proporcji.
Zastosowano mnożenie po skosie.
= 50%
Symbol % nie wyszedł w wyniku końcowym, bo był wypisany w danych.
Symbol % wyszedł w wyniku końcowym, bo nie był napisany w danych.
Zadanie: Jakim procentem liczby 16 jest liczba 10?
Analiza treści zadania
Skoro liczba 10 jest mniejsza od liczby 16, więc oczekujesz wyniku mniejszego od 100%. Zatem nad kreską ułamkową musisz napisać liczbę 10, a pod nią liczbę 16. By otrzymać wynik w procentach, musisz zapisany ułamek zamienić na procenty. Najszybciej zrobisz to mnożąc go przez 100%.
Rozwiązanie
bez układania proporcji
z układaniem proporcji
100% —
‫ݔ‬
—
%
%
16
10
To są dane które posłużą do ułożenia proporcji.
= To jest poprawnie ułożona proporcja.
=
8 = 500% /: 8
Skrócono liczbę 16 z liczbą 10.
Zastosowano mnożenie po skosie.
= 62,5%
Odp. Liczba 10 stanowi 62,5% liczby 16.
Wynik wyszedł mniejszy od 100%, bo 10 < 16.
Wersja z dnia: 08.09.2011
http://matematyka.strefa.pl
Jak obliczać procenty? Jak wykonuje się obliczanie jakim procentem jednej liczby jest druga liczba? Są tu rozwiązane zadania i ćwiczenia do samodzielnego policzenia. To jest darmowy e-book pdf. Download to opracowanie.
Procenty — strona 2
Zadanie: Jakim procentem liczby 16 jest liczba 18?
Analiza treści zadania
Skoro liczba 18 jest większa od liczby 16, więc oczekujesz wyniku większego od 100%. Zatem nad kreską
ułamkową musisz napisać liczbę 18, a pod nią liczbę 16. By otrzymać wynik w procentach, musisz zapisany ułamek zamienić na procenty. Najszybciej zrobisz to mnożąc go przez 100%.
Rozwiązanie
bez układania proporcji
z układaniem proporcji
100% —
‫ݔ‬
—
%
%
=
=
16
18
To są dane które posłużą do ułożenia proporcji.
To jest poprawnie ułożona proporcja.
8 = 900% /: 8
Skrócono liczbę 16 z liczbą 18.
Zastosowano mnożenie po skosie.
= 112,5%
Odp. Liczba 18 stanowi 112,5% liczby 16.
Wynik wyszedł większy od 100%, bo 18 > 16.
Ćwiczenie:
Jakim procentem liczby 20 jest liczba
a) 5
b) 8
c) 12
d) 14,5
e) 20
a) 25
b) 38
c) 42
d) 62,5
e) 100
a) 5
b) 10
c) 15
d) 20
e) 25
[Odp. a) 25%, b) 40%, c) 60%, d) 72,5%; e) 100%.]
Ćwiczenie:
Jakim procentem liczby 20 jest liczba
[Odp. a) 125%, b) 190%, c) 210%, d) 312,5%; e) 500%.]
Ćwiczenie:
Jakim procentem liczby 15 jest liczba
[Odp. a) 33,(3)%, b) 66,(6)%, c) 100%, d) 133,(3)%; e) 166,(6)%.]
Ćwiczenie:
Jakim procentem liczby 7 jest liczba 3? Wynik zaokrąglij do rzędu części setnych. [Odp. 42,86%.]
Ćwiczenie:
Jakim procentem liczby 7 jest liczba 19? Wynik zaokrąglij do rzędu części setnych. [Odp. 271,43%.]
Ćwiczenie:
Jakim procentem liczby 23,5 jest liczba 14,1? [Odp. 60%.]
Ćwiczenie:
Jaki procent 375 cm stanowi 15 cm? [Odp.: 4%.]
Ćwiczenie:
Jakim procentem 4 m jest 15 cm? [Podpowiedź. Zamień 4 m na centymetry. Odp.: 3,75%.]
Ćwiczenie:
Jakim procentem 7 kg jest 14 dag? [Podpowiedź. Zamień 7 kg na dekagramy. Odp.: 2%.]
Ćwiczenie:
Jaki procent wszystkich kółek stanowią kółka zielone? Jakim procentem sumy kółek pomarańczowych i niebieskich jest liczba kółek zielonych? [Odp. 25%, 33,(3)%.]
Ćwiczenie:
Diagram kołowy podzielono na 24 równe części. Kolorem żółtym zamalowano
2 sąsiadujące ze sobą kawałki, czerwonym 3, zielonym 4, niebieskim 6, zaś pomarańczowym 9. Jakie
wartości procentowe przedstawia ten diagram kołowy? [O diagramach kołowych możesz przeczytać na stronie
Błąd! Nie zdefiniowano zakładki..] [Odp.: 8,(3)%; 12,5%; 16,(6)%; 25%; 37,5%.]
Ćwiczenie:
Przez 6 dni kwietnia padał śnieg. Jaki procent kwietnia stanowią dni w których padał śnieg? [Podpowiedź. Ile
dni ma kwiecień? Odp. 20%.]
Ćwiczenie:
Filip na 70 rzutów do kosza trafił tylko 14 razy. Jaką procentową skuteczność miał Filip? [Odp. 20%.]
Ćwiczenie:
Na początku 2009 roku Państwowa Inspekcja Handlowa poinformowała, że na 1800 skontrolowanych
stacji benzynowych w Polsce, 140 sprzedawało paliwo złej jakości. Jaki procent skontrolowanych stacji
benzynowych stanowiły stacje sprzedające paliwo złej jakości? [Odp. 7,(7)%.]
Ćwiczenie:
Klasa liczy 24 uczniów, w tym 15 dziewczyn. Jaki procent uczniów tej klasy stanowią chłopcy? [Odp. 37,5%.]
Wersja z dnia: 08.09.2011
http://matematyka.strefa.pl
Jak obliczać procenty? Jak wykonuje się obliczanie jakim procentem jednej liczby jest druga liczba? Są tu rozwiązane zadania i ćwiczenia do samodzielnego policzenia. To jest darmowy e-book pdf. Download to opracowanie.
Procenty — strona 3
Ćwiczenie:
Klasa liczy 30 uczniów. Jeden z uczniów tej klasy wyprawił w domu swoje urodziny na które zaprosił całą swoją klasę. Na przyjęcie przyszło tylko 12 osób z jego klasy. Jaki procent całej klasy stanowią osoby
które nie przyszły na przyjęcie urodzinowe? [Podpowiedź. Ile osób z jego klasy zostało zaproszonych? Odp. 56,(6)%.]
Ćwiczenie:
W gimnazjum powiatowym uczy się 520 uczniów. 442 uczniów tego gimnazjum nigdy nie było poza
granicami Polski. Jaki procent uczniów tego gimnazjum stanowią uczniowie którzy byli choć raz poza
granicami Polski? [Podpowiedź. Ile uczniów tego gimnazjum było choć raz poza granicami Polski? Odp. 15%.]
Ćwiczenie:
Na kurs języka rosyjskiego zapisało się 60 osób. Wśród nich było 24 mężczyzn. Jaki procent wszystkich
słuchaczy stanowiły kobiety? [Podpowiedź. Ile kobiet zapisało się na ten kurs? Odp. 60%.]
Ćwiczenie:
Podstawa trójkąta ma długość 8 cm, a wysokość opuszczona na tę podstawę 5 cm. Bok kwadratu jest
równy 6 cm. Jaki procent pola trójkąta stanowi pole kwadratu? [Odp. 180%.]
Ćwiczenie:
Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość 6 cm, a wysokość opuszczona na tę podstawę 4 cm.
Bok kwadratu jest równy długości ramienia tego trójkąta. Jaki procent pola kwadratu stanowi pole
trójkąta? [Podpowiedź. Wykorzystaj tw. Pitagorasa do wyliczenia długości ramienia trójkąta lub dopatrz się trójkąta egipskiego. Odp. 48%.]
Ćwiczenie:
Jaki procent pola kwadratu stanowi pole trójkąta równobocznego zbudowanego na boku tego kwadratu? Wynik zaokrąglij do rzędu części setnych. [Odp. 25√3% ≈ 43,30%.]
Ćwiczenie:
Jakim procentem liczby 15 jest suma jej wszystkich dzielników dodatnich? [Odp. 160%.]
Ćwiczenie:
Po zakończeniu suszenia grzybów z 25 kg zrobiło się 2,25 kg grzybów suszonych. Jakim procentem masy świeżych grzybów była masa wody która wyparowała? [Odp. 91%.]
Ćwiczenie:
W pewnej szkole uczy tylko 6 nauczycieli. Zapytano uczniów jednej klasy, którego nauczyciela lubią
najbardziej. Przedstaw poniższe wyniki za pomocą procentowego wykresu kolumnowego.
Ćwiczenie:
nauczyciel 1
nauczyciel 2
nauczyciel 3
nauczyciel 4
nauczyciel 5
nauczyciel 6
uczeń 1
nie
tak
nie
nie
nie
nie
uczeń 2
nie
nie
nie
nie
tak
nie
uczeń 3
tak
nie
nie
nie
tak
nie
uczeń 4
nie
tak
tak
nie
tak
nie
uczeń 5
nie
nie
nie
nie
nie
nie
uczeń 6
nie
nie
nie
nie
nie
nie
uczeń 7
tak
nie
nie
nie
tak
nie
uczeń 8
nie
nie
nie
nie
nie
tak
uczeń 9
nie
tak
nie
nie
tak
nie
uczeń 10
nie
tak
nie
nie
tak
nie
Uzupełnij poniższą tabelkę.
kino 1
liczba dorosłych
liczba dzieci
600
liczba widzów
800
procent widzów jaki
stanowią osoby dorosłe
kino 2
kino 3
120
150
250
50
60%
procent widzów jaki
stanowią dzieci
Wersja z dnia: 08.09.2011
kino 4
33,(3)%
http://matematyka.strefa.pl
Jak obliczać procenty? Jak wykonuje się obliczanie jakim procentem jednej liczby jest druga liczba? Są tu rozwiązane zadania i ćwiczenia do samodzielnego policzenia. To jest darmowy e-book pdf. Download to opracowanie.
Procenty — strona 4
Zadanie: Ile kopert wystarczy dorysować do rysunku obok, aby stanowiły one 35% wszystkich figur?
Rozwiązanie
[Tekst napisany jasnoszarym kolorem można wykonać w myślach.]
podejście rozumowe
35% =
podejście wyliczeniowe
ę 35
7
=
100 20
ᇩᇪᇫ
3+݇
16
ᇣᇤᇥ
+݇
więc na każde 20 figur musi przypadać dokładnie 7
kopert. Ponieważ figur jest 16, a koperty są 3, więc
dorysowując 4 koperty liczba figur zwiększy na 20,
a liczba kopert na 7. Zatem odpowiedzią jest, że
trzeba dorysować 4 koperty.
= 35%
ถ
ę 3+݇
7
=
16 + ݇ 20
20ሺ3 + ݇ሻ = 7(16 + ݇)
60 + 20݇ = 112 + 7݇
20݇ − 7݇ = 112 − 60
13݇ = 52 /: 13
݇=4
Odp. Należy dorysować 4 koperty.
Zadanie: Ile kopert i ile słoneczek wystarczy dorysować do rysunku obok, aby koperty stanowiły 35,5% wszystkich figur?
Rozwiązanie
35,5% =
,⋅
⋅
podejście rozumowe
Powyższy ułamek
oznacza, że na każde 200 fi
gur musi przypadać dokładnie 71 kopert. Zatem
należy dorysować 68 kopert (co zwiększy liczbę figur na 84) i 116 słoneczek (co da w sumie oczekiwane 200 figur).
= = podejście wyliczeniowe
— liczba kopert jaką trzeba dorysować
— liczba słoneczek jaką trzeba dorysować
ę
3+
16 + +
ę
ł
= 35,5%
3+
71
=
16 + + 200
Dwa ułamki są sobie równe, jeśli ich liczniki są sobie równe oraz ich mianowniki są sobie równe.
3 + = 71
16 + + = 200
= 68
16 + 68 + = 200
= 116
Odp. Należy dorysować 68 kopert i 116 słoneczek.
Ćwiczenie:
Narysuj 5 kopert i 8 słoneczek. Ile wystarczy dorysować kopert i słoneczek, aby słoneczka stanowiły
18% wszystkich figur? [Odp. k = 36, s = 1.]
Wersja z dnia: 08.09.2011
http://matematyka.strefa.pl
Jak obliczać procenty? Jak wykonuje się obliczanie jakim procentem jednej liczby jest druga liczba? Są tu rozwiązane zadania i ćwiczenia do samodzielnego policzenia. To jest darmowy e-book pdf. Download to opracowanie.
Procenty — strona 5
Zadanie: Tata Roberta uzbierał w lesie 15 kg grzybów. Gdy je ususzył ich masa spadła do 1,5 kg. Ile procent wody
zawierały grzyby przywiezione przez tatę Roberta, jeśli po ususzeniu było w nich tylko 8% wody?
Rozwiązanie
rysunek poglądowy (wykres warstwowy)
obliczenia
Obliczamy ile wyparowało wody podczas suszenia.
15 kg − 1,5 kg = 13,5 kg
Obliczamy ile wody jest w suszonych grzybach.
8% z 1,5 kg = 0,08 ⋅ 1,5 kg = 0,12 kg
Obliczamy ile wody było w przywiezionych grzybach.
13,5 kg + 0,12 kg = 13,62 kg
Obliczamy jakim procentem masy wszystkich grzybów
jest powyżej obliczona masa wody.
13,62 kg
1362%
⋅ 100% =
= 90,8%
15 kg
15
Odp.: Grzyby przywiezione przez tatę Roberta zawierały 90,8% wody.
Ćwiczenie:
Fabryka wyprodukowała 120000 nagrywarek DVD z czego 24% było wadliwych. W ilu wadliwych nagrywarkach należy usunąć wadę fabryczną by wadliwe nagrywarki stanowiły mniej niż 6% wyprodukowanych nagrywarek? [Podpowiedź. Wykonaj wykres warstwowy podobny do tego, który jest w powyższym zadaniu o grzybach. Ile było wadliwych sztuk? Jeśli ich ilość zmniejszymy o x, to otrzymany wynik musi być mniejszy od ilu? Ułóż nierówność i rozwiąż ją. Odp. Co najmniej 22979 szt.]
Zadanie: W hucie stopiono ze sobą miedź, cynę, cynk i ołów otrzymując tzw. spiż ważący 8 ton. W otrzymanym
stopie jest 880 kg cyny. Ołów stanowi 62,5% cynku, zaś cynk 8% całego stopu. Jaki jest procentowy udział
miedzi w tym stopie?
Rozwiązanie
rysunek poglądowy (wykres warstwowy)
obliczenia
Obliczamy ile jest cynku.
8% z 8 t = 0,08 ⋅ 8000 kg = 640 kg
Obliczamy ile jest ołowiu.
62,5% z 640
kg
= 0,625 ⋅ 640 kg = 400 kg
Obliczamy ile jest miedzi.
8000 kg − 880
640
400
kg
−
kg
−
kg
= 6080 kg
ł łó
Obliczamy jakim procentem masy całego stopu jest masa miedzi.
Powyżej skrócono zera, jednostki oraz liczbę 608 z 8 (przez 8).
Odp.: Miedź stanowi 76% całego stopu.
Wersja z dnia: 08.09.2011
http://matematyka.strefa.pl
Jak obliczać procenty? Jak wykonuje się obliczanie jakim procentem jednej liczby jest druga liczba? Są tu rozwiązane zadania i ćwiczenia do samodzielnego policzenia. To jest darmowy e-book pdf. Download to opracowanie.
Procenty — strona 6
Ćwiczenie:
W hucie stopiono ze sobą miedź i cynk otrzymując mosiądz. Miedź stanowi 400% cynku. Ile procent
stopu stanowi cynk? [Podpowiedź. Ustal ile waży cały stop (suma masy miedzi i cynku). Odp. 20%.]
Ćwiczenie:
Topiąc ze sobą 1840 kg miedzi oraz cynę otrzymano brąz. Cyna stanowi 8% tego stopu. Ile kilogramów
miedzi należy dodać do tego stopu, by zawartość cyny w tym stopie spadła do 5%? [Podpowiedź. Jaki procent
stopu stanowi miedź? Ile waży cały stop, skoro miedzi jest 1840 kg? Jeśli dodamy y miedzi, to ile będzie ważyć nowy stop? Jakim procentem nowego stopu
będzie miedź? Odp. 1200 kg.]
Wersja z dnia: 08.09.2011
http://matematyka.strefa.pl
Jak obliczać procenty? Jak wykonuje się obliczanie jakim procentem jednej liczby jest druga liczba? Są tu rozwiązane zadania i ćwiczenia do samodzielnego policzenia. To jest darmowy e-book pdf. Download to opracowanie.
Procenty — strona 7