Wyznacznik macierzy kwadratowej An Wyznacznikiem macierzy

Wyznacznik macierzy kwadratowej A n
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A
jest pewna liczba jednoznacznie
przyporządkowana tej macierzy;
ozn.:
det A (ang. determinant), |A|.
Liczbę tą definiuje się podając metodę jej
obliczenia dla macierzy kwadratowej
stopnia n, przy n = 1, 2, ...
Anna Rajfura
31
Obliczanie wyznacznika – metoda Laplace'a
Dla n = 1, 2, ... wyznacznik macierzy A n
oblicza się metodą Laplace’a rozwijania
wyznacznika względem wiersza lub
kolumny macierzy A n .
Dla n = 2 oraz n = 3 metodę Laplace’a
moŜna przedstawić w postaci uproszczonej.
Anna Rajfura
32
Obliczanie det A 1
Dla n = 1:
det [a 11 ] = a 11
Przykłady:
det [-3] = -3
det [12] = 12
Anna Rajfura
33
Obliczanie det A 2
Dla n = 2:
 a11 a12 
det 
= a11 ⋅ a22 − a12 ⋅ a21

a21 a22 
Przykład:
1 2
det 
= 1⋅ 8 − 2 ⋅ 3 = 8 − 6 = 2

3 8 
Anna Rajfura
34
Obliczanie det A 3 - schemat Sarrusa
Dla n = 3 wyznacznik moŜna obliczyć
stosując schemat Sarrusa:
1. Pod trzecim wierszem
przepisać pierwszy wiersz,
a pod nim drugi.
Anna Rajfura
 a11

det a21
 a31
a11
a21
a12
a22
a32
a12
a22
a13 

a23  =
a33 
a13
a23
35
Obliczanie det A 3 - schemat Sarrusa cd.
 a11

det a21
 a31
a11
a21
a12
a22
a32
a12
a22
2. Obliczyć iloczyny elementów
na przekątnej głównej i dwóch
przekątnych równoległych do
niej; niech S g oznacza sumę
tych iloczynów.
Anna Rajfura
a13 

a23  =
a33 
a13
a23
a11·a22·a33
a21·a32·a13
a31·a12·a23
suma Sg = ...
36
Obliczanie det A 3 - schemat Sarrusa cd.
a13·a22·a31
a23·a32·a11
a33·a12·a21
suma Sd = ...
Anna Rajfura
 a11

det a21
 a31
a11
a21
a12
a22
a32
a12
a22
a13 

a23  =
a33 
a13
a23
3. Obliczyć iloczyny elementów
na drugiej przekątnej i dwóch
przekątnych równoległych do
niej; niech S d oznacza sumę
tych iloczynów.
37
Obliczanie det A 3 - schemat Sarrusa cd.
4.
det A = S g – S d
Uwaga
Zamiast dopisywać dwa pierwsze wiersze pod
trzecim, moŜna dopisać dwie pierwsze
kolumny za trzecią lub wyznaczyć pewne
trójkąty w macierzy. Wszystkie te graficzne
sposoby słuŜą ułatwieniu zapamiętania
i stosowania podanego dalej wzoru:
Przykłady na tablicy.
Anna Rajfura
38
Obliczanie det A 3
Wzór na det A 3 :
 a11

det a21
 a31
a12
a22
a32
a13 

a23  = S g − S d ,
a33 
gdzie:
S g = a11 ⋅ a22 ⋅ a33 + a21 ⋅ a32 ⋅ a13 + a31 ⋅ a12 ⋅ a23
S d = a31 ⋅ a22 ⋅ a13 + a21 ⋅ a12 ⋅ a33 + a11 ⋅ a32 ⋅ a23
Anna Rajfura
39
Przykład
Oblicz wyznacznik danej macierzy.
 1 2 3


det − 1 0 4 = 11 − (− 6) = 17
 1 − 1 1
0
-4
+ -2
Sd = - 6
Anna Rajfura
1
−1
2
3
0
0 4
3
+ 8
Sg = 11
40
Obliczanie wyznacznika macierzy A n *
Metoda Laplace’a rozwijania wyznacznika
względem i-tego (dowolnego) wiersza macierzy A n
a11 a12 K a1n 
M

M
M 

i +1


det ai1 ai 2 K ain = ai1 ⋅ (− 1) ⋅ det Ai1 +


M
M 
M
an1 an 2 K ann 
+ ai 2 ⋅ (− 1) i + 2⋅ det Ai 2 + K + ain ⋅ (− 1) i + n⋅ det Ain
gdzie A ij jest macierzą, która powstaje po wykreśleniu
z macierzy A i-tego wiersza oraz j-tej kolumny.
Anna Rajfura
41
Przykład*
Oblicz wyznacznik danej macierzy A.
Polecenie moŜna wykonać wybierając
rozwinięcie względem np. drugiego
wiersza.
1 −1 0
3 − 1 1
A=
2
1 4

3 −1
0
Anna Rajfura
2

0
3

1
42
Przykład cd.*
2
1 −1 0
3 − 1
0
1
2+1

det
= 3 ⋅ (− 1) ⋅ det
2
3
1 4


1
3 −1
0
 1 − 1 0 2
3 − 1

1
0
2+ 2
 + 1 ⋅ (− 1)2+3 ⋅ det
+ (− 1) ⋅ (− 1) ⋅ det 
2
1 4 3


0
3
1
1
−


 1 − 1 0 2
3 − 1

1
0
2+ 4
=
+ 0 ⋅ (− 1) ⋅ det 
2
1 4 3


0
3
−
1
1


1 −1 0
3 − 1
1

2
1 4

3 −1
0
Anna Rajfura
2
0
+
3

1
1 −1 0
3 − 1
1

2
1 4

3 −1
0
2
0
3

1
43
Przykład cd.*
= - 33
=3
 − 1 0 2
2 +1
2+ 2


= 3 ⋅ (− 1) ⋅ det  1 4 3 + (− 1) ⋅ (− 1) ⋅ det
 3 − 1 1
=6
 1 − 1 2
2+3
+ 1 ⋅ (− 1) ⋅ det 2
1 3 + 0 =
0
3 1
 1 0 2
+
2
4
3


0 − 1 1
Wyznaczniki zakreślonych
macierzy moŜna policzyć
wg schematu Sarrusa lub
ogólną metodą Laplace'a.
= 3 ⋅ (− 1) ⋅ (− 33) + (− 1) ⋅ 3 ⋅ (− 1) + 3 ⋅ (− 1) ⋅ 6 = 90
Odp.: det A = 90.
Anna Rajfura
44
Własności wyznacznika*
1. Wyznacznik macierzy trójkątnej górnej
(dolnej) jest równy iloczynowi elementów
na głównej przekątnej.
2. JeŜeli macierz kwadratowa ma
w pewnym wierszu (lub kolumnie) same
zera, to jej wyznacznik jest równy zeru.
Anna Rajfura
45
Własności wyznacznika cd. *
3. JeŜeli dwa wiersze (lub kolumny)
macierzy kwadratowej są
proporcjonalne, to jej wyznacznik jest
równy zeru.
4. Wyznacznik macierzy jednostkowej
dowolnego stopnia jest równy jeden.
det I n = 1
T
5. Wyznaczniki macierzy A oraz A są
równe.
T
det A = det A
Anna Rajfura
46
Własności wyznacznika cd. *
6. Dla macierzy A stopnia n:
n
det (k·A) = k ·det A,
k ∈R
7. Wyznacznik iloczynu macierzy
kwadratowych tego samego stopnia jest
równy iloczynowi wyznaczników tych
macierzy:
det (A·B) = det A · det B
Anna Rajfura
47
Macierz osobliwa, nieosobliwa
Macierz kwadratową A nazywamy
osobliwą, gdy det A = 0.
Macierz kwadratową A nazywamy
nieosobliwą, gdy det A ≠ 0 .
Anna Rajfura
48
Zadania
Zadania w pliku
Zadania_macierze_wyznacznik.pdf
Uwaga
Do obliczania wyznacznika macierzy
moŜna wykorzystać funkcję arkusza
EXCEL:
WYZNACZNIK.MACIERZY
Anna Rajfura
49