Równania różniczkowe cząstkowe w teorii funkcji, dwa
Transkrypt
Równania różniczkowe cząstkowe w teorii funkcji, dwa
Równania różniczkowe czastkowe , w teorii funkcji. Dwa slynne problemy. Michal Jasiczak Horyzonty 2014 Podstawowy obiekt wykladu: funkcje holomorficzne wielu zmiennych Temat: dwa problemy, których znane cześciowe , rozwiazania wykorzystuja, metody równań , różniczkowych czastkowych. , 2 Definicja 1 Niech Ω ⊂ Cn bedzie obszarem. , Funkcje, f: Ω→C nazywamy funkcja, holomorficzna, , jeżeli dla każdego j = 1, . . . , n i dla dowolnie ustalonych punktów z1, . . . , zj−1, zj+1, . . . , zn funkcja z 7→ f (z1, . . . , zj−1, z, zj+1, . . . , zn) jest holomorficzna jako funkcja jednej zmiennej zespolonej, dla wszystkich z ∈ {z ∈ C : (z1, . . . , zj−1, z, zj+1, . . . , zn) ∈ Ω}. 3 Definicja 2 Mówimy, że funkcja f: D →C określona na obszarze D ⊂ C jest holomorficzna w punkcie z ∈ D, jeżeli jest różniczkowalna w sensie zespolonym w punkcie z, to znaczy istnieje granica f (z + h) − f (z) . h→0 h lim h∈C Funkcja f jest holomorficzna na obszarze D, jeżeli jest holomorficzna w każdym punkcie obszaru D. 4 Historycznie funkcje holomorficzne Ω ⊂ Cn byly definiowane jako funkcje holomorficzne wzgledem , każdej zmiennej osobno i ograniczone na zbiorach zwartych. Z wzoru calkowego Cauchy’ego wynika, że sa, one klasy C ∞. Z wzoru calkowego Cauchy’ego wynika, że sa, one klasy C ∞. 5 Twierdzenie 1 (Hartogs) Funkcja holomorficzna f : Ω → C jest ciag , la. 6 Podobnie jak w przypadku funkcji holomorficznej jednej zmiennej. Definicja 3 Funkcja f : Ω → C jest holomorficzna, jeżeli dla kadego z 0 ∈ Ω można dobrać r = r(z 0) tak, aby Dn(z 0, r) ⊂ Ω i aby f dala sie, przedstawić w postaci sumy bezwzglednie , zbieżnego szeregu potegowego , f (z) = X aα(z − z 0)α α dla z ∈ Dn(z 0, r). 7 Podstawowa idea: • Być może znane wlasności funkcji holomorficznych jednej zmiennej można w prosty sposób przenieść na przypadek funkcji holomorficznych wielu zmiennych. 8 Podstawowa idea: • Być może znane wlasności funkcji holomorficznych jednej zmiennej można w prosty sposób przenieść na przypadek funkcji holomorficznych wielu zmiennych. • Teoria funkcji wielu zmiennych jest znacznie bardziej ”geometryczna”. 9 Trzeba badać zwiazki miedzy trzema światami: , , • zbiory, obszary, na których określone sa, funkcje, • funkcje lub przestrzenie funkcji, • operatory określone na przestrzeniach funkcji, na przyklad operatory różniczkowe. 10 I Problem: Problem Korony Dla zadanych ograniczonych funkcji holomorficznych f1, . . . , fk : Ω → C rozwiazać równanie , g 1 f1 + · · · + g k fk = 1 zwane równaniem Bézout. 11 Interesuje nas wiec , przestrzeń H ∞(Ω) ograniczonych funkcji holomorficznych na obszarze Ω. 12 Zauważmy, że jeżeli dla f1, . . . , fk ∈ H ∞(Ω) istnieja, funkcje g1, . . . , gk ∈ H ∞(Ω), to k X 1= fj gj j=1 X 1/2 X 1/2 k k ≤ |fj |2 |gj |2 j=1 j=1 X 1/2 k ≤C |fj |2 . j=1 Musi wiec , wtedy być X k j=1 |fj (z)|2 1/2 ≥ 1 > 0. C 13 Faktycznie wiec , problem korony polega na znalezieniu dla zadanych funkcji f1, . . . , fk ∈ H ∞(Ω) spelniajacych warunek , k X |fj (z)| ≥ δ > 0, j=1 dla pewnej liczby δ, funkcji g1, . . . , gk ∈ H ∞(Ω) takich, że k X fj (z)gj (z) = 1. j=1 14 Przestrzeń H ∞(Ω) jest algebra, Banacha. To znaczy z norma, kf k := sup |f (z)| z∈Ω H ∞(Ω) jest przestrzenia, Banacha, z mnożeniem punktowym jest algebra, oraz mnożenie jest ciag , le kf gk ≤ kf k · kgk. 15 Niech m : H ∞(Ω) → C bedzie funkcjonalem liniowo-multiplikatywnym , na H ∞(Ω) m(a1f1 + a2f2) = a1m(f1) + a2m(f2), m(f1 · f2) = m(f1)m(f2), a1, a2 ∈ C, f1, f2 ∈ H ∞(Ω). 16 Zbiór M wszystkich funkcjonalów m : H ∞(Ω) → C, które sa, liniowo-multiplikatywne nazywa sie, przestrzenia, idealów maksymalnych. 17 Zbiór M wszystkich funkcjonalów m : H ∞(Ω) → C, które sa, liniowo-multiplikatywne nazywa sie, przestrzenia, idealów maksymalnych. • m jest automatycznie ciag , ly, 18 Istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość miedzy funkcjonalami liniowo-multyplikatywnymi, , a idealami maksymalnymi m ↔ ker m. 19 Na zbiorze M istnieje naturalna topologia. Jest nia, tak zwana ∗-slaba topologia. W tej topologii sieć mα ∈ M zbiega do m ∈ M wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej funkcji f ∈ H ∞(Ω) mα(f ) → m(f ). 20 Dla dowolnego z ∈ Ω funkcjonal mz : H ∞(Ω) 3 f 7→ f (z) ∈ C jest liniowy, multyplikatywny i ciag , ly. To oznacza, że Ω ,→ M. 21 Równoważne sformulowanie problemu korony: Czy zbiór Ω jest gesty w M? , 22 Równoważne sformulowanie problemu korony: Czy zbiór Ω jest gesty w M? , • TAK dla dysku D – L. Carleson (1962), dowód oparty na analizie funkcjonalnej L. Hörmander, znacznie prostszy dowód pochodzi z 1980 roku od Wolffa. • Nie jest znana odpowiedź dla podstawowych obszarów w Cn takich jak kula Bn, czy polidysk Pn = n o n z ∈ C : |zj | < 1, j = 1, . . . , n . 23 Niech f1, f2 ∈ H ∞(Ω) spelniaja, warunek |f1(z)| + |f2(z)| ≥ δ > 0. Możemy przyjać: , f¯1(z) γ1 := |f1(z)|2 + |f2(z)|2 f¯2(z) γ2 := . 2 2 |f1(z)| + |f2(z)| Wówczas oczywiście: γ1f1 + γ2f2 = 1. Funkcje γ1, γ2 nie sa, jednak oczywiście holomorficzne. Sa, jednak gladkie. 24 Pomysl polega poprawieniu γ1, γ2. Przyjmijmy: g1 := γ1 + uf2 g2 := γ2 − uf1. Wówczas oczywiście dla dowolnej funkcji u f1g1 + f2g2 = f1γ1 + f2γ2 + f1uf2 − f1uf2 = f1γ1 + f2γ2 = 1. Musimy wiec , wybrać u tak, aby g1 , g2 byly holomorficzne. 25 Tutaj wkraczaja, równania różniczkowe czastkowe! , Funkcje holomorficzne można zdefiniować jako rozwiazania równań Cauchy’ego-Riemanna. , Zdefiniujmy dla f : D → C √ ∂f 1 ∂ ∂ = + −1 f. ∂z̄ 2 ∂x ∂y Funkcja f : D → C jest holomorficzna wtedy i tylko wtedy, gdy ∂f = 0. ∂z̄ 26 Podobnie funkcja f : Cn ⊃ Ω → C jest holomorficzna wtedy i tylko wtedy, gdy: ∂f = 0, ∂z̄1 ... ∂f = 0. ∂z̄n 27 Przypomnijmy, że szukamy u takiego, aby g1 := γ1 + uf2 byla holomorficzna. Musi wiec , być ∂g1 = 0. ∂z̄ 28 Prowadzi to do nastepuj acego problemu: , , n uklad równań) Rozwiazać równanie (lub w C , postaci: ∂u = V. ∂z̄ 29 Oczywiście g1 := γ1 + uf2 ma być funkcja, ograniczona. Szukamy wiec , , ograniczonego rozwiazania równań , ∂u = V. ∂z̄ 30 Podstawowy wiec , problem jakie jest V . Okazuje sie, , że prawa strona definiuje tak zwana, miare, Carlesona. Dodatnia miara borelowska na dysku D jest miara, Carlesona, jeżeli: µ(S(θ0, ε)) ≤ Cε, gdzie: S(θ0, ε) = √ o −1θ re : |θ − θ0| < ε, |1 − r| ≤ ε . n 31 Podobny problem na obszarach w Cn, n > 1 prowadzi do problemów, które nie sa, izotropowe. To znaczy odpowiedniki obszarów S(θ0, ε) maja, różne wlasności, w szczególności wymiary, w zależności od kierunku. 32 Skad , sie, bierze nieizotropowa natura problemów w Cn, n > 1? Jeżeli dla z0 ∈ Ω, v ∈ Cn oraz r > 0 n o D(z0, v, r) := z0 + λv : λ ∈ C, |λ| < r ⊂ Ω to wzór calkowy Cauchy’ego 1 √ f (ζ) f (z0) = dζ 2π −1 ∂D(z0,v,r) (ζ − z0)2 0 Z da oszacowanie 0 |f (z0)| . kf kH ∞ . r 33 Podsumowujac: , n, n > Metoda rozwiazania problemu korony w C , 1 prowadzi do ukladu równań postaci ∂f = Vj , ∂z̄j j = 1, . . . , n, które trzeba rozwiazać znajdujac , , rozwiazanie ograniczone. Prawa strona , (V1, . . . , Vn) spelnia pewne geometryczne oszacowania nieizotropowej natury. 34 Znane metody daja, rozwiazania w wiekszych , , przestrzeniach takich jak przestrzenie Hardy’ego H p, 1 ≤ p < ∞, przestrzeń BMOA funkcji holomorficznych o ograniczonej oscylacji na brzegu lub przestrzenie funkcji o wzroście logarytmicznym: |f (z)| ≤ C log(1 − |z|)|k dla pewnego k ∈ N0. 35 Problem II: Zasada odpowiedniości brzegów Carathéodory’ego: Twierdzenie 2 Niech obszary D1, D2 bed , a, ograniczone krzywymi Jordana ∂D1, ∂D2. Wówczas przeksztalcenie biholomorficzne f : D1 → D2 można przedlużyć na brzeg obszaru D1 do homeomorfizmu obszarów domknietych D̄1 i D̄2. , 36 Niech Ω1, Ω2 ⊂ Cn bed , a, ograniczonymi obszarami o gladkich brzegach. Czy biholomorfizm F : Ω1 → Ω2 przedluża sie, do dyfeomorfizmu domknieć , obszarów Ω̄1, Ω̄2? 37 Rozwiazanie tego problemu pozwoliloby przy, porzadkować obszarowi Ω pewne niezmienniki , zdefiniowane dla punktów należacych do brzegu , ∂Ω. To z kolei pozwoliloby myśleć o klasyfikacji obszarów ze wzgledu na relacje, bycia biho, lomorficznym. 38 Twierdzenie 3 (Riemann) Dowolny obszar jednospójny, którego brzeg sklada sie, z wiecej niż , jednego punktu, jest biholomorficzny z dyskiem. 39 Problem istnienia rozszerzenia biholomorfizmu jest rozwiazany dla obszarów silnie pseudowy, puklych – Fefferman 1974. 40 Inna idea (Bell, Ligocka 1980): wykorzystać przestrzenie Sobolewa 41 Przestrzeń Sobolewa Wk (Ω) := n o 2 α 2 u ∈ L (Ω) : D u ∈ L (Ω), |α| ≤ k . kukL2(Ω) = Z Ω |u|2dx 1/2 . 42 Dla funkcji ciag , lej u ∈ C(Ω̄) ma sens odwzorowanie u 7→ u|∂Ω u|∂Ω to ślad funkcji u. 43 Podobnie dla odpowiednio dużego k funkcje z przestrzeni Sobolewa Wk (Ω) też maja, ślady! 44 Pomysl: Wykorzystajmy ślad w sensie teorii przestrzeni Sobolewa jako rozszerzenie biholomorfizmu! 45 Zamiast badać równanie ∂u = V latwiej jest badać równanie ∗ ∗ (∂ ∂ + ∂∂ )u = f. 46 Aby skonstruować rozszerzenie trzeba zbadać wlasności ∗ ∂ ∂ + ∂∂ ∗ na przestrzeniach Sobolewa. 47 ∗ ∂ to operator formalnie sprzeżony z ∂ , Z Ω ∗ ∂ uv̄dx = Z Ω u ∧ ?∂v dla u, v o zwartym nośniku zawartym w Ω, czyli ∗ (∂ u, v) = (u, ∂v). 48 Operator ∗ = ∂ ∂ + ∂∂ ∗ to w zasadzie laplasjan 2n X ∂2 ∆= . 2 j=1 ∂xj 49 Rozważmy równanie Lu = f, gdzie Lu = − n X (aij (x)uxi )xj + i,j=1 n X biuxi + c(x)u. i=1 Na przyklad Laplasjan ∆. 50 Wówczas, jeżeli f ∈ Wk (Ω) oraz Lu = f, to u ∈ Wk+2,loc(Ω), gdy aij , bi, c ∈ C k+1(Ω). 51 Rozwiazanie u ma wiec lepsze wlasności od , , prawej strony równania Lu = f . 52 Być może te, sama, wlasność ma nasze równanie ∗ ∗ (∂ ∂ + ∂∂ )u = f. 53 Jeżeli Ω jest obszarem skończonego typu, to zachodza, oszacowania subeliptyczne ∗ 2 2 2 2 kukε ≤ C k∂uk + k∂ uk + kuk dla ε > 0. 54 Zatem dla obszarów skończonego typu mamy rozszerzenia biholomorfizmów. 55 Przyklady obszarów skończonego typu: {z ∈ C2 : |z1|4 + |z2|6 < 1} {2<z3 + |z12 − z23|2 + |z1|8 + |z1|18 − |z2|12 < 1} 56