Kombinatoryka i grafy
Transkrypt
Kombinatoryka i grafy
Matematyka dyskretna — ćwiczenia 15 Kombinatoryka i grafy Stefan Sokołowski Elbląg, 14 VI 2013 Ile jest • najkrótszych dróg w kracie n × k? • naturalnoliczbowych rozwiązań równania x0 + x1 + x2 + . . . + xk = n ? • rozkładów n kul w k + 1 pudełkach? ! n+k . Za każdym razem odpowiedź brzmi k Zadanie 0: Na ile sposobów można włożyć (a) 20 identycznych kul do 4 urn? (b) 20 identycznych listów do 10 skrzynek tak, żeby w każdej znalazł się przynajmniej jeden list? (c) 20 identycznych kul do 4 urn tak, żeby w każdej znalazły się co najmniej 3 kule? Zadanie 1: Na ile sposobów można rozsadzić k osób na n krzesłach, żeby żadne dwie osoby nie zajmowały sąsiednich krzeseł? 1 Zadanie 2: W ilu liczbach ze zbioru {1, 2, . . . , 999} suma cyfr jest równa 20? Zadanie 3: Na ile sposobów można wypłacić 50 zł, mając do dyspozycji banknoty 20-złotowe, 10złotowe oraz monety 5-złotowe, 2-złotowe i 1-złotowe? Zadanie 4: Przedstawić reprezentację • przez macierz sąsiedztwa, oraz • przez listy sąsiedztw następujących grafów: (a) 10 B ✔❚ 6✔ ❚ ✔ A✔ (b) C ❚ 13 ❚ 16 D ❚ ✔ ❚ ✔ ❚ ✔6 ❚✔ E ❚ ❚ 5❚ ❚F 8 (c) B C ✧ ✔ ✔❚ 7 ✔ ✧✧✧✔ ❚6 ✔✧✧ ❚ 10 ✔✔ ✔ ❚D ✧ 8 A ✔ ✔ ❚ ✔13 ✔ ❚ 7❚ ✔ ✔4 ✔ ❚F✔ 11 E B C ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ A✔ ✔ ✔11 ✔ ✔ F E 5✔ D 4 Zadanie 5: Grafy skierowane o poniższej reprezentacji przedstawić przy pomocy tej drugiej reprezentacji: A B C D E A B C D E 5 10 6 4 7 A ✲ B 3 B ✲ A 2 C ❅❅ ❅ D 1 3 E ✲ C 1 ❅ ❅ ✲ A 2 ❅ ❅ 2 ✲ D 12 ❅ ❅ ✲ C 3 ✲ D 7 ✲ E 8 ❅ ❅ Zadanie 6: n o Narysować graf nieskierowany G = (V, E), gdzie V = {1, 2, . . . , 10} i E = ab a | b lub b | a . Zadanie 7: Narysować graf skierowany G = (V, E), gdzie V = {1, 2, . . . , 10} E= ab a | b n i i b/a jest liczbą pierwszą o Zadanie 8: Które z grafów z zadania 4 są • spójne? • dwudzielne? • eulerowskie? • semieulerowskie? Zadanie 9: Wyznaczyć wszystkie grafy na 2, 3, 4 wierzchołkach. Zadanie 10: Czy istnieje graf na 6 wierzchołkach o stopniach 0, 1, 2, 3, 4, 5? Zadanie 11: Ile krawędzi ma graf pełny Kn ? Zadanie 12: Skonstruować graf o 5 wierzchołkach i 6 krawędziach, nie zawierający trójkąta. Zadanie 13: Odbywa się przyjęcie u państwa Szaradków, w którym oprócz Pana Szaradka i Pani Szaradkowej biorą udział cztery inne pary. Ludzie wymieniają uściski dłoni między sobą, 3 przy czym żadne dwie osoby nie robią tego dwa razy i nikt nie wita sie ze swoim partnerem/partnerką. Zarówno Pan jak i Pani domu wymienili z kimś z gości co najmniej po jednym uścisku. Pod koniec przyjęcia Pan Szaradek zapytał każdego (wyłączając siebie) o liczbę dokonanych uścisków. W odpowiedzi każda z osób podała inną liczbę. Ile uścisków dokonała Pani Szaradkowa? Zadanie 14: Znaleźć jakieś drzewa rozpinające poniższe grafy: 10 B 8 ✧C ✔ ✧ ✔❚ ✧ ✔ ❚ ✔ ✧ 7✔ ✧ ❚6 ✔ ✧ ❚ ✔ ✧✧ ✔ ❚ ✔✧✧ 10 ✔ ❚D ✔ ✧ ✔ 8 A ✔ ✔ ❚ ✔ ✔ ❚ ✔ 13 ✔ ❚ ✔ ✔4 ❚ 7 ✔ ❚ ✔ ❚F✔ E✔ C B ✔❚ ❚ ✔ 6✔ ❚ ✔ ❚ ✔ ❚ ✔ 13 ❚ 16 A D ❚ ✔ ❚ ❚ ✔ ❚ ❚ ✔ ❚ ❚ ✔6 5❚ ❚ ✔ ❚ ❚✔ ❚F E 11 Zadanie 15: Dla grafów z Zad. 14 sporządzić tabelę najkrótszych odległości między wierzchołkami (metodą Dijkstry). Zadanie 16: Dla jakich n graf kostki Qn jest • eulerowski? • hamiltonowski? • dwudzielny? Zadanie 17: Dla jakich wartości parametrów n i k poniższe grafy są eulerowskie, a dla jakich hamiltonowskie? • graf pełny Kn ? • graf pełny dwudzielny Kn,k ? 4 • graf sześcianu? • graf ośmiościanu? • graf kostki Qn ? Zadanie 18: Grafy z Zad. 14 przeszukać w głąb, wykorzystując ich reprezentację przez listy sąsiedztw i zaczynając od wierzchołka A. Zadanie 19: Załóżmy, że trzej chłopcy znają cztery dziewczęta jak w tabelce: chłopiec A B C dziewczęta, które on zna W Y Z X Z X Y Utworzyć trzy rozłączne pary chłopiec-dziewczyna, w których oboje się znają. 5