Matematyka 1. 3 lista zadań

Matematyka 1. 3 lista zadań
Wyznacznik macierzy kwadratowej. Wzory Cramera
1. Oblicz wyznaczniki z macierzy:
 1 2 3 3 5
 3 2 1 2 2
1 3 0 
 1 3 2 


 3 5





;
a) A  
;
b)
B

3
0

2
;
c)
C

0
4
3
;
d)
D

1
2
3
4
5







 1 7 
4 1 3 
2 0 1




 1 0 8 1 2 
 7 2 1 3 2


4
4
e) 5B ;
f) B  C ;
g) C  B ;
h) B ;
i) 3B ;
5 3
4
j) (3B) ;
k) B C ;
l) B  3C ;
m) I 5 ;
n) 3I 4 .
W odpowiednich podpunktach skorzystaj z twierdzenia Cauchy’ego oraz z faktu,
że jeżeli macierz B powstaje z macierzy A przez pomnożenie ustalonego wiersza
(lub kolumny) przez liczbę a to det B  a det A .
 20 24 35 
2. Dana jest macierz A   50 30 0  . Oblicz wyznaczniki z macierzy:
 10 18 42 


a) A ;
b) 3 A ;
c) (3 A) 4
d) (3 A) T ;
e) AAT .
3. Rozwiąż układ równań stosując wzory Cramera:
2 x1  x2  x4  3
5 x  x  3 x  1
 x1  2 x2  5
 1 2
4
a) 
;
c) 
3 x1  4 x2  7
9 x1  2 x2  x3  8 x4  0
 x1  x4  2
4. Stosując wzory Cramera rozwiąż wszystkie cramerowskie układy równań z listy 1.
5. Wykorzystując wzory Cramera i wiedząc, że poniższe układy są oznaczone wyznacz z każdego
z nich niewiadomą y :
 x  2 y  z  3t  4
2 x  y  3 z  3
 2 x  7 y  2z  4
3 x  y  5t  2



a) 3 x  4 z  0
;
b)  x  3 y  z  2
;
c) 


7 x  3 z  4t  0
 5 x  2 y  7 z  6
 7 x  3 y  3z  6
2 x  y  5 z  7t  2
6. Nie rozwiązując równania obliczyć wyznacznik macierzy X :
 x1  4 x 2  x3  3

b) 2 x1  x 2  3x3  4 ;
4 x  x  5 x  6
2
3
 1
3 1
 1 1 
a) 
X 

;
4
2
3
3




3 1
 4 1 
b) 
X 

;
1
2
2
2




 4 1 6 
 2 1 3


c)  2 1 4  X   0 0 2  .
 0 0 3
7 1 1




Wskazówka. Skorzystaj z twierdzenia Cauchy’ego.
7. Podaj przykład macierzy A i B takich że:
a) det( AB)  det( BA)  1; b) det( AB)  det( BA)  2016 ;
c) det( AB )  det( BA)  2 .
Wzory Cramera
 x1 
 b1 
Układ równań Ax  b , gdzie A  aij
, x     , b     nazywamy układem Cramera,
n n
x 
b 
 n
 n
det Ai
jeżeli det A  0 . Jest to układ oznaczony, który ma rozwiązanie: xi 
; i  1, ..., n ,
det A
gdzie Ai powstaje z A przez zastąpienie i-tej kolumny kolumną b .
 