Zadania - Wydział Elektrotechniki i Automatyki

Politechnika Gdańska
Wydział Elektrotechniki i Automatyki
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
MODELOWANIE I PODSTAWY IDENTYFIKACJI
Systemy ciągłe – budowa modeli fenomenologicznych z praw
zachowania.
Zadania do ćwiczeń – Termin T1
Opracowanie:
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Michał Grochowski, dr inż.
Robert Piotrowski, dr inż.
Tomasz Rutkowski, dr inż.
Dla obiektów zaprezentowanych w poniższych zadaniach, należy:
1. Wyprowadzić modele matematyczne opisujące dynamikę rozpatrywanych
obiektów.
2. Przestawić otrzymane modele w postaci równań stanu.
Zadanie 1
Na podstawie praw zachowania z mechaniki zbudować model matematyczny
systemu mechanicznego, będącego fragmentem systemu zawieszenia samochodu
osobowego (1/4 systemu zawieszenia samochodu osobowego, dla jednego koła:
układ amortyzator-zawieszenie-opona) (patrz Rysunek 1).
a)
b)
m2
y2
2
k2
m1
y1
k1
a
Rysunek 1. System mechaniczny „fragment systemu zawieszenia samochodu
osobowego”:
a) rzeczywisty fragment systemu zawieszenia samochodu osobowego
b) prosty model ideowy układu mechaniczny amortyzator-zawieszenie-opona
gdzie:
m1
- masa zawieszenia,
m2
- masa nadwozia samochodu osobowego,
k1
- współczynnik sprężystości opony,
k2
- współczynnik sprężystości amortyzatora,
B2
- współczynnik tłumienia amortyzatora,
a
- profil powierzchni drogi (np. krawężnik).
Opracowany model powinien umożliwiać analizę zachowania się systemu (położenie
i prędkości zawieszenia oraz nadwozia samochodu w przyjętym układzie
współrzędnych) ze względu na profil nierówności drogi (np. krawężnik).
Przy budowie modelu matematycznego systemu mechanicznego przedstawionego
na Rysunku 1 należy uwzględnić:

że ruch odbywa się na płaszczyźnie w kierunku zaznaczonej osi,

że na system nie oddziaływają żadne zewnętrzne siły poza siłami
przedstawionymi na Rysunku 1,

siłę bezwładności działającą na zawieszenie oraz na nadwozie pojazdu.
Zadanie 2
Na podstawie praw zachowania z mechaniki zbudować model matematyczny
systemu mechanicznego, stanowiącego fragment pociągu a dokładniej połączenia
sprężystego pomiędzy lokomotywą a wagonikiem” (patrz Rysunek 2).
Model powinien umożliwiać analizę zachowania systemu (położenie i prędkości
lokomotywy i wagonika) ze względu na parametry połączenia sprężystego pomiędzy
lokomotywą a wagonikiem.
a)
b)
x
f t 
k
m1
m2
Rysunek 2. System mechaniczny „lokomotywa-wagonik”:
a) układ rzeczywisty (foto: http://www.ptkigk.com); b) prosty model ideowy składu
lokomotywa-wagonik
Przy budowie modelu matematycznego systemu mechanicznego z Rysunku 2,
należy przyjąć następujące założenia:

kolejka porusza się na płaszczyźnie, w jednym kierunku wzdłuż zaznaczonej
osi x ze stałą prędkością,

na układ działa siła ciążenia, kolejka może się poruszać z dużymi
prędkościami względnymi w wyniku czego należy uwzględnić siłę tarcia
tocznego w odpowiedniej postaci (siła tarcia tocznego zależna od prędkości).
Zadanie 3
Na Rysunku 3 został przedstawiony schematy zbiornika o przekroju kulistym. Należy
wyprowadzić
model
matematyczny
pozwalający
badać
poziom
cieczy
w zbiorniku w zależności od napływu Qwe(t) i wypływu Qwy(t) cieczy ze zbiorników.
Rysunek 3. Schematy zbiornika o przekroju kulistym
gdzie:
Qwe(t)
- dopływ cieczy do zbiornika (wymuszony przez pompę),
Qwy(t)
- wypływ cieczy ze zbiornika (wymuszony przez pompę),
hmin
- minimalna wysokość cieczy w zbiorniku,
hmax
- maksymalna wysokość cieczy w zbiorniku,
R
- promień (zbiornik kulisty).
h(t)