Logika i teoria mnogości –Ćwiczenia

Logika i teoria mnogości –Ćwiczenia
Spis treści
1 Zdania logiczne i tautologie
1
2 Algebra zbiorów
3
3 Różnica symetryczna
4
4 Iloczyn kartezjański. Kwantyfikatory.
5
5 Kwantyfikatory.
6
6 Relacje
7
7 Relacje porządku i równoważności
8
8 Funkcje
9
9 Działania uogólnione
11
Wstęp do logiki i teorii mnogości –Ćwiczenia
Zestaw 1. Zdania logiczne i tautologie
Zadanie 1.1. Wyznacz wartość logiczną podanego wyrażenia, jeśli w(p) = 1, w(q) = 0
a) p∧ ∼ q
e)[(p ∨ q) =⇒ p)] ∧ (p ⇐⇒ q)
b) ∼ (p ⇐⇒ q)
f)∼ (p ∧ q) ⇐⇒ (∼ p∧ ∼ q)
c) (p ∨ q) ⇐⇒∼ q
g)(p =⇒ q) ⇐⇒ (q ∨ p)
d) (p =⇒ q) =⇒ p
h)p =⇒ (q =⇒ p)
Zadanie 1.2. Wyznacz wartość logiczną każdego wyrażenia z poprzedniego zadania
przy podstawieniu w(p) = 0, w(q) = 1.
Zadanie 1.3. Wyznacz wartość logiczną wyrażenia, jeśli w(p) = 1, w(q) = 0, w(r) = 1
a) (∼ p ∧ q) ∨ r
b) ∼ p ∧ (q ∨ r)
c) ∼ (p ∧ q) ∨ r
d) ∼ (p ∨ q) ∧ r
e) (∼ p =⇒ q) =⇒ r
f) ∼ p =⇒ (q =⇒ r)
g) ∼ (p =⇒ q) =⇒ r
h) ∼ (p =⇒ q) =⇒ r
Zadanie 1.4. Wyznacz wartość logiczną zdania
a) (2 < 3) ∨ (2 > 3)
b) (2 < 3) =⇒ (2 > 3)
c) (2 < 3) ⇐⇒ (2 > 3)
d) (2 < 3) ⇐⇒ (2 = 3)
e) (2 = 3) ∨ (2 > 3)
f) (2 = 3) ∧ (2 > 3)
g) (2 = 3) ⇐⇒ (2 > 3)
h) (2 < 3) ⇐⇒ (2 = 3)
Zadanie 1.5. Czy podane wyrażenie jest tautologią? Sprawdź za pomocą tabelki.
[(p ∨ q) ∧ (∼ p)] ⇒ q
[(p ⇒ q) ⇒ [(p ∧ r) ⇒ q]
[(p ∨ q) ∧ (p ⇒ q)] ⇒ (q ⇒ p)
p ⇒ [(∼ p) ∨ q]
p ⇒ [(∼ p) ⇒ q]
Zadanie 1.6. Zamiast ? wstaw implikację w odpowiednią stronę.
[(p ⇒ q) ⇒ (q ⇒ r)] ? [(r ⇒ p) ⇒ (q ⇒ p)]
[p ∧ (q ∨ r)] ? [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)]
[(p ⇒ q) ∧ p] ? q
p ? [(∼ p) ⇒ q]
[(p ∨ q) ⇒ r] ? [(p ⇒ r) ∨ (q ⇒ r)]
[(p ⇒ q) ∨ (p ⇒ r) ∨ (p ⇒ s)] ? [p ⇒ (q ∨ r ∨ s)]
[(p ∧ s) ⇒ (q ∨ r)] ? [(p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s)]
1
Wstęp do logiki i teorii mnogości –Ćwiczenia
Zadanie 1.7. Czy podane zdania są prawdziwe?
1. Jeżeli z faktu, że nie mam psa wynika, że mam psa, to mam psa.
2. Jeżeli liczba jest podzielna przez 2, to z faktu, że jest podzielna przez 3 wynika, że
jest podzielna przez 5.
3. Jeżeli z faktu, że mam kota wynika, że mam rybki, to nie mam kota lub mam
rybki.
4. Jeżeli z faktu, że mam kota wynika, że mam psa, to wtedy nie mam psa.
Zadanie 1.8. Czy podane wyrażenie jest tautologią? Sprawdź bez tabelki.
[(p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s)] ⇒ [(p ∧ s) ⇒ (q ∨ r)]
[(p ∧ s) ⇒ (q ∨ r)] ⇒ [(p ⇒ q) ∨ (r ⇒ s)]
[(p ∨ q) ⇒ r] ⇒ [(p ⇒ r) ∨ (q ⇒ r)]
[(p ⇒ r) ∨ (q ⇒ r)] ⇒ [(p ∨ q) ⇒ r]
[(p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s) ∧ (t ⇒ u)] ⇒ [(p ∧ r ∧ t) ⇒ (q ∧ s ∧ u)]
[∼ (q ⇒ p) ∨ (p ⇒ q)] ⇒ [(∼ p) ∨ q]
[(∼ p) ∨ q] ⇒ [∼ (q ⇒ p) ∨ (p ⇒ q)]
[(∼ p) ∧ q] ⇒ [∼ (q ⇒ p) ∧ (p ⇒ q)]
Zadanie 1.9. Zamiast ? wstaw implikację w odpowiednią stronę.
[(p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s)] ? [(p ∨ r) ⇒ (q ∨ s)]
[(p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s)] ? [(p ∧ r) ⇒ (q ∧ s)]
[(p ∧ q) ⇒ r] ? [(p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)]
[(p ⇒ q) ∧ (r ⇒ q) ∧ (s ⇒ q)] ? [(p ∧ r∧ ∼ s) ⇒ q]
2
Wstęp do matematyki –Ćwiczenia
Zestaw 2. Algebra zbiorów
Zadanie 2.1. Podaj ile różnych elementów ma podany zbiór i wymień je (jeśli jest to
możliwe). Zakładamy, że a 6= b 6= c 6= a
A = {a, {a, b}, {b}, c, {{c}}}
B = {a, {a}, {a, {a}}}
C = {x ∈ N : x2 < 9}
D = {x ∈ Q : x2 = 16}
E = {x ∈ R : x2 + 9 < 0}
F = {x ∈ R : x2 + 9 > 0}
Zadanie 2.2. Jakie relacje zachodzą między zbiorami A i B?
a) A = (3, 5) B = (2, 6)
b) A = (0, 1) ∪ {2} B = [2, 3] ∪ {1}
c) A = [1, 2] B = (0, 1) ∪ {2}
d) A = {x ∈ N : x2 = 16} B = {4}
Zadanie 2.3. Oblicz A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A.
a) A = {x ∈ N : x ≤ 6} B = {x ∈ N : x > 2};
b) A = [2, 3] B = (1, 6);
c) A = (0, 2) ∪ {3} B = [2, 3] ∪ {1};
d) A = [2, 3] B = (3, 6);
e) A = [1, 2] ∪ {3} B = [2, 3] ∪ {1};
f) A = [2, 3] B = [3, 6];
Zadanie 2.4. Sprwadź czy dla dowolnych zbiorów prawdziwe są następujące równości:
A \ B = (A ∪ B) \ B
A \ B = A \ (A ∩ B)
A ∪ B = (A \ B) ∪ B
A ∩ B = A \ (A \ B)
A ∩ (A ∩ B) = B
(A ∪ B ∪ C) \ (A ∪ B) = C
(A \ C) ∪ B = A ∪ B
A \ (B ∪ C) = (A \ B) \ C
3
Wstęp do matematyki –Ćwiczenia
Zestaw 3. Różnica symetryczna
Zadanie 3.1. Oblicz.
a) {1, 2, 3} 4 {2, 3, 4, 5};
b) {1, 2} 4 {3, 4, 5, 6};
c) [1, 2] 4 (3, 4);
d) (2, 6) 4 [2, 4];
e) (0, ∞) 4 (0, 5);
f) [2, ∞) 4 (0, 2];
Zadanie 3.2. Rozwiąż równanie.
a) {1, 2} 4 A = {4, 5};
b) A 4 {1, 2, 3} = {3, 4};
c) [1, 3] 4 A = (1, 3);
d) A 4 (2, 6] = (0, 4];
e) (5, ∞) 4 A = (0, 2];
f) A 4 [2, ∞) = (4, 6);
Zadanie 3.3. Zbadaj czy poniższe zdania są prawdziwe. Prawdziwe udowodnij, dla
fałszywych znajdź kontrprzykład.
a) [A ∩ B = A ∩ C] =⇒ B = C
b) [A ∪ B = A ∪ C] =⇒ B = C;
c) [A \ B = A \ C] =⇒ B = C
d) [A ∪ B ⊂ A ∩ B] =⇒ B = A ;
e) [B \ A = C \ A] =⇒ B = C
f) A 6= B =⇒ (C \ B) 6= (C \ A)
Zadanie 3.4. Niech X oznacza przestrzeń wszystkich trójkątów i A będzie zbiorem
wszystkich trójkątów równoramiennych, B zbiorem wszystkich trójkątów równobocznych, C zbiorem trójkątów prostokątnych. Wyznacz zbiory:
(A ∩ B) ∩ C, (A ∩ B 0 ) ∩ C, A0 ∩ (B ∩ C),
A0 ∩ (B 0 ∩ C), (A ∩ B) ∩ C 0 ,
(A ∪ B) ∩ C.
Zadanie 3.5. Niech X oznacza przestrzeń wszytskich czworokątów, zaś A zbiór wszystkich kwadratów, B zbiór prostokątów, C zbiór rombów, D zbiór czworokątów o obwodzie równym 4, E zbiór kwadratów o polu równym 1, F zbiór rombów o conajmniej
jednym kącie prostym. Wykonaj rysunek pokazujący zależności pomiędzy tymi zbiorami.
4
Wstęp do matematyki –Ćwiczenia
Zestaw 4. Iloczyn kartezjański. Kwantyfikatory.
Zadanie 4.1. Niech A = (1, 2], B = [2, 4), C = (1, ∞), S = {0, 2, 4}, T = {1, 3, 5}.
Wypisz lub narysuj zbiory:
a) S × T ;
b) T × S;
c) A × T ;
d) A × B;
e) B × A;
f) S × B;
g) A × C;
h) B × C;
i) C × B;
Zadanie 4.2. Wyznacz wartość logiczną podanego wyrażenia i zapisz jego negację.
a) ∃x∈R x2 = 2x;
b) ∀x∈R x2 = 2x;
c) ∃x∈R x2 < 0;
d) ∀x∈R x2 > 0;
e) ∃x∈N x2 = 3;
f) ∀x∈N x2 + 1 > 0;
g) ∃x∈R (x = 2 ∧ x < 0);
h) ∀x∈R (x > 2 ∨ x < 2);
i) ∃x∈R (x = 2 ⇒ x < 0);
j) ∀x∈R (x2 > 0 ⇒ x < 0);
k) ∃y∈N (y 2 = 3y ∨ y = 3);
l) ∀y∈N (y < 0 ∧ 1 > y);
Zadanie 4.3. Podaj przykłady funkcji zdaniowych ϕ(x), ψ(x) oraz X dla których
fałszywe są poniższe wyrażenia.
∃ ψ(x)
∃ (ϕ(x) ⇔ ψ(x)) =⇒
∃ ϕ(x) ⇔
x∈X
x∈X
∃ ϕ(x) ⇔ ∃ ψ(x) =⇒ ∃ (ϕ(x) ⇔ ψ(x))
x∈X
x∈X
x∈X
∃ ϕ(x) ∧ ∃ ψ(x) =⇒ ∃ (ϕ(x) ∧ ψ(x))
x∈X
x∈X
x∈X
x∈X
5
Wstęp do matematyki –Ćwiczenia
Zestaw 5. Kwantyfikatory.
Zadanie 5.1. Zapisz za pomocą symboli matematycznych następujące zdania:
1. x jest sumą dwóch liczb naturalnych;
2. ciąg {an }n∈N jest malejący;
3. ciąg {an }n∈N jest od pewnego miejsca stały;
4. ciąg {an }n∈N jest ograniczony.
Zadanie 5.2. Zapisz za pomocą symboli matematycznych i wprowadzając odpowiednie funkcje zdaniowe następujące zdania. Następnie określ wartość logiczną podanego
wyrażenia, zastosuj do niego prawo eliminacji implikacji oraz zapisz jego negację.
1. Jeśli istnieje człowiek który jest kobietą, to każdy człowiek jest kobietą;
2. Jeżeli każdy człowiek jest kobietą, to istnieje człowiek który jest kobietą;
3. Jeśli każda krowa ma cztery nogi, to istnieje słoń który ma dwie trąby;
4. Jeżeli każdy kamień ma serce, to każde państwo ma stolicę;
Zadanie 5.3. Wyznacz wartość logiczną podanego wyrażenia i zapisz jego negację.
∃ ∃ nm = 10
∀
∃ xy = 1
∀ ∃ y = x2
n∈N m∈N
∃
x∈R y∈R
x∈R\{0} y∈R\{0}
∀ xy = 0
∃
x∈R y∈R
∀
xy = 1
y∈R\{0} x∈R\{0}
∃
∀ y = x2
y∈R x∈R
Zadanie 5.4. Podaj przykład funkcji zdaniowych ϕ, ψ dla których podane zdania są
fałszywe
∀ ϕ(x) ∧ ∃ ψ(x) ⇒ ∀ [ϕ(x) ⇔ ψ(x)]
x∈X
x∈X
x∈X
∀ ϕ(x) ⇒ ∃ ψ(x) ⇒ ∀ [ϕ(x) ⇒ ψ(x)]
x∈X
x∈X
x∈X
Zadanie 5.5. Czy podane wyrażenie jest tautologią?
∃ ϕ(x) ⇔ ∃ ψ(x) ⇒ ∃ [ϕ(x) ⇔ ψ(x)]
x∈X
x∈X
x∈X
∀ [ϕ(x) ∧ ψ(x)] ⇒
∃ ϕ(x) ⇒ ∀ ψ(x)
x∈X
x∈X
x∈X
∀ ϕ(x) ∧ ∃ ψ(x) ⇒ ∃ [ϕ(x) ∨ ψ(x)]
x∈X
x∈X
x∈X
∀ ϕ(x) ⇒ ∃ ψ(x) ⇒
∀ ψ(x) ∨ ∃ ϕ(x)
x∈X
x∈X
x∈X
x∈X
∀ ψ(x) ∨ ∃ ϕ(x) ⇒
∀ ϕ(x) ⇒ ∃ ψ(x)
x∈X
x∈X
x∈X
x∈X
6
Wstęp do matematyki –Ćwiczenia
Zestaw 6. Relacje
Zadanie 6.1. Niech S = {2, 4, 6, 8} oraz T = {1, 3, 5, 7, 9}. Wypisz wszystkie pary
należące do relacji R ⊂ S × T .
1. x, y ∈ R ⇐⇒ x + y ≤ 10;
2. x, y ∈ R ⇐⇒ x + y = 10;
3. x, y ∈ R ⇐⇒ x + y jest nieparzyste;
Zadanie 6.2. Które własności (zwrotność, przeciwzwrotność, symetria, przeciwsymetria, antysymetria, przechodniość) posiada podana relacja?
1. x, y ∈ S, x%y ⇐⇒ x + y jest parzyste, S = {0, 1, 2, 3, 4};
2. x, y ∈ S, x%y ⇐⇒ x − y = 0, S = {0, 1, 2, 3, 4};
3. x, y ∈ N, x%y ⇐⇒ x 6= y;
4. x, y ∈ N, x%y ⇐⇒ x − y jest parzyste;
5. x, y ∈ R, x%y ⇐⇒ |x| < |y|;
6. x, y ∈ R, x%y ⇐⇒ |x − y| < 1;
7. x, y ∈ R, x%y ⇐⇒ xy < 0;
8. A, B ⊂ R, A%B ⇐⇒ A ⊂ B;
9. A, B ⊂ N, A%B ⇐⇒ A \ B jest zbiorem skończonym;
10. x, y-ludzie, xSy ⇐⇒ x oraz y są tej samej płci;
11. x, y-ludzie, xT y ⇐⇒ x nie jest niższy niż y;
12. (a, b), (n, m) ∈ N2 , (a, b)S(n, m) ⇐⇒ a + m = n + b;
13. (a, b), (n, m) ∈ Z2 , (a, b)T (n, m) ⇐⇒ am = nb;
7
Wstęp do matematyki –Ćwiczenia
Zestaw 7. Relacje porządku i równoważności
Zadanie 7.1. Czy podana relacja jest relacją porządku lub równoważności? Jeśli jest
relacją równoważności, to wypisz jej klasy abstrakcji.
1. A, B ⊂ R, A%B ⇐⇒ A ⊂ B;
2. A, B ⊂ N, A%B ⇐⇒ A \ B jest zbiorem skończonym;
3. A, B ⊂ N, A%B ⇐⇒ A4B jest zbiorem skończonym;
4. x, y ∈ N, x%y ⇐⇒ x 6= y;
5. x, y ∈ N, x%y ⇐⇒ x − y jest parzyste;
6. x, y ∈ R, x%y ⇐⇒ sin x = sin y;
7. (a, b), (n, m) ∈ N2 , (a, b)%(n, m) ⇐⇒ (−1)a+b = (−1)m+n ;
#
"
0 x
;
8. A, B ∈ M2×2 (R), A%B ⇐⇒ ∃ A − B =
x,y∈R
y 0
9. f, g ∈ R[x], x%y ⇐⇒ xy jest wielomianem stopnia parzystego;
10. A, B ⊂ N, A%B ⇐⇒ (A ∩ 2N) = (B ∩ 2N)
11. x, y-ludzie, xSy ⇐⇒ x oraz y są tej samej płci;
12. x, y-ludzie, xT y ⇐⇒ x nie jest niższy niż y;
13. x, y-ludzie, xRy ⇐⇒ x i y mają tego samego rodzica;
14. x, y-ludzie, xRy ⇐⇒ x i y mają tę samą matkę;
15. (a, b), (n, m) ∈ N2 , (a, b)R(n, m) ⇐⇒ a + m = n + b;
16. (a, b), (n, m) ∈ Z × Z \ {0}, (a, b)S(n, m) ⇐⇒ am = nb;
xn
∞ yn
17. {xn }, {yn } ∈ RN , {xn }%{yn } ⇐⇒ Σ∞
n=1 2n = Σn=1 2n ;
18. x, y-proste na płaszczyźnie, xRy ⇐⇒ x i y są równoległe;
19. x, y-proste na płaszczyźnie, xRy ⇐⇒ x i y są prostopadłe;
8
Wstęp do matematyki –Ćwiczenia
Zestaw 8. Funkcje
Zadanie 8.1. Czy podana relacja R ⊂ X × Y jest funkcją? Jeśli nie, to czy można tak
zmienić zbiory X, Y aby była.
1. (x, y) ∈ R ⇐⇒ x2 = y 2 X = Y = R;
2. (x, y) ∈ R ⇐⇒ x2 = y 3 R ⊂ N × Z;
3. (x, y) ∈ R ⇐⇒ x3 = y 2 R ⊂ N × Z;
4. (x, y) ∈ R ⇐⇒ x = y 2 R ⊂ R × R;
5. (x, y) ∈ R ⇐⇒ y ≤ x < y + 1 R ⊂ R × Z;
6. X = Y = R; xRy ⇐⇒ (y = x2 ∧ x ≤ 0) ∨ (y = 2 ∧ x ≥ 1);
7. X = Y = R; xRy ⇐⇒ (x ∈
/ Q ∧ y = 1) ∨ (x ∈ Q ∧ y = 0);
8. X = Y = N; xRy ⇐⇒ ∃
∃ (y = n + k ∧ x = nk);
n∈N k∈N
Zadanie 8.2. Niech S = {1, 2, 3, 4, 5}. Które z podanych funkcja f : S → S są różnowartościowe, "na", mają funkcję odwrotną?
a) f (n) = 6 − n;
b) f (n) = max{n, 3};
c) f (n) = n;
d) f (n) = min{2, n};
e) f (n) = min{n, 5};
f) f (n) = max{5, n};
Zadanie 8.3. Czy podana funkcja f : Z2 → Z2 jest różnowartościowa, "na", ma funkcję
odwrotną?
a) f (n, k) = (n + k, n − k);
b) f (n, k) = (2n, 3k);
c) f (n, k) = (n, −k);
d) f (x, y) = (2x, 3y);
e) f (n, k) = (n + k, −k);
f) f (n, k) = (n − k, nk);
g) f (n, k) = (n + k, n − 2k);
h) f (n, k) = (n + k, n2 − k 2 );
Zadanie 8.4. Wyznacz dziedzinę i zbiór wartości podanej funkcji
√
√
a) f (x) = 3 x;
b) f (x) = −x2 ;
c) f (x) = sin(1/x);
1
d) f (x) = 3 + ;
x
e) f (x) =
1
;
x−1
g) f (x) = ln(3 + x);
h) f (x) = ex−1 ;
f) f (x) =
2x
;
4 − 2x
i) f (x) = sin(2x) − 5 cos x;
9
Wstęp do matematyki –Ćwiczenia
Zadanie 8.5. Czy podana funkcja f : R → R jest różnowartościowa, "na", ma funkcję
odwrotną?
a) f (x) = 2x + 3;
b) f (x) = x2 − 4;
c) f (x) = |x + 3|;
d) f (x) = x3 − 1;
e) f (x) = (x − 1)3 ;
f) f (x) =
√
3
x − 1;
Zadanie 8.6. Czy podana funkcja f : R → R jest bijekcją? Wyznacz f ([0, 1)), f ((0, 1)),
f −1 ([0, 1)), f −1 ((0, 1))
a) f (x) = 3x − 1;
b) f (x) = x2 − 1;
c) f (x) = |x + 2|;
d) f (x) = x3 − 1;
e) f (x) = (x − 1)3 ;
f) f (x) = |1 − x|;
Zadanie 8.7. Czy podana funkcja f : N2 → N jest bijekcją? Oblicz podane obrazy i
przeciwobrazy.
1. f (n, k) = n + k;
2. f (n, k) = nk;
f ({1} × N), f −1 {1}, f −1 {3}, f −1 {2N}
f ({2} × 2N − 1), f (2N × 2N) f −1 {1}, f −1 {3}, f −1 {2N}
3. f (n, k) = N W W (n, k);
4. f (n, k) = max(n, k)
f {(2, 28)}, f {2N × 2N}, f −1 {1}, f −1 {2N}
f {(2, 28)}, f {2N × 2N}, f −1 {1}, f −1 {2N}
Zadanie 8.8. Zbadaj czy funkcja f : R → R określona wzorem
(
f (x) =
x+4
dla
x<0
(x − 2)2
dla
x≥0
jest różnowartościowa i "na" R. Wyznacz f −1 ((0, 4)) oraz f ((−3, 3)).
Zadanie 8.9. Zbadaj czy funkcja f : R → R określona wzorem
(
f (x) =
1 − x2
dla
x < −1
|x| − 1
dla
x ≥ −1
jest różnowartościowa i "na". Wyznacz f −1 ([−3, 0)) oraz f ((−2, 1)).
Zadanie 8.10. Zbadaj czy funkcja f : R → R określona wzorem
(
f (x) =
4 − x2
dla
x < −1
|x − 3|
dla
x ≥ −1
jest różnowartościowa i "na". Wyznacz f −1 ([0, 3]) oraz f ([−3, 0]).
10
Wstęp do matematyki –Ćwiczenia
Zestaw 9. Działania uogólnione
Zadanie 9.1. Oblicz sumy i iloczyny uogólnione
następujących zbiorów
1
1
2n + 1
An = −
Bn = 1,
Cn = [0, n);
n∈N
,
n+1 n+1
n+1
1
1
2t + 1
Dt = −
,
Et = 1,
Fn = [0, t + 1); t ∈ [0, 1]
t+1 t+1
t+1
n
(−1)
Gn = {1, 2, . . . , 3n }
Hn =
,2
In = [n, n + 1]; n ∈ N
n
Zadanie 9.2. Oblicz sumy i iloczyny uogólnione następujących zbiorów
1. At = {x ∈ R : x + 1 ≤ t},
2. Bt = {x ∈ R : |x| ≤ t},
t∈R
t ∈ R+
3. Ct = {x ∈ R : |x + 3| > t},
4. Dn =
n
(−1)
x ∈ R : 1 + (−1)n ≤ x ≤ 3 +
,
n
5. Et = {x ∈ R : x = sin t},
n
t ∈ R+
6. Fn = x ∈ R :
(−1)n
n
n∈N
t∈R
o
<x<n ,
n∈N
7. Gt = x ∈ R : (−1)n < x < 2 − n2 ,
8. Hn = {x ∈ R : n ≤ x < n + 1},
t∈N
n∈N
9. In = {x ∈ R : n ≤ x < n + 1}, n ∈ Z
S
T
Zadanie 9.3. Wyznacz n∈N An ,
n∈N An jeżeli
S
T
a) n∈N (R \ An ) = [−3, 0),
n∈N (R \ An ) = (−2, −1]
S
b) n∈N (R \ An ) = (0, ∞),
T
n∈N (R
\ An ) = [5, ∞)
n∈N (R \ An ) = R,
T
n∈N (R
\ An ) = R \ N
S
d) n∈N (R \ An ) = R \ N,
T
n∈N (R
\ An ) = ∅
T
n∈N (R
\ An ) = N
c)
e)
S
S
n∈N (R \ An ) = Z,
11