Wybrane zagadnienia topologii - Wydział Inżynierii Mechanicznej i

POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki
Kierunek: Matematyka
Studia: Stacjonarne
Rok: Rok I, Semestr I
II stopnia
Prowadzący:
Przedmiot dla specjalności:
Dr Grzegorz Biernat
Matematyka finansowa i
Karta opisu przedmiotu
Wykład
Ćwiczenia
Laboratorium
Projekt
Seminarium
Egzamin
ECTS
ubezpieczeniowa
Wybrane zagadnienia topologii
30
30
-
-
-
NIE
6
WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI
Wiedza z zakresu podstaw teorii mnogości
Wiedza z zakresu przestrzeni metrycznych (przestrzenie zwarte, przestrzenie spójne, odwzorowania ciągłe i homeomorfizmy między
przestrzeniami metrycznymi)
Wiedza z zakresu analizy matematycznej I, II i III
CEL PRZEDMIOTU
Zapoznanie studentów z pojęciem przestrzeni topologicznej, odwzorowaniami między przestrzeniami topologicznymi i operacjami na takich
przestrzeniach
Zapoznanie studentów z podstawowymi typami przestrzeni topologicznych (przestrzenie zwarte, przestrzenie spójne) oraz z pojęciem
topologii w przestrzeniach odwzorowań
Zapoznanie studentów z pojęciem homotopijnych przestrzeni topologicznych
Zapoznanie studentów z pojęciem rozmaitości topologicznej oraz z charakteryzacją takich rozmaitości dla wymiaru 1 i 2
Treści programowe - Wykład
Przestrzenie topologiczne. Baza i podbaza. Domknięcie i wnętrze zbioru
Podstawowe rodzaje zbiorów w przestrzeni topologicznej
Odwzorowania ciągłe i homeomorfizmy. Odwzorowania otwarte i domknięte
Aksjomaty oddzielania. Lemat Urysohna i twierdzenie Tietzego (bez dowodu)
Podstawowe operacje na przestrzeniach topologicznych
Przestrzenie topologiczne zwarte i lokalnie zwarte
Przestrzenie topologiczne spójne i łukowo spójne
Przestrzenie ilorazowe
Topologie w przestrzeniach odwzorowań
Homotopia odwzorowań. Odwzorowania homotopijne. Własności homotopii
Przestrzenie homotopijnie równoważne. Przestrzenie ściągalne
Grupa podstawowa
Rozmaitości topologiczne. Rozmaitości gładkie
Klasyfikacja topologiczna rozmaitości wymiaru 1 i 2 (bez dowodu)
Odwzorowania właściwe. Wielomianowe odwzorowania właściwe
Treści programowe - Ćwiczenia
Przykłady przestrzeni topologicznych, zbiory domknięte i otwarte w tych przestrzeniach
Zbiory gęste, brzegowe i nigdziegęste. Przykłady i zadania
Odwzorowania ciągłe i homeomorfizmy. Przykłady i zadania
Przykłady przestrzeni spełniających różne rodzaje aksjomatów oddzielania
Podprzestrzenie topologiczne, suma rozłączna oraz iloczyn kartezjański przestrzeni topologicznych
Kolokwium I
Przykłady przestrzeni topologicznych zwartych, lokalnie zwartych, spójnych i łukowo spójnych
Przestrzenie ilorazowe – ich konstrukcja i przykłady
Topologia zbieżności punktowej, topologia zbieżności jednostajnej. Przykłady
Przykłady odwzorowań homotopijnych
Przykłady przestrzeni homotopijnie równoważnych i przestrzeni ściągalnych
Grupy podstawowe. Przykłady
Rozmaitości topologiczne, rozmaitości gładkie. Przykłady i zadania
Kolokwium II
LITERATURA PODSTAWOWA I UZUPEŁNIAJĄCA
R. Engelking, Zarys topologii ogólnej, PWN, Warszawa 1968
K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii, PWN, Warszawa 1977
R. Duda, Wprowadzenie do topologii, cz. I i II, PWN, Warszawa 1986
K. Jänich, Topologia, PWN, Warszawa 1991
R. Engelking, K. Sieklucki, Wstęp do topologii, PWN, Warszawa 1986