Wyznacznik - E-SGH

Wyznacznik
Justyna Winnicka
Na podstawie podr¦cznika Matematyka. e-book
M. D¦dys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kªopotowskiego.
rok akademicki 2016/2017
Denicja
Niech
A bedzie macierz¡ kwadratow¡ stopnia n. Macierz B
odwrotn¡ do macierzy A wtedy i tylko wtedy, gdy
nazywamy
macierz¡
AB = BA = I.
Macierz odwrotn¡ do macierzy A oznaczamy symbolem
Mamy wi¦c AA−1 = A−1 A = I.
A−1 .
Przykªad
Sprawdzimy, która z macierzy
macierzy
A=
B=
3 −2
.
2 −1
3 2
−1 2
,C =
−2 −1
−2 3
jest odwrotna do
Denicja
Macierz kwadratow¡
A
nazywamy
odwracaln¡,
je±li istnieje macierz
A−1 .
Twierdzenie
Macierz kwadratowa A jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieosobliwa.
Twierdzenie
Je±li macierz A jest nieosobliwa, to istnieje dokªadnie jedna macierz odwrotna A−1 ,
która tak»e jest nieosobliwa, oraz (A−1 )−1 = A.
Przykªad
Wyznaczymy
I−1 .
Twierdzenie
Je±li macierz A jest nieosobliwa, to macierz AT jest nieosobliwa
oraz (AT )−1 = (A−1 )T .
Twierdzenie
Je±li A, B s¡ macierzami nieosobliwymi stopnia
(AB)−1 = B−1 A−1 .
n, to macierz AB jest nieosobliwa oraz
Niech A = [aij ] b¦dzie macierz¡ kwadratow¡ stopnia n > 1.
Przez Aij oznaczamy macierz otrzyman¡ z macierzy A przez skre±lenie i -tego wiersza i
j -tej kolumny.
Denicja
nazywamy tak¡ funkcj¦, oznaczan¡ symbolem det,
okre±lon¡ na zbiorze wszystkich macierzy kwadratowych, »e
a) je±li A = [a] (A jest macierz¡ stopnia 1), to det A = a;
b) je±li A = [aij ] jest macierz¡ stopnia n > 1, to
Wyznacznikiem macierzy
det A = (−1)1+1 a11 det A11 + (−1)2+1 a21 det A21 + · · · + (−1)n+1 an1 det An1 .
Wyznacznik macierzy
A
stopnia n > 1 oznaczamy równie» symbolem |A|.
Przykªad
Obliczymy wyznacznik macierzy stopnia drugiego
A=
a11 a12
a21 a22
.
Bezpo±rednio z denicji dostajemy
a11 a12
a21 a22
= a11 a22 − a21 a12 .
det A = det
= (−1)1+1 a11 det A11 + (−1)2+1 a21 det A21 =
Przykªad


a11 a12 a13
Obliczymy wyznacznik macierzy stopnia trzeciego A =  a21 a22 a23  . Zgodnie z
a31 a32 a33


a11 a12 a13
denicj¡ mamy det A = det  a21 a22 a23  =
a31 a32 a33
= (−1)1+1 a11 det A11 + (−1)2+1 a21 det A21 + (−1)3+1 a31 det A31 =
a a
a a
a a
= a11 det 22 23 − a21 det 12 13 + a31 det 12 13 =
a32 a33
a32 a33
a22 a23
=a11 (a22 a33 − a32 a23 ) − a21 (a12 a33 − a32 a13 ) + a31 (a12 a23 − a22 a13 ) =
= a11 a22 a33 − a11 a32 a23 − a21 a12 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23 − a31 a22 a13 .
Do obliczania wyznacznika macierzy kwadratowej stopnia trzeciego
(i tylko trzeciego) mo»na zastosowa¢ tzw. schemat Sarrusa.
Po prawej stronie macierzy dopisujemy kolumny pierwsz¡ i drug¡,
a nast¦pnie tworzymy iloczyny z odpowiednimi znakami:
+ dla & oraz − dla % .
Dodaj¡c otrzymane iloczyny z odpowiednimi znakami, otrzymujemy wyznacznik
macierzy.
Przykªad
1 2 3
Obliczymy 1 −1 0 .
3 2 1
Twierdzenie (rozwini¦cie Laplace'a)
Je±li A jest macierz¡ stopnia
n ≥ 2, to
a) det A = (−1)1+j a1j det A1j + (−1)2+j a2j
(rozwini¦cie wzgl¦dem j -tej kolumny),
det A2j + · · · + (−1)n+j anj det Anj
b) det A = (−1)i+1 ai 1 det Ai 1 + (−1)i+2 ai 2 det Ai 2
(rozwini¦cie wzgl¦dem i -tego wiersza).
+ · · · + (−1)i+n ain det Ain
Przykªad
Obliczymy wyznacznik macierzy
A
stopnia czwartego, gdzie


A=

−1
0 3 2
2 −3 0 4 
.
3 0 −2 1 
0 3 −2 −1

Twierdzenie (wªasno±ci wyznacznika)
Niech A
= [aij ] b¦dzie macierz¡ kwadratow¡ stopnia n. Wtedy
a) det AT
= det A;
b) je±li A ma kolumn¦ (wiersz) zªo»on¡ z samych zer,
to det A = 0;
c) je±li dwie kolumny (dwa wiersze) macierzy A s¡ proporcjonalne
(w szczególno±ci równe), to det A = 0;
d) je±li A jest macierz¡ trójk¡tn¡ górn¡ lub trójk¡tn¡ doln¡,
to det A = a11 a22 · · · ann ;
e)
det In = 1.
Kolejne wªasno±ci wyznacznika podamy po zdeniowaniu operacji elementarnych na
wierszach (kolumnach) macierzy.
Twierdzenie (Cauchy'ego)
Je±li A, B s¡ macierzami kwadratowymi stopnia
n, to
det(AB) = det A det B.
Denicja
Niech A b¦dzie macierz¡ o wymiarach m × n, a B macierz¡ kwadratow¡ stopnia k
otrzyman¡ z macierzy A przez skre±lenie m − k wierszy i n − k kolumn. Wyznacznik
det B nazywamy minorem stopnia k macierzy A.
Twierdzenie
Rz¡d macierzy A o wymiarach m × n jest równy k wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje
ró»ny od zera minor stopnia k macierzy A i nie istnieje ró»ny od zera minor A stopnia
wi¦kszego ni» k .
Przykªad
Wyznaczymy rz¦dy macierzy


1 0 1 1
a) A =  2 1 1 1  ,
3 7 −4 −4
b) B = I4 ,


1 m m
c) C =  m 1 m  w zale»no±ci od warto±ci parametru m ∈ R.
3 3 3
Twierdzenie
Macierz kwadratowa A stopnia
n jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy det A 6= 0.
Przykªad
4 −3 −1
Poka»emy, »e macierz A =  −1 0 1  jest osobliwa.
1 1 −2


Denicja
Niech
A = [aij ]
algebraicznym
b¦dzie macierz¡ kwadratow¡ stopnia n, gdzie n ≥ 2.
elementu aij nazywamy liczb¦
dij = (−1)i+j det Aij .
Macierz AD = [dij ] nazywamy macierz¡
lub macierz¡ doª¡czon¡ macierzy A.
dopeªnie« algebraicznych
Twierdzenie
Je±li macierz A jest nieosobliwa, to
A−1 =
1
(AD )T .
det A
Przykªad
0 0 1
Wyznaczymy macierz odwrotn¡ do macierzy A =  1 −3 −2 
1 −1 1
i sprawdzimy otrzymany wynik.


Dopeªnieniem
Przykªad
Wyznaczymy macierz odwrotn¡ do macierzy
a)
b)
A=
B=
a b
c d
5 4
.
3 2
(o ile istnieje),
Twierdzenie
Je±li macierz A jest nieosobliwa, to
det A−1 =
1
.
det A