Andrzej WITKOWSKI* METODA WYZNACZANIA ROZKŁADU SIŁ

Nr 50
Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych
Politechniki Wrocławskiej
Studia i Materiały
Nr 22
Nr 50
2000
maszyny indukcyjne,
siły promieniowe,
naciąg magnetyczny
Andrzej WITKOWSKI*
METODA WYZNACZANIA ROZKŁADU SIŁ PROMIENIOWEGO
NACIĄGU MAGNETYCZNEGO W SILNIKU INDUKCYJNYM
Prezentowana metoda umożliwia wyznaczenie powierzchniowego rozkładu wartości sił
promieniowego naciągu magnetycznego w maszynie indukcyjnej na podstawie znajomości położenia
wirnika względem stojana i wartości prądów przepływających przez poszczególne fazy silnika w danej
chwili czasowej. Metodę skonstruowano przyjmując liniowy model obwodu magnetycznego
i promieniowy przebieg linii sił pola magnetycznego w szczelinie powietrznej. Umożliwia ona
wyznaczenie sił naciągu magnetycznego dla dowolnego rozkładu uzwojeń i dowolnych wartości
płynących przez nie prądów. Metoda uwzględnia użłobkowanie stojana i wirnika oraz skos żłobków
wirnika. Siły wyznaczane są dla elementarnych fragmentów powierzchni, dla których przyjęto stałą
gęstość powierzchniową siły. Za elementarny fragment powierzchni przyjęto obszar zachodzenia na
siebie zęba stojana i zęba wirnika, ograniczony rzutem ich krawędzi na powierzchnię podziałową
położoną pomiędzy powierzchniami stojana i wirnika. Wychodząc ze schematu zastępczego obwodu
magnetycznego silnika i zależności określającej energię pola magnetycznego, wyprowadzono zależność
określającą wartość siły działającej na elementarny fragment powierzchni na podstawie znajomości
permeancji szczeliny powietrznej pomiędzy parami ząb stojana – ząb wirnika i wartości prądów
przepływających przez poszczególne fazy. Wyznaczenie sił naciągu magnetycznego dla wszystkich
powierzchni elementarnych oraz kształtu i położenia tych powierzchni prowadzi do otrzymania rozkładu
wartości siły na całej powierzchni stojana lub wirnika.
1. WSTĘP
Przedstawiana metoda obliczania rozkładu sił promieniowych w maszynie indukcyjnej
wykorzystuje liniowy model obwodu magnetycznego, w którym reluktancje odwzorowane
są jako elementy o stałych skupionych. Umożliwia ona wyznaczenie tych sił z uwzględnieniem:
• dowolnego rozkładu uzwojeń na obwodzie stojana i wirnika,
• użłobkowania stojana i wirnika,
• niecentrycznego umieszczenia wirnika względem stojana.
_____________
* Katedra Automatyzacji i Diagnostyki Układów Elektomechanicznych, Politechnika Opolska, ul.
Luboszycka 7, 45-951 Opole.
224
W konstruowaniu proponowanej metody obliczania sił promieniowych przyjęto następujące
założenia upraszczające:
1. Permeancja magnetyczna żelaza jest nieskończona.
2. Strumień magnetyczny w szczelinie powietrznej ma kierunek promieniowy.
3. Promienie stojana i wirnika są znacznie większe od szerokości szczeliny powietrznej.
Metoda ta wymaga wyznaczenia przepływów magnetycznych poszczególnych zębów
stojana i wirnika oraz wartości permeancji wycinków szczeliny powietrznej między
poszczególnymi zębami stojana i wirnika [6]. Wartości te wyznacza się dla określonych
wartości prądów fazowych i określonego położenia wirnika względem stojana.
Metodą tą wyznacza się chwilowy rozkład wartości sił promieniowych, co pozwala, po
wyznaczeniu go dla kilku kolejnych chwil czasowych, określić widmo częstotliwościowe
siły działającej na określony fragment powierzchni silnika, a dla całego obwodu silnika
częstotliwości oraz mody składowych działających sił.
W dalszej części artykułu przyjęto, że indeksy i i k odnoszą się do zębów stojana i są
równe 1...Qs, a indeksy j i l odnoszą się do zębów wirnika i są równe 1...Qr.
2. SCHEMAT ZASTĘPCZY OBWODU MAGNETYCZNEGO
Przyjęcie założenia 1. powoduje, że w schemacie zastępczym obwodu magnetycznego
występują jedyne reluktancje szczeliny powietrznej pomiędzy zębami stojana i wirnika,
przez które przepływa strumień główny maszyny oraz reluktancje pomiędzy sąsiednimi
zębami w stojanie i w wirniku, związane ze strumieniem rozproszenia żłobkowego.
Schemat zastępczy obwodu magnetycznego maszyny, wynikający z przyjętych założeń,
przedstawiono na rys. 1. Na schemacie tym źródła Θsi odpowiadają przepływom poszczególnych
zębów stojana, Θrj – przepływom zębów wirnika, a rezystancje permeancjom rozproszenia
pomiędzy sąsiednimi zębami stojana (Λsik na rys. 2) i wirnika (Λrjl na rys. 2) oraz permeancjom
szczeliny powietrznej między zębami stojana a zębami wirnika (Λij na rys. 2)
Θs1
Θs2
Θs3
stojan
Θs4
wirnik
Θr1
Λs34
Λs41
Θs4
Θs1
Θr3
Θs1
Λ 11
Θr1
Θs1
Λ12
Θr2
Θr4
Θr4
Θr1
Θr2
szczelina
Rys. 1. Schemat zastępczy obwodu magnetycznego
Fig. 1. Scheme of magnetic circuit
Λr41
Θs3
Θs1
Λ13 ΘR
Θr3
Θs4
Λ43
Θr3
Θr3
Θs4
Θs4
Λ44
Θr4
Θr4
Λr34
Rys. 2. Przekształcony schemat obwodu magnetycznego
Fig. 2. Converted scheme of magnetic circuit
Po przeniesieniu źródeł przepływów Θ za węzły schemat obwodu magnetycznego
przekształca się do postaci zawierającej tylko dwa węzły (rys. 2). Postać ta, przy
225
zastosowaniu metody potencjałów węzłowych, redukuje układ równań potrzebny do
policzenia strumieni do jednego równania węzłowego.
226
Przy tak przyjętym schemacie obwodu magnetycznego napięcie magnetyczne wirnika
względem stojana ΘR wynosi:
∑ (Θi + Θ j )Λij
ΘR =
i,j
(1)
∑ Λij
i,j
a strumień magnetyczny pomiędzy zębami i i j Φij jest równy:
(
)
Φij = Θ R − Θi − Θ j Λij
(2)
3. SIŁY PROMIENIOWEGO NACIĄGU MAGNETYCZNEGO
Wyznaczając rozkład powierzchniowy sił naciągu magnetycznego przyjęto, że siłę
rozłożoną można zastąpić szeregiem sił skupionych, z których każda jest związana
z elementarnym fragmentem powierzchni, dla którego gęstość powierzchniowa tej siły jest
stała. Pozwala to, przy znanym kierunku działania siły (promieniowym) i polu związanego
z nią fragmentu powierzchni, ograniczyć się do policzenia jej wartości. Ograniczając się do
przypadku gdy szczelina powietrzna ma stałą szerokość i wychodząc z przyjętych założeń
oraz wynikającego z nich schematu zastępczego obwodu magnetycznego, za taki
elementarny fragment powierzchni przyjęto obszar zachodzenia na siebie zęba stojana i zęba
wirnika, ograniczony rzutem ich krawędzi na powierzchnię podziałową położoną pomiędzy
powierzchniami stojana i wirnika. Każdemu z takich fragmentów odpowiada jedna
z permeancji Λij.
Przy tych założeniach siłę działającą na elementarny fragment powierzchni związany
z m-tym zębem stojana i n-tym zębem wirnika Fmn można wyznaczyć jako pochodną
całkowitej energii magnetycznej zawartej w szczelinie powietrznej po szerokości szczeliny
pomiędzy tymi zębami.
Fmn = −
dE (δ mn )
dδ mn
(3)
Siłę Fmn oblicza się, przyjmując zmianę szerokości szczeliny jedynie między zębami m i n,
wpływa ona więc jedynie na zmianę permeancji Λmn, co pozwala wyznaczyć ją z zależności:
Fmn = −
dE (δ mn ) dΛmn
⋅
dΛmn
dδ mn
(4)
gdzie:
dΛ
Λ
=−
dδ
δ
(5)
227
Przy założeniu stałej wartości indukcji magnetycznej w przestrzeni między zębami i i j,
zawarta w niej energia Eij wynosi:
∫
Eij =
µH ij2
Vij
2
dVij =
Φij2
(6)
2 Λij
z czego po podstawieniu (2) otrzymuje się:
Eij =
(ΘR − Θi − Θ j )2 Λij
(7)
2
Całkowita energia zawarta w szczelinie powietrznej jest więc równa:
2
 ∑ (Θk + Θl )Λkl


1  k,l
E = ∑ Eij = ∑ 
− Θi − Θ j  Λij
2 i,j 
∑ Λkl
i,j

k,l


(8)
We wzorze (8) permeancja Λmn występuje nie tylko jawnie, ale także w podwyrażeniu
opisującym napięcie magnetyczne wirnika ΘR. W celu obliczenia pochodnej tego wyrażenia,
należy jawnie wyodrębnić zmienną permeancję Λ mn. Przyjmując:
dla i = m, j = n
0
Aij = 
1 w przeciwnym wypadku
(9)
wyrażenie (8) można przedstawić w postaci:
2
 ∑ Akl (Θk + Θl )Λkl + (Θm + Θn )Λmn

 k,l

1
E (δ mn ) = ∑ Aij 
− Θi − Θ j  Λij
2 i,j
∑ Akl Λkl + Λmn


k,l


2
 ∑ Akl (Θk + Θl )Λkl + (Θm + Θn )Λmn


1  k,l
+ 
− Θm − Θn  Λmn
2
∑ Akl Λkl + Λmn

k,l


(10)
Wyznaczając pochodną (10) względem Λ mn oraz korzystając z tego, że:
Θk + Θl − Θm − Θn = 0 dla k = m, l = n
∑ (Θi + Θ j )Λij
= ΘR ∑ Λij
i,j
i,j
∑ Aij Λij + Λmn = ∑ Λij
i,j
i,j
(11)
228
równanie opisujące pochodną energii E po permeancji pomiędzy zębami m i n Λmn można
zapisać w postaci:
2
dE (δmn ) (Θ R − Θm − Θn ) Λmn
=
dΛmn
2
(12)
Podstawiając do wzoru (4) równania (5) i (12), otrzymuje się końcową postać wyrażenia na
siłę działającą między m-tym zębem stojana i n-tym zębem wirnika:
Fmn =
(ΘR − Θm − Θn )2 Λmn
2δ
.
(13)
Wyznaczenie rozkładu sił na powierzchni stojana lub wirnika wymaga obliczenia siły
Fmn dla każdej pary zachodzących na siebie zębów (czyli dla każdej niezerowej permeancji
Λ mn) oraz wyznaczenia kształtu i położenia odpowiadających im powierzchni elementarnych. Gdy znany jest kształt i położenie zębów na obwodzie stojana i wirnika oraz kąt
obrotu wirnika względem stojana, wówczas sprowadza się wszystko do prostych obliczeń,
analogicznych do przedstawionych w [6] lub [7].
4. PODSUMOWANIE
Otrzymane wyrażenie umożliwia wyznaczenie siły naciągu magnetycznego pomiędzy
parą zębów za pomocą jedynie kilku elementarnych operacji arytmetycznych. Pozwala to na
skonstruowanie bardzo wydajnych algorytmów numerycznych służących do tego celu.
Warto przy tym zauważyć, że wartości permeancji Λ mn są obliczane w czasie wyznaczania
indukcyjności uzwojeń metodą permeancji międzyzębowych, korzystając z tamtej metody
wystarczy wyznaczyć je raz i stablicować [7].
Wyrażenie (13) opisuje sposób wyznaczenia siły działającej na elementarną
powierzchnię o stałej gęstości powierzchniowej siły naciągu magnetycznego. Jest ono
prawdziwe jedynie dla stałej szerokości szczeliny na całej tej powierzchni, a więc nie
umożliwia wykonania obliczeń dla silnika z niecentrycznością wirnika. Jednakże prostota
tego wyrażenia (ΘR jest stałe dla wszystkich wyznaczanych Fmn, a Θm i Θn w obrębie zęba)
pozwala na numeryczne wyznaczenie rozkładu sił. Jest to możliwe po podzieleniu każdej z
powierzchni elementarnych na równoległe do osi stojana i wirnika paski, na tyle wąskie, aby
można założyć dla każdego z nich stałą grubość szczeliny powietrznej.
LITERATURA
[1] DĄBROWSKI M., Promieniowy naciąg magnetyczny w maszynach indukcyjnych dwutwornikowych,
XXX Sympozjum Maszyn Elektrycznych, Kazimierz Dolny, 1994, s. 524–531.
[2] FRYDRYCHOWICZ-JASTRZĘBSKA G., Jednoostronny naciąg magnetyczny w warunkach
mimośrodowości statycznej a dynamicznej, Podstawowe problemy energoelektroniki i elektromechaniki,
Wisła, 1999, s. 394–398.
229
[3] HADRYS D., HENNEBERGER G., SATTLER K., SHEN D., Procedure for the numerical
computations of mechanical vibrations in electrical machines, Compumag, 8th conference on the
computation of elektromagnetic fields, Sorento, 1991, s. 369–372.
[4] HICKIEWICZ J., ŁUKANISZYN M., SZYMANIEC S., WACH P., On reducing the wibrations and
noise level of induction motors with integral and fractional slot windings, Springer Verlag, Archiv für
Electrotechnik 73 1990, s. 163–171.
[5] PIETRZYK W, Obliczanie sił promieniowych w maszynach asynchronicznych z ekscentrycznością
statyczną, XXIX Sympozjum Maszyn Elektrycznych, Szklarska Poręba, 1993, s. 89–93.
[6] WITKOWSKI A., Zalgorytmizowana metoda obliczania indukcyjności uzwojeń maszyn indukcyjnych
z uwzględnieniem nierównomierności szczeliny, XXX Sympozjum Maszyn Elektrycznych, Kazimierz
Dolny, 1994, s. 524–531.
[7] WITKOWSKI A., Zastosowania diagnostyczne modeli matematycznych silnika indukcyjnego bazujących
na wyznaczaniu indukcyjności metodą permeancji międzyzębowych, praca doktorska, Politechnika
Śląska, Gliwice, 1997.
THE METHOD OF RADIAL MAGNETIC PULL FORCE EVALUATION
IN THE INDUCTION MOTOR
In the paper a method of calculating the radial magnetic pull forces in the induction machines have
been presented. This method base on linear model of magnetic circuit (Fig. 2) with infinity rotor and stator
ferromagnetic core permeability and radial direction of magnetic flux in the air-gap assumed. Magnetic
force is computed for elementary parts of placed between stator and rotor surfaces division plane. Constant
density of force on each elementary part is assumed. Elementary part is limited by projection to division
plane edges of overlapping stator and rotor teeth pair. Magnetic force between two teeth is computed as
derivative of the total magnetic energy in air-gap with respect to air-gap width between that teeth (3). Total
magnetic energy is calculated as a sum of energy contained in the air-gap between the pairs of teeth (8), (7).
Finally, formula for magnetic force between pair of teeth (13) have been obtained by differentation of (8).