Matematyka dla informatyków II

Matematyka dla informatyków II
Lista 6
26.IV.2007
1. Macierze kwadratowe
AiB
stopnia
s¡ podobne je±li istnieje taka macierz
n
(a) Wska» dowoln¡ macierz podobn¡ do macierzy
(b) Wska» dowoln¡ macierz stopnia
n,
1 2
2 3
P,
»e
B = P −1 AP .
, ró»n¡ od niej samej.
ró»n¡ od macierzy zerowej, która nie jest podobna do
macierzy z poprzedniego podpunktu.
(c) Jaka jest zale»no±¢ pomi¦dzy wyznacznikami macierzy podobnych? Odpowied¹ uzasadnij.
2. Niech
i
A
B
b¦d¡ macierzami kwadratowymi. Które z poni»szych stwierdze« s¡ prawdziwe?
Ka»d¡ odpowied¹ nale»y uzasadni¢.
(a)
det(AB) = 0 ⇒ A = 0
−1
lub
B=0
) = − det(A)
(b)
det(A
(c)
det(AB) = det(A) + det(B)
(d)
det(A + B) = det(A) · det(B)
(e)
det(A) = 1 ⇒ A
(f )
jest macierz¡ jednostkow¡
k
det(5 · A) = 5 · det(A),
3. Dana jest macierz
A
stopnia
gdzie
jest stopniem macierzy
k
n-tego.
Tworzymy macierz
A0
A
wypisuj¡c wiersze macierzy
kolejno±ci odwrotnej. Jaki jest zwi¡zek pomi¦dzy wyznacznikami
A i A0 ?
A
w
Odpowied¹ uzasadnij.
4. Wyznacz macierze odwrotne
do macierzy:


1 2
2 5
oraz

2 2 3
1 −1 0 .
−1 2 1
5. Znajd¹ macierz odwrotn¡ do macierzy

0
 0

 0
4
6. Niech
A
b¦dzie macierz¡ kwadratow¡ stopnia
7. Udowodnij, »e wyznacznik stopnia
przez
0
0
3
0

1
0 

0 
0
0
2
0
0
n,
tak¡ »e
AAT = In .
Ile mo»e wynosi¢
n, którego wszystkie elementy s¡ równe 0 lub 2 jest podzielny
2n .
8. Zaªó»my, »e kwadratowa macierz
macierz
A
A
stopnia
n
speªnia warunek
AA − A + In = 0. Poka»,
I − A (0 oznacza
jest nieosobliwa oraz macierz¡ do niej odwrotn¡ jest macierz
macierz zerow¡ stopnia
n).
9. Bez obliczania
udowodnij,
»e jest on podzielny przez a) 3, b) 4, c) 5:
wyznacznika
a)
detA?
2 5 7
4 3 2
1 4 2
,
b)
7 −2 4
3 1 5
3 9 −7
,
c)
4 1 3
2 5 7
4 4 5
.
»e
tu
10. Stosuj¡c
wzory Cramera (lub macierze odwrotne) rozwi¡» ukªady równa«:

4
 2x1 − x2 − x3 =
3x1 + 4x2 − 2x3 = 11

3x1 − 2x2 + 4x3 = 11

x1 − x2 − 2x3 + 3x4



3x1 − x2 − x3 − 2x4
b)
2x1 + 3x2 − x3 − x4



x1 + 2x2 + 3x3 − x4
a)
11. Znajd¹ tak¡ macierz

a)

X

aby:

3 2 3
1 2 3
 1 1 2  · X =  1 −1 2 
3 2 4
2 4 3
12. Ile minorów stopnia
k
=
1
= −4
= −6
= −4

b)
 

1 1 −1
1 −3 3
X · 2 1 0 = 4 3 2 
1 −1 1
1 −2 5
posiada macierz o wymiarach
m
na
n?
Emanuel Kiero«ski
2