Zadania z przedmiotu Geometria i topologia, III semestr seria 6 1

Zadania z przedmiotu
Geometria i topologia, III semestr
seria 6
1. Niech (M, ρ) bedzie
przestrzenia, metryczna, a {xn }, {yn } jej ciagami
Cauchy’ego. Wykazać,
,
,
że ciag
liczbowy
d
=
ρ(x
,
y
)
jest
zbieżny.
n
n n
,
2. Niech (M, ρ) bedzie
przestrzenia, metryczna., W zbiorze wszystkich ciagów
Cauychy’ego
,
,
przestrzeni M wprowadzamy relacje, ∼
{xn } ∼ yn ⇔ lim ρ(xn , yn ) = 0.
n→∞
Wykazać, że ∼ jest relacja równoważności.
f zbiorem klas równoważności relacji z
3. Niech (M, ρ) bedzie
przestrzenia, metryczna,, a M
,
powyższego zadania. Niech
ρ̃([{xn }], [{yn }]) = lim ρ(xn , yn ),
n→∞
f, ρ̃) jest zupelna przestrzenia metryczna,
gdzie [{xn }] oznacza klase, ciagu
{xn }. Wykazać, że (M
,
,
,
,
zawierajec
a
izometryczny
obraz
przestrzeni
M
jako
swój
g
esty
podzbiór.
, ,
,
4. Podać przyklad niezupelnej przestrzeni metrycznej i jej zweżaj
acego
przeksztalcenia w siebie
,
,
nie posiadajacego
punktów stalych.
,
5. Podać przyklad zupelnej przestrzeni metrycznej posiadajacej
przeksztalcenie izometryczne w
,
siebie bez punktów stalych.
6. Wykazać, że dopelnienie dowolnego skończonego podzbioru przestrzeni Rn , gdzie n ∈ {2, 3},
jest zbiorem spójnym. Czy dopelnienie każdego podzbioru przeliczalnego jest zbiorem spójnym?
7. Czy zupelna przestrzeń metryczna może być homeomorficzna z niezupelna, przstrzenia, metryczna?
,
2
8. Niech A i B bed
, a, podzbiorami w R postaci:
A = {(x, y) | x = 0, −1 6 y 6 1} ,
B = {(x, y) | 0 < x 6 1, y = cos π/x} .
Wykazać, że podzbiór X = A ∪ B jest spójny.
2
9. Niech A i B bed
, a, podzbiorami w R postaci:
A = {(x, y) | 1/2 6 x 6 1, y = 0} ,
B = {(x, y) | 0 6 x 6 1, y = x/n, n ∈ N} .
Czy podzbiór X = A ∪ B jest spójny?
10. Które z poniższych podzbiorów w R3 sa, spójne
(1) {x | x21 + x22 − x23 = 1},
(2) {x | x21 + x22 − x23 = −1},
(3) {x | x1 6= 1},
(4) {x | kxk < 1},
(5) {x | kxk > 1},
(6) {x | kxk =
6 1}?