Zadania_macierze_wyznacznik_wzory Cramera

Zadania – wyznacznik macierzy
Po zjeździe 9 do zrobienia są tylko zad. 1-2.
Zad. 1. Oblicz wyznacznik macierzy metodą uproszczoną (np. Sarrusa):
3
0
 1 2 −3 
− 1 2
2 0
 0






A = − 2 4
0, B= 0 3
1  , C = 0 3
0  , D =  0
 − 1 1
 0 0 − 2 
0 0 − 1 
− 2
2 
0
E = 0
3
0
2
4
1
2 − 1 
0 3 
− 1
, G=
, H =
− 2  , F = 


 4 − 4
1 0 
 0
− 5 
0
2
0
−3 
0  ,
0 
0
.
12 
Odp.: det A= 10, det B= 6, det C= -6, det D= -12, det E= -6, det F= -4, det G= -3, det H= -12.
Zad. 2*. Oblicz wyznacznik macierzy metodą Laplace’a.
2 − 3
− 1 3
5
 1

0
1 −2
1

a) det
, b) det 
− 1 0
0
1 − 1



0
1
 3 −1
0
 6
c) dla macierzy A z zad. 1, d) det  8
− 1
3
1
0
0
0
3
10
2 − 10
−2
1
,
−2
− 1

0
1
0
0 .
2
Odp.: a) -4, b) -10, d) 36.
Zad. 3*. Dla macierzy z zad. 1. wyznacz macierze odwrotne. Sprawdź poprawność wyniku.
− 1 23 − 1 16 
 12 0 0
− 2 − 1,4 − 3 
−1
1
Odp.: A −1 =  0 − 0,2
= 0 13
0  , B −1 =  0 13
0 ,
6 , C
 0 0 − 12 
0 0 − 1
 − 1 − 0,6 − 1 
 0 0 − 12 
 13 − 23 13 
1
 , F −1 = 1 − 4  , G −1 = 0 1 ,
1
D −1 =  0 12
0 , E −1 =  1
0
1 − 1 
 1 0
2

3


2
− 13 0

 1
0
0 0
− 1 0
H −1 = 
.
1 
 0 12 
Zad. 4. Przy jakich wartościach parametrów a, b, c, d, x macierze A i B będą równe?
− 2 1 a 
 c 1 0
A=
, B=


 b 3 0
− 2 d x 
Odp.: a=0, b=-2, c=-2, d=3, x=0.
1
Zadania – wyznacznik macierzy
Zad. 5. Dla danych macierzy A, x, b:
2
− 1 0
 x1 
− 1




A= 0
1 − 2 , x =  x2  , b =  1
− 1 − 1
 x3 
 0
3
a)
b)
c)
d)
oblicz Ax,
zapisz równanie Ax=b bez uŜycia symboliki macierzowej,
rozwiąŜ układ równań Ax=b metodą wzorów Cramera,
sprawdź poprawność wyniku.
Terminologia: A - macierz układu (macierz współczynników przy niewiadomych
w równaniach), x - wektor niewiadomych, b - wektor prawych stron.
Zad. 6. Dany układ równań zapisz uŜywając symboliki macierzowej (zapisz macierz układu,
wektor niewiadomych, wektor prawych stron). RozwiąŜ układ równań metodą wzorów
Cramera. Sprawdź poprawność wyniku.
2 x − 3 y − z = 1

a)  x − 2 y = 4
− x + z = 2

3x + 2 y + z = 5

b) − x + 4 y − 2 z = 8
2 x + 3 y = 7

2 x1 + x2 − 3x3 = 1

c)  x1 + x3 = 2
 x + x − 4 x = −1
3
 1 2
Zad. 7. Przedstaw układ równań w postaci macierzowej (zapisz macierz układu, wektor
niewiadomych, wektor prawych stron). RozwiąŜ układ równań a) metodą wzorów Cramera,
b*) metodą przez macierz odwrotną.
2 x1 + 3x 2 = 2

a) − x1 − 3x 2 + x3 = −2
x + x − 2x = 3
2
3
 1
2 x1 + x 2 − 3x3 = 12

b)  x1 + 3 x 2 − x3 = 10
− x − 2 x + 3x = −12
2
3
 1
− x1 + 3x3 = 4

c) 2 x1 + x 2 = −3
− x + 2 x = 3
3
 2
Odp.:a) x1 = 1, x 2 = 0, x3 = −1 , b) x1 = 2, x 2 = 2, x3 = −2 , c) x1 = −1, x 2 = −1, x3 = 1 .
Zad. 8. Oblicz wyznacznik macierzy układu dla przykładów a), b).
(*) Podaj liczbę rozwiązań układu równań stosując operacje elementarne i wyznaczając rzędy
odpowiednich macierzy:
− x1 − 2 x 2 + 3x3 = 1
2 x1 − 2 x 2 + 4 x3 = 8
2 x1 + 3x 2 = 2



a) 2 x1 + x 2 = 3
b) 2 x1 + x 2 − 2 x3 = −1
c) − x1 − 3x 2 + x3 = −2
− x + 2 x = 5
− x − x + 2 x = 2
x + x − 2x = 3
3
2
3
2
3
 2
 1
 1
2 x1 − x 2 + 3x3 = −1

d)  x1 − x 2 + 2 x3 − x 4 = 2
3x − x + x + 2 x = 3
2
3
4
 1
− x1 + x 2 = 2
 x + 3x + 2 x = 4

2
3
e)  1
2 x1 − x 2 + x3 = −1
2 x 2 − x3 = −14
Odp.: a) układ sprzeczny, b) układ nieoznaczony (posiada nieskończenie wiele rozwiązań),
c) układ oznaczony (posiada dokładnie jedno rozwiązanie), d) nieoznaczony, e) sprzeczny.
Anna Rajfura
2