Wykład 2 i 3

1
MATEMATYKA W EKONOMII I ZARZĄDZANIU
Leszek S. Zaremba
Wykład 2-3 (Algebra Liniowa)
Wektorem nazywamy ciąg liczb ( x1 , x 2 ,..., x n ) , np. (5,6,7), (10,1,0,15) itp. W
ekonomii koszyk dóbr zapisuje się jako wektory. Np. (5,6,7) jako koszyk dóbr na
wyspie Hula Gula moŜe oznaczać 5 jabłek, 6 bananów i 7 pomidorów. Wektory
moŜna dodawać i mnoŜyć przez dowolną liczbę rzeczywistą, to jest,
(1)
(2)
( x1 , x 2 ,..., x n ) + ( y1 , y 2 ,..., y n ) = ( x1 + y1 , x 2 + y 2 ,..., x n + y n )
α ( x1 , x 2 ,..., x n ) = (αx1 , αx 2 ,..., αx n ) .
Anna zakupiła koszyk dóbr (5,6,7), zaś jej narzeczony Wojtek kupił koszyk dóbr
(4,7,3). (a)Ile dóbr łącznie kupili?; Ani siostra kupiła 2 razy większy koszyk dóbr niŜ
Wojtek. (b) Jaki to był koszyk?
Odpowiedź: (a) Kupili łącznie (5,6,7)+(4,7,3)=(9,13,10) dóbr; (b) 2(4,7,3) = (8,14,6) .
Iloczynem skalarnym dwóch wektorów ( x1 , x 2 ,..., x n ) oraz ( y1 , y 2 ,..., y n ) nazywamy
liczbę
i=n
(3)
〈 x, y〉 = ∑ xi y i = x1 y1 + x 2 y 2 + ... + x n y n .
i =1
Jeśli x = ( x1 , x 2 ,..., x n ) jest koszykiem dóbr, zaś y = ( y1 , y 2 ,..., y n ) jest wektorem ich
cen, to iloczyn skalarny wyraŜa koszt zakupu koszyka x. Jeśli na przykład na wyspie
Hula Gula kaŜde jabłko kosztuje 2 hulany, kaŜdy banan 3 hulany, zaś kaŜdy pomidor
4 hulany, to koszyk Wojtka moŜna kupić za
〈(4,7,3), (2,3,4)〉 = 8 + 21 + 12 = 41 hulanów.
W finansach wektor (5000,4000,7000) moŜe oznaczać zakupy akcji firm A, B, C za
odpowiednio 5000zł, 4000zł, 7000zł. Taki wektor moŜemy nazwać portfelem
inwestora. Gdyby inwestor sprzedał krótko (to znaczy, poŜyczył is sprzedał) akcje
firmy B za 15 tys. zł, zaś kupił akcje firm A i C za odpowiednio 5000zł, 10000zł, to
jego portfel P „wyglądałby” następująco: P = (5000, -15000,10000) i nie wymagałby
rzecz jasna własnego kapitału!
2
Portfel P nazwiemy arbitraŜowym dla inwestora którego horyzont inwestycyjny
wynosi T dni jeśli (i) P nie wymaga własnego kapitału; oraz (ii) niezaleŜnie od
scenariusza (czyli tego co się stanie po T dniach od dziś) zysk z portfela P będzie ≥ 0 .
Jeśli P = ( x1 , x 2 ,..., x n ) jest portfelem, zaś R = ( r1 , r2 ,..., rn ) wektorem stóp zwrotu z
inwestycji „1”, „2”, …, „n” w które zainwestowano odpowiednio x1 zł, x 2 zł, …,
x n zł to
i=n
(4)
〈 P, R〉 = ∑ xi ri jest zyskiem z portfela P .
i =1
Np. P=(6000,4000,1000), zaś rentowności z tych 3-ech inwestycji dane są wektorem
R=(10%, 7%, -5%). Wówczas zysk wyniesie 〈 P, R〉 = 600 + 280 − 50 = 830 zł.
Obliczmy teraz sami zysk z portfela P=(1000,4000,6000) gdy R=(10%, 7%, -5%).
〈 P , R〉 = ?
Przykład 1. ZałóŜmy Ŝe jeśli wybory parlamentarne wygra PiS, to stopy zwrotu z
inwestycji w nieruchomości wyniosą 30%, w bony skarbowe 5%, zaś w akcje spółek
wchodzących do indeksu WIG20 będą równe -10%, a więc wektor stóp zwrotu
 30 5 − 10 
R PiS = 
,
 . Jeśli z kolei wygra PO, to wektor stóp zwrotu z wymienio 100, 100 100 
 − 10 5 20 
nych powyŜej 3 inwestycji wyniesie R PO = 
,
,
 . Udowodnij Ŝe portfel
 100 100 100 
P = (4000, -9000, 5000) jest arbitraŜowy.
Rozwiązanie. Od razu widać Ŝe P nie wymaga własnego kapitału oraz Ŝe są tu 2
scenariusze „pokrywające” wszystkie przypadki: scenariusz nr.1 – wygra PiS oraz
scenariusz nr. 2 – wygra PO. Pozostaje upewnić się Ŝe zysk z portfela P w kaŜdym z 2
scenariuszy będzie ≥ 0 . W tym celu skorzystamy ze wzoru (4), otrzymując
 30 
 5 
 − 10 
(5) 〈 P, R PiS 〉 = 4000
 − 9000
 + 5000
 = 1200 − 450 − 500 = 250 zł,
 100 
 100 
 100 
 − 10 
 5 
 20 
(6) 〈 P, R PO 〉 = 4000
 − 9000
 + 5000
 = −400 − 450 + 1000 = 150 zł,
 100 
 100 
 100 
co kończy dowód.
∗
3
Tak jak wektor jest uogólnieniem liczby (czymś bardziej abstrakcyjnym jak liczba),
tak macierz jest uogólnieniem wektora. Rzeczywiście, macierzą nazywamy kaŜdy
prostokątny układ liczb, np.
(7)
 2 0 5 − 7
A =  3 8 − 6 4  ,
10 5 0
9 
6 
 0 10 0

B = −3 0
0 − 2 .
− 11 4 − 7 8 
Dodawanie dwóch macierzy określa się tak jak dodawanie dwóch wektorów, to
znaczy „po współrzędnych”, o ile rzecz jasna mają taką samą ilośc wierszy i kolumn
jak np. macierze A i B. Łatwo sprawdzić Ŝe
 2 10 5 − 1
A + B =  0 8 − 6 2  .
− 1 9 − 7 17 
Iloczyn macierzy określamy w nieco bardziej skomplikowany sposób, mianowicie
aby pomnoŜyć macierz C przez D, naleŜy pomnoŜyć kaŜdy wiersz C przez kaŜdą
1 3 
 3 8 1
21 30
, D = 2 2 , to C × D = 
.
kolumnę D, a więc np. gdy C = 

12 29
4 1 3

2 5
ZauwaŜmy Ŝe nie da się pomnoŜyć macierzy A przez B poniewaŜ nie da się
pomnoŜyć Ŝadnego wiersza A przez jakąkolwiek kolumnę B. Rzeczywiście, aby
pomnoŜyć dwa wektory przez siebie, musza one mieć taki sam wymiar (tyle samo
współrzędnych), co nie ma miejsca w przypadku wierszy macierzy A(maja 4 współrzędne) i kolumn macierzy B(maja 3 współrzędne).
Uwaga 1. MnoŜenie macierzy (o ile jest wykonalne) jest bardzo proste w Excelu,
wystarczy bowiem zaznaczyć miejsce na macierz będącą iloczynem dwóch macierzy
A i B które mnoŜymy przez siebie, czyli zaznaczyć tyle wierszy ile ma macierz A
oraz tyle kolumn ile ma macierz B), a następnie skorzystać z funkcji
MACIERZ.ILOCZYN
Przykład 1 (II-i sposób)
Dzięki naszej znajomości macierzy, rozwiąŜemy ten przykład w krótszy sposób.
Zamiast bowiem obliczać dwa iloczyny skalarne (5) i (6), pomnoŜymy tylko raz
4
macierz stóp zwrotu R przez portfel P (np. poprzez funkcję MACIERZ.ILOCZYN),
gdzie
 4000 
P = − 9000 ,
 5000 
 0,3 0,05 − 0,1
R=
 ,
− 0,1 0,05 0,2 
(8)
otrzymując
 0,3 0,05 − 0,1
− 0,1 0,05 0,2 


 4000 
− 9000 = 250 ,

 150 

 5000  
czyli nieujemne zyski w kaŜdym z dwóch scenariuszy. Zwróćmy uwagę na to Ŝe I-y
wiersz macierzy R reprezentuje stopy zwrotu w przypadku gdy wygra PiS, zaś II-i
wiersz reprezentuje stopy zwrotu w przypadku zwycięstwa PO. Z kolei, I-a kolumna
R podaje stopy zwrotu z nieruchomości, II-a kolumna stopy zwrotu z bonów skarbowych, a III-a kolumna z akcji firm naleŜących do indeksu WIG20.
∗
Przykład 2 (do rozwiązania w domu)
Biznesman Ababski zainwestował 5 tys.zł w fundusz nieruchomości, 100 tys.zł w
bony oraz 10 tys.zł w akcje(czyli łącznie 115 tys.zł). Wiadomo Ŝe stopy zwrotu
(holding period returns) z nieruchomości, bonów i akcji dane są w przypadku
zwycięstwa PiS przez wektor (1,05; 1,05;1,37), zaś w przypadku zwyciestwa PO
przez wektor (0,95; 1,05;1,42). Sąsiad Ababskiego wybrał portfel
Z=(10000; -20000; 10000) .
Wykonując mnoŜenie odpowiednich macierzy i wektorów,
(a) Czy portfel Ababskiego Y = (5000; 100000; 10000) jest bez ryzyka?;
(b) Ile będzie wart Y po roku?
(c) Jaka stopę zwrotu uzyska Ababski z Y?
(d) Na którą partie zagłosuje sąsiad Ababskiego?
(e) Czy jego portfel Z jest arbitraŜowy?
Odpowiedzi: (a) Y jest bez ryzyka poniewaŜ Y będzie wart tyle samo w obu scenariuszach; (b) Y będzie wart 123950zł; (c) 7,78%; (d) PiS; (d) tak.
Własności macierzy:
(1) A + B = B + A (przemienność dodawania)
(2) A(B + C) = AB + AC (rozdzielność dodawania względem mnoŜenia)
5
(3) (AB)C = A(BC) (łączność mnoŜenia)
(4) AB ≠ BA (mnoŜenie nie jest przemienne).
Podobnie jak wśród liczb rzeczywistych z działaniem mnoŜenia istnieje dokładnie
jeden element neutralny, mianowicie liczba 1 o tej własności Ŝe 1x = x oraz x1 = x,
tak i wśród macierzy z działaniem mnoŜenia zdefiniowanym powyŜej istnieje dokładnie jeden element neutralny względem mnoŜenia, mianowicie macierz “jedynkowa”
(oznaczana dalej przez J) która ma same jedynki na głównej przekątnej oraz same
zera poza tą przekątną. Oznacza to Ŝe
(9)
1 0 L 0
0 1 L 0

JA = A oraz AJ = A , gdzie J = 
L L L L


0 0 L 1
Ponadto, większość macierzy A ma element odwrotny (macierz odwrotną) oznaczaną przez A −1 o tej własności Ŝe
(10)
A( A −1 ) = J = A −1 (A) .
Fakt 1
Gdy C i D są macierzami odwracalnymi (to znaczy istnieją macierze C −1 i D −1 ) to
macierz CD jest odwracalna oraz
(CD ) −1 = D −1C −1 .
(11)
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
RozwaŜmy równanie macierzowo – wektorowe Ax =b, czyli
(12)
 a11
a
 21
K

a m1
a12
a 22
K
am2
K a1n   x1   b1 
 
L a 2 n   x 2   b2 
=
,
K K M   M 
   
K a mn   x n  bm 
które jest niczym innym jak układem m równań liniowych z n niewiadomymi zwykle
zapisywanymi w następujacy sposób
a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1
(13)
a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = b2
M
a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = bm
6
Nie jest to układ równań bardzo łatwy do rozwiązania, wręcz przeciwnie. Jednak
skrócony ale równowaŜny jednocześnie zapis (12) pozwala go rozwiązać w prostszy
sposób, szczególnie prosty wtedy gdy m = n, to znaczy, gdy ilość równań jest taka
sama jak ilość niewiadomych. Do tego jednak potrzebne będzie jeszcze jedno pojęcie,
mianowicie pojęcie wyznacznika, które przytaczamy poniŜej.
Definicja 1
Dla macierzy kwadratowej stopnia k, określamy jej wyznacznik w sposób indukcyjny,
to znaczy, przyjmując Ŝe potrafimy juŜ obliczać wyznacznik dowolnej macierzy kwadratowej stopnia k-1. Aby ta metodologia miała sens, musimy wiedzieć jak obliczać
wyznacznik najmniejszej macierzy, to jest macierzy stopnia 1, która jest po prostu
liczbą. PoniŜsza metoda nazywa się obliczaniem wyznacznika macierzy kwadratowej
za pomocą rozwinięcia Laplace’a według dowolnego wiersza albo dowolnej kolumny
1. Jeśli A = [a ] , to jej wyznacznik det(A) = a;
2. Zakładając Ŝe potrafimy obliczać wyznaczniki macierzy kwadratowych stopnia
k-1, poniŜszy wzór określa jak obliczyć wyznacznik dowolnej macierzy kwadratowej
stopnia k za pomocą rozwinięcia Laplace’a według 1-go wiersza:
 A11
A
21
det(A) = det 
K

 Ak 1
k
∑ (−1)
1+ i
A12
A22
K
Ak 2
K A1k 
L A2 n 
=
K K

K Akk 
A1iW1i = ( −1)1+1 A11W11 + ( −1)1+ 2 A12W12 + ... + ( −1)1+ k A1k W 1k ,
i =1
gdzie Wij = det(B), przy czym B jest podmacierzą A, która powstaje z A po skreśleniu
i-ego wiersza oraz j-ej kolumny macierzy A.
Przykład 3
1
0
Oblicz det(A) = det 
0

1
1 0 0
1 1 0
za pomocą rozwinięcia Laplace’a według
0 1 1

0 0 1
(a) 1-go wiersza, a następnie (b) 4-ej kolumny.
7
Rozwiązanie.(a) det(A) =
1 1 0
0 1 0 


(−1) × 1× W11 + (−1) × 1× W12 + 0 + 0 = det 0 1 1  − det 0 1 1 + 0 .
0 0 1 
1 0 1
2
3
1 1 0
Aby obliczyć det 0 1 1  postąpimy tak samo jak linijkę wyŜej, stosując rozwi0 0 1 
nięcie Laplace’a według pewnego wiersza lub kolumny. W jaki wybrać ten wiersz
lub tę kolumnę? Najlepiej będzie obliczyć ten wyznacznik za pomocą rozwinięcia
Laplace’a bądź według 1-ej kolumny (gdyŜ w 1-ej kolumnie jest tylko jeden element
róŜny od zera) bądź według 3-go wiersza (gdyŜ w 3-im wierszu jest równieŜ tylko
jeden element róŜna od zera). Wybierzmy np. tą drugą moŜliwość, otrzymując Ŝe
1 1 0
1 1
= 1× 1 − 0 × 1 = 1 .
det 0 1 1  = 0 + 0 + (−1) 3+3 det 
0 1

0 0 1 
Skorzystaliśmy tu z bardzo prostego i znanego wzoru który mówi Ŝe wyznacznik
a c 
dowolnej macierzy 2 × 2 , czyli macierzy 
 jest równy a × d − b × c . W istocie
b d 
rzeczy, wzór ten otrzymujemy obliczając wyznacznik macierzy 2 × 2 za pomocą
rozwinięcia Laplace’a według 1-go wiersza, czyli według wiersza [a c ] .
Wykonując to, otrzymujemy
a c 
det 
= (−1)1+1 × a × W11 + (−1)1+ 2 × c × W12 = a × d − c × b .

b d 
0 1 0 
Aby obliczyć det 0 1 1 , zastosujmy rozwinięcie Laplace’a według 1-go wiersza,
1 0 1
0 1 0 
0 1
otrzymując det 0 1 1 = (-1)det 
= 1 , z czego wynika iŜ det(A) =1- 1 = 0.
1 1

1 0 1
(b) Rozwijając według 4-ej kolumny będziemy mieć
8
1
0
det 
0

1
1 0 0
1 1 0
1 1 0
1 1 0


3+ 4
4+ 4
= 0 + 0 + (−1) × 1 × det 0 1 1  + (−1) × 1 × det 0 1 1 

0 1 1
1 0 0
0 0 1 

0 0 1
Pierwszy z tych dwóch wyznaczników obliczymy stosując rozwinięcia Laplace’a
względem 3-go wiersza (gdyŜ w 3-im wierszu jest tylko jedna liczba róŜna od zera),
zaś drugi wyznacznik obliczymy stosując rozwinięcia Laplace’a względem 1-ej
kolumny. Otrzymujemy zatem
1 1 0
1 0
det 0 1 1  = (−1) 3+1 × 1 × det 
+ 0 + 0 = 1× 1 − 1× 0 = 1
1 1 

1 0 0
oraz
1 1 0
1 1
det 0 1 1  = (−1)1+1 × 1 × det 
+ 0 + 0 = 1× 1 − 0 × 1 = 1 .
0 1

0 0 1 
Ostatecznie,
1
0
det 
0

1
1 0 0
1 1 0
= -1+1= 0
0 1 1

0 0 1
∗
Własności wyznaczników
(1) Wyznacznik macierzy transponowanej AT (wiersze A zostały zamienione na
kolumny – równowaŜnie moŜna powiedzieć Ŝe kolumny A zostały zamienione na
wiersze) równy jest wyznacznikowi macierzy A, to znaczy, det(A) =det( AT );
(2) JeŜeli w macierzy A przestawimy ze sobą 2 wiersze( lub 2 kolumny), to wartość
wyznacznika zmieni się na przeciwną;
(3) JeŜeli wszystkie elementy pewnego wiersza (bądź kolumny) macierzy A
pomnoŜymy przez stałą c, to wyznacznik tak otrzymanej macierzy Ac będzie c razy
większy niŜ wyznacznik A, to znaczy, det( Ac ) = c × det(A);
(4) Jeśli macierz B powstanie z macierzy A w ten sposób Ŝe do elementów
jakiegokolwiek wiersza (bądź kolumny) macierzy A dodamy elementy innego
wiersza (bądź kolumny) pomnoŜone przez stałą c, to det(B) = det(A);
(5) Jeśli wszystkie elementy pewnego wiersza (bądź kolumny) macierzy A są równe
zero, to det(A) = 0;
9
(6) Jeśli wszystkie elementy pewnego wiersza (bądź kolumny) macierzy A są
proporcjonalne do elementów innego wiersza (kolumny), to det(A) = 0.
Fakt 2
Jeśli macierz kwadratowa B stopnia m( czyli o m wierszach i m kolumnach) ma
wyznacznik róŜny od zera, to równanie macierzowo-wektorowe Bx = b ∈ R m , czyli
(14)
 b11 b12
b
 21 b22
K K

bm1 bm 2
K b1n   x1   b1 
 
L b2 n   x 2   b2 
=
K K  M   M 
    
K bmn   x n  bm 
ma zawsze (to znaczy dla dowolnego b) rozwiązanie dane wzorem
x = B −1 b .
(15)
∗
Przykład 4. RozwaŜmy układ 3 równań z 3 niewiadomymi:
3 1 1,5   x1 
2 1 0,5  x  =

  2
1 1 0   x3 
0
0.
 
10
Na mocy faktu 2, jego rozwiązanie jest postaci x = B −1b . Obliczając przy uŜyciu
dostępnej w Excelu funkcji MACIERZ.ODW macierz odwrotną do B, otrzymujemy
 − 1 3 − 2
B =  1 − 3 3  , a więc
 2 − 4 2 
−1
 x1  − 1 3 − 2  0 
x  =  1 − 3 3   0  =
 2 
 
 x3   2 − 4 2  10
− 20
 30  ,


 20 
co oznacza iŜ x1 = −20, x 2 = 30, x3 = 20 ; wcześniej upewniamy się za pomocą funkcji
WYZNACZNIK.MACIERZY Ŝe det(B) ≠ 0.
∗
Fakt 3 (ciekawa interpretacja mnoŜenia macierzy przez wektor). Jeśli macierz B
mnoŜymy przez wektor x (por. (14)), oznacza to Ŝe 1-a kolumna B mnoŜona jest
przez x1 , 2-a kolumna B mnoŜona jest przez x 2 , itd. a następnie dodawane są do
siebie tak otrzymane kolumny tworząc kolumnę równą b. Stosując tę własność do
przykładu 4, będziemy mieć
(16)
3
1
1,5   0 




-20 2 + 30 1 + 20 0,5 =  0  .
1 
1
 0  10
10
Rozwiązywalność układu równań liniowych
Pozostaje do wyjaśnienia kiedy istnieje jedno (lub więcej) rozwiązanie układu równań
liniowych (13) gdzie ilośc niewiadomych jest z reguły inna niŜ ilość równań. Tutaj
przychodzi nam w sukurs pojęcie liniowej niezaleŜności wektorów oraz pojęcie rzędu
macierzy.
Powiemy Ŝe wektor e jest liniowo zaleŜny od wektorów b1 , b2 ,..., bk , jeśli istnieją takie liczby λ1 , λ 2 ,..., λ k Ŝe zachodzi równość e = λ1b1 + λ 2 b2 + ... + λ k bk . Równanie (16)
0
pokazuje nam Ŝe wektor  0  jest liniowo zaleŜny od wektorów
10
3
2 ,
 
1 
1
1 ,

1
1,5 
0,5 .
 
 0 
Powiemy Ŝe wektory są niezaleŜne jeśli Ŝaden z nich nie jest zaleŜny od pozostałych.
Najbardziej prostym przykładem liniowo niezaleŜnych wektorów jest układ wektorów
które mają jedną współrzędną równą 1 zaś pozostałe współrzędne są równe zero, np.
(17)
1  0 0 0
0 1  0 0
  ,   ,   ,   .
0 0 1  0
       
0 0 0 1 
Zadanie do domu: udowodnij iŜ powyŜsze wektory są liniowo niezaleŜne!
 a11
a
21
Rząd macierzy A = 
K

a m1
a12
a 22
K
am2
K a1n 
L a 2 n 
, oznaczany przez rz(A), jest to maksymalK K

K a mn 
na ilość liniowo niezaleŜnych kolumn macierzy A.
Fakt 4 (a) rz(A) = maksymalnej ilości liniowo niezaleŜnych wierszy.
(b) Macierz kwadratowa stopnia k ma rząd równy k wtedy i tylko wtedy gdy
det(A) ≠ 0.
3 1 1,5 0 
Przykład 5. Oblicz rząd macierzy C= 2 1 0,5 0  . Po pierwsze, rz(C)< 4
1 1 0 10
poniewaŜ macierz C ma tylko 3 wiersze, zaś na mocy faktu 4(a) rząd kaŜdej macierzy
11
jest równy maksymalnej ilości jej liniowo niezaleŜnych wierszy. Po drugie, oznaczając przez B podmacierz składającą się z 3 pierwszych kolumn C, wnioskujemy na
mocy faktu 4(b) iŜ rząd(B)=3 poniewaŜ det(B)=0,5 ≠ 0 . Dowodzi to iŜ rz(C) ≥ 3, co
łącznie z nierównością rz(C)<4 pokazuje Ŝe rz(C)=3.
∗
Fakt 5. RozwaŜmy układ m równań liniowych z n niewiadomymi
a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1
a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = b2
M
a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = bm
czyli równanie macierzowo – wektorowe
 a11
a
 21
K

a m1
a12
a 22
K
am2
K a1n   x1   b1 
 
L a 2 n   x 2   b2 
=
,
K K M   M 
   
K a mn   x n  bm 
zapisywane skrótowo jako Ax =b. PowyŜszy układ równań liniowych ma co najmniej
jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy rz(A) = rz(A,b)
Przykład 6 Powrómy do układu 3 równań z 3 niewiadomymi
(18)
3 1 1,5   x1 
2 1 0,5  x  =

  2
1 1 0   x3 
0
0
 
10
rozpatrywanym juŜ w przykładzie 4. Sprawdźmy czy tym razem rz(A)=rz(A,b), gdzie
3 1 1,5 
3 1 1,5 0 


A = 2 1 0,5 , zaś (A,b) = 2 1 0,5 0  . Jest to dla nas szczególnie łatwe
1 1 0 
1 1 0 10
poniewaŜ rozwiązując przykład 5 pokazaliśmy iŜ rz(A,b)=3 oraz rz(A)=3, z czego
wynika iŜ równanie macierzowo-wektorowe (18) ma co najmniej jedno rozwiązanie.
Zadanie 1, str. 37 (z Podręcznika)
Wyprodukowanie x precli kosztuje K(x) = 0,3x+20, przychód ze sprzedaŜy precli
dany jest funkcją R(x) = 0,8x. (a) Kiedy zysk będzie równy 0?; (b) Jaki jest zysk
(strata) ze sprzedaŜy x precli?; oblicz zysk ze sprzedaŜy 100 precli; (c) Dla jakiego x
zysk wyniesie 500?
12
Rozwiązanie.
Zysk = przychód ze sprzedaŜy – koszty, czyli Z(x) = K(x) – K(x). Zatem zysk ze
sprzedaŜy x precli = 0 ⇔ Z(x) = 0 ⇔ K(x) = R(x), czyli 0,3x+20 = 0,8x ⇔ 20 = 0,5x
⇔ x = 40; (b) Z(x) = R(x) – K(x) = 0,5x -20; Z(100) = 50 – 20 = 30; (c) Z(x) = 500
⇔ 0,5x – 20 = 500 , czyli x = 1040 precli.
∗
Zadanie 3, str. 37 (z Podręcznika)
Kowalski planuje zakup x udziałów (jednostek uczestnictwa w PIONIER) oraz y
udziałów (akcji) TP S.A. Dziś jednostka uczestnictwa kosztuje 128zł, zaś akcja TP
S.A. 92zł. Dywidendy wynoszą odpowiednio 4,80zł oraz 5,60zł. Jak Kowalski
powinien rozdysponowac swym kapitałem w wysokości 40 tys.zł aby uzyskac 2160zł
z dywidend?
Rozwiązanie.
Mamy tu układ 2 równań z dwiema niewiadomymi:
128 x + 92 y = 40 000
4,8 x + 5,6 y = 2160
który moŜna zapisac w postaci macierzowo-wektorowej jako Ax = b, gdzie
128 92 
A=
, x=
 4,8 5,6
x
40000 
 y  , b =  2160  .

 

Na mocy Faktu 2, rozwiązaniem jest (por. wzór (15))
 0,020349 − 0,3343  40000  91,86 
x
−1
 y  = A b = − 0,01744 0,465116   2160  = 306,98 .

 


 
Aby uzyskac 2160zł dywidendy, Kowalski powinien kupic 91,86 jednostek
uczestnictwa PIONIER’a oraz 307 akcji TP S.A.
∗
Zadanie 4, str.37(z Podręcznika)
Indianie Waputi wyrabiają koce, dywany i spódnice. KaŜdy koc wymaga 24 godz.
przędzenia wełny, 4 godz. farbowania, 15 godz. plecenia. KaŜdy dywan wymaga 30
godz. przędzenia, 5 godz. farbowania oraz 18 godz. plecenia. KaŜda spódnica wymaga 12 godz. przędzenia, 3 godz. farbowania oraz 9 godz. plecenia. Ile kocy (x), dywanów (y) i spódnic (z) wyprodukuja Indianie jeśli poświecą na przędzenie 306 godz.,
na farbowanie 59 godz. zaś na plecenie 201 godz. ?
Rozwiazanie.
Otrzymujemy następujący układ równań liniowych ze względu na 3 niewiadome:
13
24x + 30y + 12z = 306 (czas przeznaczony na przędzenie)
4x + 5y + 3z = 59 (czas przeznaczony na farbowanie)
15x + 18y + 9z = 201 (czas przeznaczony na plecenie)
W tym przykładzie,
24 30 12
306
 − 0,5 − 3 5 / 3 
2 − 4 / 3 ,
A =  4 5 3  , b =  59  , A −1 =  0,5
15 18 9 
 201
− 1 / 6 1
0 
x
306 5
 y  = A −1  59  = 3 .
 

  
 z 
 201 1
Indianie wyprodukują 5 kocy, 3 dywany i 1 spódnicę.
∗
Zadanie 2, str.16(z Podręcznika)
Restauracja przygotowuje 3 rodzaje surówek: włoskie, francuskie i orientalne. Surówka włoska składa się z 0,3kg cukinii, 0,3kg brokuł oraz 0,4kg marchwi. Surówka
francuska składa sie z 0,6kg brokuł oraz 0,4kg marchwi, natomiast surówka orientalna składa sie z 0,2kg cukinii, 0,5kg brokuł, 0,3kg marchwi. Restauracja posiada w
magazynie 16200kg cukinii, 41400kg brokułów i 29400kg marchwi. Ile zestawów
surówek włoskich, francuskich I orientalnych jest w stanie przygotować aby zuŜyć
dokładnie wszystkie zapasy w magazynie?
Rozwiązanie.
Niech x = # zestawów włoskich; y = # zestawów francuskich; z = # zestawów
orientalnych. Zdefiniujmy macierz A w następujący sposób:
 0,3 0 0,2
A =  0,3 0,6 0,5  .
0,4 0,4 0,3
x
MnoŜąc 1-y wiersz A przez  y  otrzymujemy ile cukinii znajduje sie we wszystkich
 z 
x
zestawach surówek. MnoŜąc 2-i wiersz A przez  y  otrzymujemy ile brokułów
 z 
znajduje sie we wszystkich zestawach surówek. Podobnie, mnoŜąc 3-i wiersz A przez
14
x
 y  otrzymujemy ile marchwi znajduje się we wszystkich zestawach surówek.
 
 z 
Otrzymujemy więc równanie macierzowo-wektorowe
(19)
 0,3 0 0,2  x  16200 
 0,3 0,6 0,5   y  = 41400 ,

  

0,4 0,4 0,3  z  29400
które rozwiązujemy w taki sam sposób jak powyŜej, tzn.
 x   0,3 0 0,2
 y  =  0,3 0,6 0,5

  
 z  0,4 0,4 0,3
−1
16200   2 / 3 − 8 / 3 4 
41400 = − 11 / 3 − 1 / 3 3 
 


29400  4
4
− 6
16200  18000 
41400 = 15000 
 


29400 54000