Analiza grupowa równań różniczkowych - PL

Akademia Górniczo-Hutnicza imienia S. Staszica
WydziaÃl Matematyki Stosowanej
Analiza grupowa równań różniczkowych
Vsevolod Vladimirov
Kraków 11 lipca 2012
2
SPIS TREŚCI
RozdziaÃl 1
Grupy i algebry
6
1.1. Lokalna jednoparametrowa grupa Liego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.1.1. Pojecie
grupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
,
6
1.1.2. Jednoparametrowa grupa przeksztaÃlceń . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2. PrzeksztaÃlceńia infinitezymalne. Pierwsze fundamentalne twierdzenie S. Liego
9
1.3. PrzeksztaÃlcenie wykÃladnicze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.4. PrzeksztaÃlcenie IFO przy nieosobliwej zamianie zmiennych . . . . . . . . . .
14
1.5. Niezmienniki grupy jednopametrowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.5.1. Niezmienniczość funkcji
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.6. Niezmienniczość rozmaitości algebraicznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.7. Algebra Liego generatorów infinitezymalnych . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.8. Grupy dopuszczalne przez równania różniczkowe . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.9. Teoria przedÃlużeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
1.10. Kryterium niezmienniczości. Procedura rozszczepienia i równania określajace
,
26
1.11. PrzykÃlady poszukiwania symetrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
1.12. Symetrie potencjalnego równania Burgersa. Izomorfizm algebr Liego i przykÃlad
linearyzacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
RozdziaÃl 2
Zastosowania
37
2.1. Rozwiazania
niezmiennicze. Redukcja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
,
37
2.2. PrzykÃlad 1. Rozwiazania
typu fali biegnacej
równania Kortevega-de Vriesa .
,
,
39
2.3. PrzykÃlad 2. Samopodobne rozwiazanie
równania transportu ciepÃla . . . . . .
,
42
2.4. Rozmnażanie rozwiazań
za pomoca, symetrii . . . . . . . . . . . . . . . . . .
,
44
2.5. Problem klasyfikacji grupowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
2.6. Symetrie i caÃlkowanie równań różniczkowych zwyczajnych . . . . . . . . . .
49
2.6.1. Równanie skalarne rzedu
1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
,
49
2.6.2. O maksymalnej grupie symetrii RRZ rzedu
2. . . . . . . . . . . . . .
,
52
2.6.3. RRZ rzedu
2: zastosowanie symetrii do obniżenia rzedu.
. . . . . . .
,
,
55
2.6.4. Klasyfikacji RRZ rzedu
2 dopuszczajacych
algebre, dwuwymiarowa., .
,
,
58
3
2.7. Zakończenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
4
Wstep
,
Równania różniczkowe sa, podstawowym narzedziem
nauk technicznych, przyrodniczych, a
,
nawet, w ostatnim czasie, humanistycznych. Posdstawowe modele nauk przyrodniczych
formuÃlowane sa, w postaci równań różniczkowych czastkowych
(RRCz) lub zwyczajnych
,
(RRZ) (równania dynamiki Newtona, równanie transportu ciepÃla, równanie falowe, równanie
Schrödingera, etc., etc.). Pierwszym krokiem przy opisie zjawiska przyrodniczego jest sformuÃlowanie adekwatnego modelu, którym najcześciej
jest równanie różniczkowe. Nastepnym
kro,
,
kiem jest próba rozwiazania
tego równania oraz fizyczna interpretacja uzyskanych rozwiazań.
,
,
Nie stanowi wiekszego
problemu rozwiazywanie
liniowych równań różniczkowych o staÃlych
,
,
wspóÃlczynnikach. Jest to jednak sytuacja wyjatkowa:
równania liniowe nie obejmuja, swoim
,
zakresem wiekszości
ciekawych zjawisk, takich jak grawitacyjne oddziaÃlywanie ciaÃl, przepÃlywy
,
rzeczywiste cieczy i gazu, procesy szybkie (uderzenie, wybuch) i wiele-wiele innych.
Na odmiane, od rownań liniowych, uzyskanie rozwiazań
analitycznych nieliniowych RR
,
zwyczajnych lub czastkowych
stanowi duży problem. Przegladaj
ac
,
,
, metody rózwiazywania
,
RRZ, czytelnik czesto
gubi sie, w rozmaitych, na pozór w żaden sposób nie zwiazanych
ze
,
,
soba,, metodach stosowanych do pewnych klas równań. Jeśli chodzi o nieliniowe równania
czastkowe,
to sytuacja tu jest jeszcze dramatyczniejsza, gdyż ogólne metody rozwiazywannia
,
,
konkretnych zagadnień poczatkowo-bregowych
poprostu nie istnieja., Dlatego teoretyczne ba,
dania nieliniwych RRCz najcześciej
sprowadzaja, sie, do wykazania istnienia i jednoznaczności
,
rozwiazań,
natomiast w praktyce równania takie rozwiazuje
sie, za pomoca, maszyn cyfrowych
,
,
z czym wiaże
sie, szereg problemów zarówno teoretycznych jak i praktycznych.
,
Jedna, z nielicznych alternatyw metodam numerycznym w odniesieniu do nieliniowych RR
sa, metody symetrii, bardziej dokÃladnie, teoria grup Liego. Motywacja, dla twórcy tej teorii,
wybitnego norweskiego matematyka Sophusa Liego, byÃlo skuteczne zastosowanie teorii grup
Galois do problemu rozwiazalnoći
w radykaÃlach równań algebraicznych dowolnego rzedu.
,
,
Próba stworzenia analogicznej teorii na potrzeby RR doprowadziÃla do powstania teorii grup
ciagÃ
, lych.
Plan kursu jest nastepuj
acy.
Na poczatku
omówione zostana, pojecie
lokalnej jenopa,
,
,
,
rametrowej grupy przeksztaÃlceń oraz generatora przeksztaÃlceń infinitezymalnych.
Dalej
bed
, a, sformuÃlowane kryteria niezmienniczości funkcji oraz rozmaitości algebraicznej wzgledem
,
dziaÃlania grupy. Poecia
te sa, bardzo naturalne i Ãlatwo interpretuja, sie, geometrycznie. Praw,
dziwie rewolucynym pomysÃlem twórcy analizy grupowej RR byÃlo spojrzenie na ukÃlad równań
5
różniczkowych jako na rozmaitość algebraiczna, należac
, a, do rozszerzonej przestrzeni Euklidesowej, ktorej punktami sa, zmienne niezależne, zależne oraz poczodne zmiennych zależnych.
ZakÃlada sie, że na tej przestrzeni dziaÃla t.zw. grupa przedÃlużona, która nie jest obiektem samodzielnym lecz jest indukowana dzialaniem grupy ciagÃ
, lej na przestrzeni zmiennych zależnych
i niezależnych Po omówieniu tych podstawowych pojeć
, bedzie podane algorytmiczne kryterium niezmienniczości RR. Nastepnie
bedzie
pokazane w jaki sposób znajomość grupy sy,
,
metrii konkretnego RR można wykorzystać do uzyskania rozwiazań.
Podana również bedzie
,
,
procedura teorio-gropowego ”rozmnażania ” już istniejacych
rozwiazań
i inne zastosowania,
,
,
m.in. zastosowanie symetrii do caÃlkowania równań różniczkowych zwyczajnych rzedu
1 i 2.
,
6
RozdziaÃl 1
Grupy i algebry Liego
1.1.
1.1.1.
Lokalna jednoparametrowa grupa Liego
Pojecie
grupy
,
Definicja 1.1.Grupa, nazywa sie, zbiór G z dziaÃlaniem φ : G × G −→ G o nastepuj
acych
,
,
wÃlasnościach:
à aczność:
1. L
,
φ(a, φ(b, c)) = φ(φ(a, b), c)).
2. Element neutralny: istnieje (jedyny) element e ∈ G taki że ∀ a ∈ G
φ(a, e) = φ(e, a) = a.
3. Element odwrotny: ∀ a ∈ G ∃ (jedyny) element b określany jako a−1 taki że
φ(a, a−1 ) = φ(a−1 , a) = e
Definicja 1.2.
Grupa G nazywa sie, grupa, abelowa, (przemienna)
, jeżeli ∀ a, b ∈ G φ(a, b) = φ(b, a).
PrzykÃlady grup
1. G - zbiór wszystkich liczb caÃlkowitych z dziaÃlaniem ”+”.
2. G - zbiór wszystkich liczb dodatnich z dziaÃlaniem ”·”.
3. Grupa obrotów trójkata
równobocznego ABC zachowujaca
jego symetrie, przestrzenna,
,
,
(obrót o wielokrotność ± 120o ). Element neutralny: obrót o zero stopni; element odwrotny do 2 k π/3: −2 k π/3 (obrót traktujemy moduÃlo 360o !!! zatem k = 0, 1, 2, 3.)
4. Zbiór wszystkich macierzy kwadratowych wymiaru n o nieznikajacych
wyznacznikach,
,
z dziaÃlaniem określonym jako mnożenie macierzy.
7
1.1.2.
Jednoparametrowa grupa przeksztaÃlceń Niech U - zbiór otwarty w Rn .
Rozpatrzmy jednoparametrowa, rodzine, przeksztaÃlcenia Ta : U −→ U :
x̄k = f k (x1 , x2 , ...xn ; a),
(x1 ...xn ) ∈ U,
a ∈ ∆ ⊂ R1 .
(1.1)
Bedziemy
zakÃladać że funkcje f i sa, klasy C 3 ze wzgledu
na zmienne xk , oraz klasy C ∞
,
,
ze wzgledu
na parametr a.
,
Mówimy że rodzina {Ta }a ∈ ∆ jest lokalnie domknieta
ze wzgledu
na superpozycje, odwzo,
,
rowań, jeżeli istnieje podzbiór otwarty ∆0 ⊂ ∆ taki iż ∀ b, c ∈ ∆0 Tc · Tb ∈ {Ta }a ∈ ∆ . Przy
tym powstaje funkcja d = ϕ(b, c) która zadaje prawo superpozycji elementów tego zbioru
zgodnie ze wzorem
Td = Tc · Tb .
Definicja 1.3.
Rodzine, {Ta }a ∈ ∆ nazywamy lokalna, jednoparametrowa, grupa, przekztaÃlceń jeżeni jest ona
lokalnie domknieta
ze wzgledu
na superpozycje, przeksztaÃlceń oraz jeżeli podzbiór ∆0 można
,
,
wybrać w taki sposób by speÃlnione byÃly nastepuj
ace
warunki:
,
,
1. istnieje jedyna liczba e ∈ ∆ taka że Te jest odwzorowaniem tożsamościowym.
2. Funkcja ϕ(a, b) jest trzy razy różniczkowana w spoób ciagÃ
, ly, oraz równanie ϕ(a, b) = e
ma jedyne rozwiazanie
∀ a ∈ ∆0 .
,
Paremetr a ∈ ∆ nazywamy kanonicznym jeżeli ϕ(a, b) = a + b.
Twierdzenie 1.1.
W dowolnej grupie jenoparametrowej można wprowadzić parametr kanoniczny.
Dowód.
Niech Tc = Tb · Ta jest taka że c = ϕ(a, b). Jeżeli nadamy maÃly przyrost ∆ b parametrowi
b wówczas parametr c zmieni sie, o maÃla, wielkość ∆ c: c + ∆ c = ϕ(a, b + ∆b). W terminach
przekśztaÃlceń można to zapisać w postaci Tb+∆ b · Ta = Tc+∆ c . Mnożac
, to z prawej przez
Tc−1 = Ta−1 · Tb−1 otrzymamy:
Tb+∆ b · Tb−1 = Tc+∆ c · Tc−1 ,
lub, w terminach ϕ,
ϕ(c−1 , c + ∆ c) = ϕ(b−1 , b + ∆ b).
8
∂ ϕ(a,b)
|a=b−1 .
∂b
Wprowadźmy oznaczenie V (b) =
Ze wzoru Taylora mamy:
ϕ(b−1 , b + ∆ b) = V (b)∆ b + O(∆ b2 ).
Z gÃladkości funkcji wynika że |∆ c| = O(∆ b). Zatem
V (c)∆ c = V (b) + O(∆ b2 ).
Dzielac
przez ∆ b oraz stosujac
lim (·), otrzymamy zagadnienie
, obie cześci
, operacje,
,
∆ b→ 0
poczatkowe
,
V (c)
dc
= V (b),
db
c|b=e = a.
(1.2)
Zauważmy, że V (e) = 1 (wynika to z definicji V).
Wprowadźmy funkcje,
Z a
ā = τ (a) =
V (s) d s.
(1.3)
e
Tak zdefiniowan funkcja, bedzie
rozwiazaniem
zagadnienia poczatkowego
(1.2). Rzeczywiście,
,
,
,
caÃlkujac
, równanie (1.2) na odcinku < e, b > otrzymamy:
Z b
Z ϕ(a, b)
∂c
V [c(a, b)]
ds =
V [σ] d σ =
∂s
e
ϕ(a, e)
Z c
Z b
=
V [σ] d σ =
V [s] d s.
a
e
Zatem, uwzgledniaj
ac
, że
,
Z c
Z e
Z c
(·) =
(·) +
(·),
a
a
e
otrzymujemy równość
Z c
Z
c̄ =
V (s) d s = ā + b̄ ≡
e
Z
a
b
V (s) d s +
e
V (s) d s.
e
PrzykÃlady.
2
1. Grupa przesuneć
, w R
x0 = x + a,
y 0 = y + 2 a; a jest parametrem kanknocznym.
9
2. Grupa scalingowa dziaÃlajaca
w R1 :
,
x0 = ax,
∂a b
|
∂b a=1/b
a > 0; parametr a nie jest kanoniczny. Ponieważ a−1 = 1/a wiec
, V (b) =
= 1/b. Zatem przejście do parametru kanonicznego dane jest wzorem
Z
a
τ (a) =
1
ds
= log(a).
s
0
τ
Wyrażzjac
, a przez τ , otrzymamy: x = e x = ϕ(x; τ ), przy czym φ(φ(x, τ1 ), τ2 ) =
φ(x; τ1 + τ2 ).
3. Obróty w R2 (grupa O(2))
x∗ = x cos a − y sin a0
y ∗ = x sin a + y cos a.
Zadanie: wykazać że O(2) jest grupa, i że parametr a jest kanoniczny.
1.2.
PrzeksztaÃlceńia infinitezymalne. Pierwsze fundamentalne twierdzenie S. Liego
Odtad
, uważamy że parametr a jest parametrem kanonicznym. Zdefiniujmy funkcje
ξ k (x) =
∂f k (x; a)
|a=0 ,
∂a
k = 1, 2, ...m.
Funkcje te nazywamy wspóÃlrzednymi
generatora przeksztaÃlceń infinitezymalnych . Nazwa ta
,
pochodzi stad
, iż dla |a| << 1
x̄k = xk + a ξ k (x) + O(a2 ).
Zachodzi
Twierdzenie 1.2.(Pierwsze Fundamentalne Twierdzenie Liego). Funkcje f k (x; a) speÃlniaja,
nastepuj
ace
zagadnienie poczatkowe:
,
,
,
∂ fk
= ξ k (f ),
∂a
f k |a=0 = xk .
(1.4)
Odwrotnie, dla dowolnego zbioru funckji gÃladkucj {ξ k }nk=1 zagadnienie poczatkowe
(1.4)określa
,
lokalna, jednoparametrowa, grupe, dla której funkcje {ξ k }nk=1 tworza, zbiór wspóÃlrzednych
gene,
ratora przeksztaÃlceń infinitezymalnych.
10
Dowód. Zapiszemy równość Ta+∆ a = T∆ a · Ta w terminach funkcji f i (zakÃladamy że
parametr jest kanoiczny):
f i (x, a + ∆ a) = f i (f (x, a), ∆ a).
Do obu stron równości zastosujemy wzór Taylora:
∂ f i (x, a)
∆ a + O(|∆ a|2 ),
∂a
i
∂
f
(f
)
f i (f (x, a), ∆ a) = f i (x, a) +
|∆ a=0 ∆ a + O(|∆ a|2 ).
∂ ∆a
f i (x, a + ∆ a) = f i (x, a) +
Przywównujac
stosujac
, stronami, dizelac
, przez ∆ a, a nastepnie
, operacje, lim (·), otrzy,
∆ a→ 0
mamy równanie (1.4). Warunek poczatkowy jest speÃlniony ponieważ T0 = Id.
Niech teraz dany jest zbiór gÃladkich funkcji {ξ k (x)}nk=1 . UkÃlad (1.4) jest ukÃladem RRZ
ze wzgledu
na a. Zgodnie z klasycznym twierdzeniem analizy, ukÃlad ten posiada jedyne
,
rozwiazanie
dla dostatecznie maÃlych wartości parametru a. Wykażemy że jednoparametrowa
,
rodzina przeksztaÃlceń która, można skojarzyć z rozwiazanime
powyższego problemu tworzy
,
grupe.
, Do tego wystarczyÃloby wykazać że Tb · Ta = Ta+b , lub, w terminach f , że
f i (f (x, a), b) = f i (x, a + b).
Oznaczmy f i (f (x, a), b) przez y i (b), zaś f i (x, a + b) przez z i (b). Różniczkujac
, te funkcje
otrzymamy:
∂ yi
∂ f i (f, b)
=
= ξ(y),
∂b
∂b
f i (f, 0) = y i (0) = f i (x, a),
oraz
∂ zi
∂ f i (x, a + b)
=
= ξ(z),
∂b
∂b
z i (0) = f i (x, a).
Zatem funkcje te speÃlniaja, taki sam ukÃlad równań zwyczajnych oraz jednakowe dane poczatkowe.
,
Ze standardowego twierdzenia od jednoznaczności rozwiazań
wynika teza.
,
Zadania do rozdziaÃlów 2,3
1. Spradzić, które z poniższych przeksztaÃlceń tworza, 1-parametrowa, grupe, Liego:
(a) x∗ = x − a y,
y ∗ = y + a x,
(b) x∗ = x − a2 ,
y ∗ = y,
(c) x∗ = x + a,
y∗ =
x+y
.
x+a
11
2. Rozpatrzmy 1-parametrowa, rodzine, przeksztaÃlceń
x0 =
√
y0 = a x +
1 − a2 x − a y,
√
1 − a2 y.
• Wykazać że przeksztaÃlcenia te tworza, grupe, 1-parametrowa, oraz znaleźć funkcje,
ϕ(a, b);
• Znaleźć parametr kanoniczny oraz ξ(x).
Rozpatrzmy 1-parametrowa, rodzine, przeksztaÃlceń
x0 = x + a,
y0 =
xy
.
x+a
• Wykazać że przeksztaÃlcenia te tworza, grupe, 1-parametrowa, oraz znaleźć funkcje,
ϕ(a, b);
• Znaleźć parametr kanoniczny oraz ξ(x).
• scaÃlkować równanie Liego.
3. Rozpatrzmy 1-parametrowa, rodzine, przeksztaÃlceń
x0 = x − a t,
t0 = t,
u0 = u ea x/w−a
2
t/4
.
• Wykazać że przeksztaÃlcenia te tworza, grupe, 1-parametrowa, oraz znaleźć funkcje,
ϕ(a, b);
• Znaleźć parametr kanoniczny oraz ξ(x).
• scaÃlkować równanie Liego.
4. CaÃlkujac
, równanie Liego, znaleźć 1-parametrowe grupy przeksztaÃlceń odpowiadajace
,
nast’epujacym
gemeratorom przeksztaÃlceń infinitezymalnych: grup jednoparametro,
wych dziaÃljacych
w R2 :
,
• ξ 1 = x,
ξ 2 = y;
• ξ 1 = x,
ξ 2 = −y;
• ξ 1 = x2 ,
ξ 2 = y2;
• ξ 1 = −y,
ξ 2 = x.
12
1.3.
PrzeksztaÃlcenie wykÃladnicze
Definicja 1.4.Generatorem przeksztaÃlceń infinitezymalnych (lub infinitezymalnym operatorem - bf IFO) nazywamy operator
X̂ =
n
X
ξ k (x)
k=1
∂
.
∂ xk
(1.5)
Zgodnie z pierwszym twierdzeniem Liego, każdemu zbiorowi gÃladkich funkcji {ξ k (x)}nk=1 ,
zadanych na zbiorze otwartym U ∈ Rn odpowiada lokalna 1-parametrowa ciagÃ
, la grupa przeksztaÃlceń. Rozwiazania
ukÃladu równań (1.4) czesto
kojarza, z odwzorowaniem
,
,
U 3 x → exp [a X̂] x ∈ Rn .
Bedziemy
utożsamiać exp a X̂ [x] z wektor-funkcja, f (x; a) = {f k (x; a)}nk=1 . ZakÃladajac
, że a
,
jest parametrem kanonicznym, możemy sformuÃlować kilka wÃlasności odwzorowania exp [a X̂],
które formalnie sie, pokrywaja, z odpowiednimi wÃlasnościami funkcji wykÃladniczej:
•
•
•
exp [a X̂] exp [b X̂] x = exp [(a + b) X̂]] x = exp [b X̂] exp [a X̂] x;
(1.6)
exp [0 X̂] x = x;
´
h
n
o i
d ³
exp [a X̂] x = X̂ exp a X̂ x .
da
(1.7)
(1.8)
Zachodzi
Twierdzenie 1.3.Jednoparametrowa grupa przeksztaÃlceń Liego z generatorem X̂(x) =
Pn
k=1
jest równoważna z odwzorowaniem
a X̂
x̄ = e
·
¸
∞
X
a2 2
a2 2
ak k
X̂ x.(1.9)
x = x + a X̂ x + X̂ x + ... = 1 + a X̂ + X̂ + ... x =
2!
2!
k!
k=1
Dowód. Wprowadźmy oznaczenia:
X̂(x) =
n
X
m=1
ξ k (x)
∂
∂ xm
i
k
X̂[x̄ ] =
n
X
m=1
ξ m (x̄)
∂ x̄k
,
∂ x̄m
ξ k (x) ∂ ∂xk
13
gdzie x̄k = f k (x, a). RozkÃladajac
a otrzymamy
, to wyrażenie w szereg Taylora wzgledem
,
µ
¶
∞
X
am ∂ m x̄k
k
x̄ =
|a=0 .
m!
∂ am
m=1
Dla dowolnej funkcji różniczkowalnej F (x̄)
n
n
X
X
∂
∂ F (x̄) ∂ x̄m
∂ F (x̄)
F (x̄) =
=
ξ m (x̄)
= X̂[x̄]F [x̄].
m
∂a
∂ x̄
∂a
∂ x̄m
m=1
m=1
Zatem
∂ x̄
= X̂[x̄] x̄,
∂a
µ
¶
∂
∂ x̄
∂ 2 x̄
=
= X̂[x̄]X̂[x̄] x̄,
2
∂a
∂a ∂a
...........................
∂ m x̄
= X̂ m [x̄] x̄,
m
∂a
...........................................
Odpowiednio
∂ m x̄
|a=0 = X̂ m [x] x,
∂ am
m = 1, 2, ....
I stad
, mamy teze.
,
PrzykÃlady.
• Niech n = 1, X̂ =
∂
.
∂x
Zgodnie ze wzorem (1.9)
ea ∂x x = x + a,
gdzie ∂x =
∂
.
∂x
• Rozpatrzmy operator
X̂ =
à n
X
j=1
n
!
Ai j xj
∂
,
∂ xi
dziaÃlajacy
w przestrzeni R , gdzie A = (Ai, j ) − macierz o staÃlych wspóÃlczynnikach.
,
Wówczas
³
exp a X̂
´
x = ea A x,
gdzie
ea A = I + a A +
a2 2
A + ....
2!
14
1.4.
PrzeksztaÃlcenie IFO przy nieosobliwej zamianie
zmiennych
Niech ϕ : Rn → Rn - dyfeomorfizm. Określa on nieosobliwa, zamiane, zmiennych y i = ϕi (x).
Jeżeli na Rn dziaÃla grupa 1-parametrowa Ta :
x̄i = f i (x, a),
wówczas ϕ indukuje grupe, jednoparametrowa, dziaÃlajac
, a, na zmiennych yi zgodnie ze wzorem
ȳ i = ϕi (f (x, a)) ∼
= y i + a η i (y) + O(a2 ).
Grupa ta jest, oczywiście, izomorficzna, z Ta .
Lemat 1.1.Zachodzi wzór
η i (y) = X̂[ϕi ][ϕ−1 (y)].
(1.10)
Dowód.
n
X
∂ ϕi (f (x, a)
∂ ϕi (y)
∂ fj
∂ϕi (x)
j
η (y) =
|a=0 =
|
·
|
=
ξ
(x)
= X̂[ϕi ][ϕ−1 (y)].
a=0
y=f (x,0)
j
∂a
∂ yj
∂a
∂
x
j=1
i
zatem przy zamianie zmiennych IFO zmienia sie, w nastepuj
acy
sposób:
,
,
X̂ =
n
X
k=1
η k [y]
∂
.
∂ yk
(1.11)
PrzykÃlad.
• Niech X̂ = −y ∂∂x + x ∂∂y ;
r=
p
x2 + y 2 ,
θ = arctan xy . Wówczas
n
∂
∂
x
yo ∂
+ X̂[θ]
= −y + x
+
X̂ = X̂[r]
∂r
∂θ
r
r ∂r
(
y 2 +x2
x2
2
1 + xy 2
)
∂
∂
=
.
∂θ
∂θ
Definicja 1.5.Bedziemy
mówić iż zmienne y i = ϕi (x) sa, zmiennymi kanonicznymi dla IFO
,
X̂(x) jeżeli
,
X̂(y j )
∂
∂
=
j
∂y
∂ y1
15
(nie jest oczywiście istotne, która, ze wspóÃlrzednych
oznaczymy jako y 1 .)
,
A zatem, zmienne biegunowe sa, zmiennymi kanonicznymi dla generatora grupy obrotów.
W ogólnym przypadku zmienne kanoniczne sa, określone ukÃladem równań
X̂(y1 ) = 1,
X̂(y2 ) = ... = X̂(yn ) = 0.
Uwaga. Procedura przejścia do zmiennych kanonicznych czesto
jest nazywana prostowa,
~
niem pola wektorowego ξ(x).
1.5.
1.5.1.
Niezmienniki grupy jednopametrowej
Niezmienniczość funkcji
Definicja 1.6.Funkcja F : Rn ⊃ U → R1 nazywa sie, niezmiennikiem grupy Ta jeżeli
∀a ∈ ∆ ∀x ∈ U
F [Ta x] = F [x].
(1.12)
DziaÃlanie Ta na funkcje, F oznaczamy jako
Ta F [x] := F [Ta x] = F [x̄].
Twierdzenie 1.4.Na to by Ta F = F potrzeba i wystarcza by
X̂F [x] = 0,
(1.13)
gdie X̂ - IFO grupy Ta .
Dowód. Konieczność wynika wprost z definicji IFO: skoro Ta F = F wiec
, Ta F nie zalezy
od parametru a, zatem
0=
∂
∂F k
Ta F |a=0 =
ξ (x) ≡ X̂ [F (x)] .
∂a
∂ xk
W druga, strone:
, jeżeli X̂ [F (x)] = 0 to również
X̂[x̄] [F (x̄)] = 0 =
n
X
i=1
ξ i (x̄)
∂
F [x̄] = 0.
∂ x̄i
Zauważmy że dla przeksztaÃlceń skończonych mamy wzór
∂ F ∂ x̄i
∂
∂
i
F [x̄] =
=
ξ
(x̄)
F [x̄] = X̂[x̄] F [x̄].
∂a
∂ x̄i ∂ a
∂ x̄i
16
Skoro X̂[x̄] [F (x̄)] = 0, wiec
, z powyższego wzoru wynika iż F (x̄) nie zależey od a, i F [x̄] =
F [x].
Kryterium niezmienniczości funkcji określa równanie czastkowe
(1.13). Ciekawe jest również
,
pytanie odwrotne: dla jakich funkcji bedzie
zachodzić równanie (1.13)? Odpowiedź na to
,
pytanie daje teoria niemienników grup.
Definicja 1.7.Niezmiennikiem grupy przeksztaÃlceń Ta z generatorem X̂[x] =
Pn
k=1
ξ k (x) ∂ ∂xk
nazywa sie, każda relacja I(x1 , ...xn ) = C dla której
X̂(x) I(x1 , ...xn ) = 0.
(1.14)
Z teorii równań kwaziliniowych wiadomo że równanie (1.14) ma dokÃladnie n − 1 caÃlek
{Ik (x) = Ck }n−1
k=1 takich że, po-pierwsze, każda funkcja Ik speÃlnia (1.14), a, po-drugie,
∃ Ω ⊂ Rn :
rank
∂ (I1 , ...In−1 )
|x∈ Ω = n − 1.
∂ (x1 , ...xn )
Zachodzi
Twierdzenie 1.5.
Jeżeli F (x) jest niezmiennicza wzgledem
Ta z generatorem X̂[x] =
,
Pn
k=1
ξ k (x) ∂ ∂xk , zaś
(I1 , ...In−1 ) jest zbiorem nieazleżnych niezmienników, wówczas ∃ Φ:
F (x) = Φ(I1 , ...In−1 )
.
PrzykÃlady
1.
x0 = x + a;
y 0 = y + 2 a.
Grupie jednoparemetrowej odpowiada IFO
X̂ =
∂
∂
+2 .
∂x
∂y
Niezmiennik operatora X̂ ma postać 2 x−y = C. Dlatego każda funkcja gÃladka postaci
F (2 x − y) jest niezmiennicza wzgledem
tej grupy 1-parametrowej.
,
17
2. Rozpatrzmy grupe, G2a
x0 = ea x;
y 0 = e3a y,
z 0 = e−2 a z.
Grupie jednoparemetrowej odpowiada IFO
X̂ = x
∂
∂
∂
+ 3y
− 2z .
∂x
∂y
∂z
Rozwiazuj
ac
,
, równanie X̂ J = 0 przedstawione w postaci charakterystycznej
dy
dz
dJ
dx
=
=−
=
,
x
3y
2z
0
otrzymujemy dwie cniezależne caÃlki pierwsze:
y
= C1 ,
x3
x2 z = C 2 .
Zatem każda gÃladka funkcja j = Φ( xy3 , x2 z) jest niezmiennicza wzgledem
grupy G2a .
,
1.6.
Niezmienniczość rozmaitości algebraicznej
Definicja 1.8.Mówimy że zbiór
M = {x ∈ Rn : Ψν (x) = 0, ν = 1, 2, ...s < n}
jest rozmaitościa, algebraiczna, jeżeli
• Ψν (x) ∈ C k (Rn , R);
• rank
∂ (Ψ1 , Ψ2 , ....Ψs )
|
∂(x1 , x2 , ...xn ) M
= s = const.
Zachodzi
Twierdzenie 1.6.Istnieje zamiana zmiennych y = ϕ(x) taka że w nowych zmiennych M
zadane jest ukÃladem równań y1 = y2 = ... = ys = 0.
Dowód.
Dla każdego x ∈ M można wskazać zbiór zmiennych xj1 , xj2 , ...xjs takich, że w pewmym
otoczeniu otwartym U ∈ Rn zawierajacym
x wektory
,






∂ Ψ1
∂ Ψ1
 ∂ xj1
 ∂ Ψ2
 ∂ xj1

 ......

∂ Ψs
∂ xj1



,


∂ Ψ1
 ∂ xj2
 ∂ Ψ2
 ∂ xj2

 ......

 ∂ x js

 ∂ Ψ2



 , ......  ∂ xjs
 ......



∂ Ψs
∂ xj2
∂ Ψs
∂ x js






18
sa, liniowo niezależne. Dokonajmy zamiany zmiennych
x̄1 = xj1 , x̄2 = xj2 , ....x̄s = xjs , x̄s+1 = xk1 , .....x̄n = xkn−s ,
¢
¡
(xj1 , ....xjn ).
gdzie xk1 , ....xkn−s - dopeÃlnienie zbioru wspóÃlrzednych
,
Zdefiniujmy zmienne y1 , ...yn w nastepuj
acy
sposób:
,
,
yk = Ψ̃k (x̄1 , ....x̄s , x̄s+1 , x̄n ) , 1 ≤ k ≤ s,
ys+m = x̄s+m , 1 ≤ m, ≤ n − s,
gdzie Ψ̃k (x̄1 , ....x̄s , x̄s+1 , x̄n ) = Ψk (x1 , ....xn ) . W nowych zmiennych
M = {y ∈ Rn : y1 = y2 = ... = ys = 0} .
L
à atwo widać że
det
³
´
∂ Ψ̃1 ...., Ψ̃s
∂ (y1 , y2 , ....yn )
= det
6= 0.
∂ (x̄1 , x̄2 , ...x̄n )
∂ (x̄1 , x̄2 , ...x̄s )
Zatem x̄ → y jest lokalnym dyfeomorfizmem.
Definicja 1.9.Rozmaitość algebraiczna M nazywa sie, niezmiennicza, wzgledem
dziaÃlania jed,
noparametrowej lokalnej grupy Liego Ta , jeżeli ∀ x ∈ M oraz ∀ a ∈ 4 Ta x in M .
Twierdzenie 1.7.Na to by regularnie zadana rozmaitość algebraiczna M byÃla niezmiennicza
wzgledem
Ta z generatorem X̂, potrzeba i wystarcza by
,
¯
¯
ν
X̂ Ψ (x)¯ = 0.
(1.15)
M
Dowód.
Konieczność: Jeżeli ∀ a ∈ ∆ Ψν (Ta x), to
¯
¯
¯
¯
ν¯
¯
∂ ν
∂
Ψ
∂
f
(x,
a)
¯
j
¯
0=
Ψ [Ta x]¯¯
=
·
¯
¯
¯
∂a
∂
y
∂
a
j yj =fj (x,0)=xj
a=0
a=0
¯
∂ Ψν ¯¯
= ξj (x)
¯
∂ xj ¯
x∈ M
¯
¯
¯
= X̂ Ψν (x)¯ .
¯
M
Dostateczność. Bez utraty ogólności możemy zaÃlożyć że rozmaitość M zadana jest (lokalnie) za pomoca, ukÃladu równań
xν = 0,
ν = 1, 2, ....s
(1.16)
¯
¯
(p. poprzednie twierdzenie). Jeżeli X̂ = ξ(x) ∂∂xi to równość 0 = X̂Ψν ¯
¯
¯
¯
¡
¢
∂ xν ¯¯
i
ξ (x) i ¯ = ξ δν i ¯¯ = ξ ν 0, ....0, xs+1 , ...xn = 0.
∂x M
M
i
xµ =0
przybiera postać
19
Rozpatrzmy ukÃlad równań Liego na rozmaitości M :
( ν
∂ x̄
= ξ ν (x̄1 , ...x̄n ), x̄ν (0) = 0, ν = 1, 2, ...., s,
∂a
∂ x̄s+µ
∂a
= ξ s+µ (x̄1 , ...x̄n ),
x̄s+µ (0) = xs+µ ,
µ = 1, 2, ...., n − s,
(1.17)
Pierwsze s równań speÃlniaja, zerowy warunek poczatkowy
i, ponad to, przy a = 0
,
ξ ν |a=0 = ξ ν (0, ...., 0, x̄s+1 , ....x̄n ) = 0.
Dlatego rozwiazania
pierwszych s równań bed
,
, a, zerowe:
x̄ν = f ν (x, a) = 0,
∀x ∈ M, ∀ a ∈ ∆,
a to oznacza że ~x̄ = (0, ...., 0, x̄s+1 , ...x̄n ) ∈ M .
Dyskusja.
Spróbujmy odpowiedzieć na pytanie, czym sie, różni warunek niezmienniczości funkcji od
warunku niezmienniczości rozmaitości algebraicznej, innymi sÃlowy, czy warunek |x M jest
istotny? Rozpatrzmy jednoparametrowa, rodzine, powierzchni
F (x) = C,
x ∈ Rn ,
C ∈ R1 .
Zbiór
ΦC = {x ∈ Rn : F (x) = C}
(zwany poziomica, funkcji F ) skÃlada sie, z punktów x ∈ R na których funkcja F przybiera
P
staÃla, wartość. Geometrycznie niezmienniczo”xć funkcji wzgledem
X̂ = nk=1 ξ k (x) ∂ ∂xk ozna,
cza że pole wektorowe ξ k (x) jest styczne do poziomicy w każdym punkcie i, co za tym idzie,
krzywa sparametryzowana x̄k (a), bed
rozwiazaniem
ukÃladu równań Liego
,
,
, aca
d x̄k
= ξ k (x̄),
da
x̄k (0) = xk ,
k = 1, 2, ...n, .
© ªn
caÃlkowicie leży w ΦC wtedy i tylko wtedy gdy xk k=1 ∈ ΦC ( rys. 1.1)
1.7.
Algebra Liego generatorów infinitezymalnych
A wiec,
sens niezmienniczości rozmaitości algebraicznej wyraża sie, w tym że pole wektorowe
,
skojarzone z generatorem grupy jednoparametrowje X̂ jest polem stycznym do rozmaitości w
każdym jej punkcie. W zwiazku
z taka, interpretacja, narzuca sie, nastepuj
ace
pytanie: jeżeli
,
,
,
zadana rozmaitość dopuszcza wiecej
niż jedna, grupe, jednoparametrowa,, to czy sa, jakieś
,
zwiazki
pomiedzy
generatorami tych grup? Odpowiedz na to pytanie wymaga wprowadzenie
,
,
pewnego ważnego pojecia
w zbiorze operatorów rzedu
pierwszego.
,
,
20
Rys. 1.1: Funkcja F (x) jest niezmiennicza wzgledem
dziaÃlania grupy Ga gdy pole wektorowe
,
X̂ jest styczne do każdej poziomicy tej funkcji (lewy rysunek). Rozmaitość algebraiczna
F (x) = C jest niezmiennicza wzgledem
dziaÃlania grupy Ga gdy pole wektorowe X̂ jest
,
styczne tylko do poziomicy określonej konkretna, staÃla, C (prawy rysunek).
Definicja 1.10.Nawiasem Liego (komutatorem) operatorów X̂ =
Pn
∂
k
k=1 η (x) ∂ xk nazywa sie, operator
¾
n ½
n X
X
∂ η k (x)
∂
∂ ξ k (x)
j
j
ξ (x)
Ẑ = [X̂, Ŷ ] =
− η (x)
.
j
j
∂x
∂x
∂ xk
k=1 j=1
Pn
k=1
ξ k (x) ∂ ∂xk i Ŷ =
(1.18)
Tak zdefiniowana operacja,, domknieta
w zbiorze gÃladkich pól wektorowych (generatorów
,
grup jednoparametrowych), ma nastepun
ace
wÃlasności, wynikajace
przeważnie wprost z de,
,
,
finicji:
1. skośna symetria:
[X̂, Ŷ ] = −[Ŷ , X̂]
2. Biliniowość:
[α1 X̂1 + α2 X̂2 , Ŷ ] = α1 [X̂1 , Ŷ ] + α2 [X̂2 , Ŷ ].
3. Tożsamość Jacobiego:
[Ẑ, [X̂, Ŷ ]] + [X̂, [Ŷ , Ẑ]] + [Ŷ , [Ẑ, X̂]] = 0.
Jeżeli zbiór generatorów AG = {X̂1 , X̂2 , ....X̂m , } jest domkniety
ze wzgledu
na dzieÃlanie
,
,
[· , · ] w tym sensie, że
[X̂i , X̂j ] =
n
X
k=1
ckij X̂k ,
21
wówczas zbiór AG nazywa sie, skończeniewymiarowa, algebra, Liego, natomiast staÃle ckij staÃlymi strukturowymi.
Zachodzi
Twierdzenie 1.8.Niech pola X̂ i Ŷ sa, generatorami jednoparametrowych grup niezmienniczości regularnie zadanej rozmaitości algebraicznej M. Wówczas [X̂, Ŷ ] jest również generatorem grupy dopuszczanej przez te, rozmaitość.
Dowód.
Określmy
jednoparemetrowa, rodzine, przeksztaÃlceń rozmaitości M w siebie za pomoca,
,
wzoru
Ψ(x; a) = e
√
a X̂
e
√
a Ŷ
e−
√
a X̂
√
e−
a Ŷ
[x]
(1.19)
Niżej pokażemy że dla maÃlych a przeksztaÃlcenie to może być przedstawione w postaci
Ψ(x; a) = x + a η(x) + O(|a|3/2 )
przy czym pole η(x) jest styczne do M . Z tego, na podstawie twierdzenia Liego, wynika
istnienie lokalnej grupy 1-parametrowej goenerowanej przez pole η(x).
P
Pole wektorowe nk=1 η k (x) ∂ ∂xk uzyskamy rozkÃladajac
w prawej stro, operatory figurujace
,
nie (1.19) w szereg Taylora oraz grupujac
, odpowiednie wyrazy:
³
h³
=
√
a X̂
√
a Ŷ
√
− a X̂
´
√
− a Ŷ
e
e
e
e
[x] =
´i
h³
´
³
√
√
√
√
a
a
a
a ´i
1 + a Ŷ + Ŷ 2 · 1 − a X̂ + X̂ 2
1 − a Ŷ + Ŷ 2 [x]
1 + a X̂ + X̂ 2
2
2
2
³ 2√
´
a 2 √
a 2
3/2
= 1 + a X̂ + X̂ + a Ŷ + a X̂ Ŷ + Ŷ + O(|a| ) ·
2
2
´
³
√
a 2 √
a 2
1 − a X̂ + X̂ − a Ŷ + a X̂ Ŷ + Ŷ + O(|a|3/2 ) [x] =
2 h
´ a2³
´i
√ ³
2
2
1 + a X̂ + Ŷ +
X̂ + 2 X̂ Ŷ + Ŷ
·
2 ´i
h
³
³
´
¢
¡
√
a
1 − a X̂ + Ŷ +
X̂ 2 + 2 X̂ Ŷ + Ŷ 2 [x] + O |a|3/2 =
h
³
´³
´ 2³
´i
¡
¢
2
2
1 − a X̂ + Ŷ
X̂ + Ŷ + a X̂ + 2 X̂ Ŷ + Ŷ
[x] + O |a|3/2 =
h
³
´
³
´i
¡
¢
1 − a X̂ 2 + Ŷ 2 + X̂ Ŷ + Ŷ X̂ + a X̂ 2 + 2 X̂ Ŷ + Ŷ 2 [x] + O |a|3/2 =
n
³
´o
¢
¢
¡
¡
1 + a X̂ Ŷ − X̂ Ŷ
[x] + O |a|3/2 = x + a η(x) + O |a|3/2 .
´³
Styczność pola η(x) wynika z tego że prawa strona wzoru (1.19)określa superpozycje, dziaÃlania
1-parametrowych grup niezmienniczości powierzchni M.
22
1.8.
Grupy dopuszczalne przez równania różniczkowe
ZakÃladamy że grupa Ga dziaÃla na przestrzeni Rn+m , której elementami sa, zmienne niezależne x1 , x2 , ....xn oraz funkcje u1 , ...um zmiennych xk .Grupa Ga dziaÃla w tej przestrzeni
nastepuj
aco:
,
,
x̄k = f k (x, u; a) = xk + a ξ k (x, u) + O(a2 ), k = 1, ....n,
(1.20)
ūα = g α (x, u; a) = uα + a η α (x, u) + O(a2 ), α = 1, ....m,
(1.21)
gdie f k , g α sa, trzy razy różniczkowalne wzgledem
zmiennych x, u oraz analityczne wzgledem
,
,
a,
¡
¢
ξ k (x, u) = ∂f k /∂ a |a=0 ,
η α (x, u) = (∂g α /∂ a) |a=0 .
Rozpatrzmy ukÃlad równań
f σ (x, u, ∂ u, ...∂ r u) = 0,
σ = 1, 2, ...s,
(1.22)
gdzie ∂ k u oznacza zbiór wszystkich pochodnych czastkowych
funkcji u rzedu
k.
,
,
Definicja 1.11.Mówimy że 1-parametrowa grupa przeksztaÃlceń {Ga }a∈∆ zadana na zbiorze
zmiennych zależnych i niezależnych (x, u) ∈ Rn+m za pomoca, wzorów (1.20)–(1.21) jest
grupa, symetrii ukÃladu (1.22), jeżeli odwzorowuje ona każde rozwiazanie
gÃladkie ukÃladu (1.22)
,
w jakieś inne rozwiazanie
tego ukÃladu.
,
UsiÃlujac
, zrozumieć, co taka definicja oznacza, możemy zaczać
, od utożsamiania odwzorowania u = ϕ(x) z jego wykresem:
Γϕ = {(x, ϕ(x)),
x ∈ Ω ∈ Rn } ,
gdzie Rn ⊃ Ω jest zbiorem zawartym w dziedzinie naturalnej odwzorowania ϕ. I teraz, w
wyniku dziaÃlania grupy zbiór ten przejdzie w nastepuj
acy
zbiór:
,
,
o
Ta ◦ Γϕ = {(x̄, ū) = [f (x, u; a), g(x, u; a)]|(x, u=ϕ(x)) ∈ Γϕ
23
Uwaga. Może sie, zdarzyć tak, że Ta ◦ Γϕ nie bedzie
wykresem funkcji prawostronnie
,
jednozmacznej dla dowolnej wartości a ∈ 4.. Ale, ponieważ Ga dziaÃla w sposób gÃladki i
wartość a = 0 odpowiada odwzorowaniu tożsamościowemu, możemy stwierdzić, że istnieje
˜ ⊂ ∆ takie że ∀ a ∈ ∆
˜ zbiór (x̃, ũ) wciaż bedzie wykresem pewnej funkcji.
∆
,
,
PrzykÃlad 1. n = m = 1,
(x̄, ū) = (x cos a − u sin a, x sin a + u cos a) .
d ziaÃlanie sprowadza sie, tu do obrotu funkcji u = ϕ(x) o kat
wspóÃlrzednych.
, a dookoÃla poczatku
,
,
Jeśli wiec
, to krzywa uzyskana w wyniku dziaÃlania grupy wciaż
, bedzie
, a nie jest duża, liczba,
,
wykresem pewnej funkcji.
Jeżeli zastosujemy, naprzykÃlad grupe, obrotów do funkcji liniowej u = ϕ(x) = A x + B, to
wykres
Γϕ = (x, A x + B) ,
przeksztaÃlci sie, w zbiór
(x̄, ū) = (x cos a − (A x + B) sin a, x sin a + (A x + B) cos a )
Z rowności x̄ = x cos a − (A x + B) sin a wynika że
x=
x̄ + B sin a
.
cos a − A sin a
Zatem
ū = ϕ̃(x̄) =
x̄ + B sin a
(sin a + A cos a) + B cos a,
cos a − A sin a
czyli
sin a + A cos a
ϕ̃(x̄) = x̄
+B
cos a − A sin a
µ
¶
sin a + A cos a
sin a
+ cos a
cos a − A sin a
jest wciaż
, liniowa, funkcja.
, Jest ona dobrze określona dla tych wartości a dla których cos a −
A sin a 6= 0.
Stwierdzenie.Równanie uxx = 0 jest niezmiennicze wzgledem
grupy obrotów.
,
Dowód. . Ogólnym rozwiazaniem
równania u00 = 0 jest funkcja u = A x + B. Obroty
,
odwzorowuja, te, funkcje, w funkcje,
ũ(x̃) = Ã x̃ + B̃ = x̃
sin a + A cos a
B
+
.
cos a − A sin a cos a − A sin a
24
Zauważmy że funkcja ta speÃlnia równanie
ũx̃ x̃ = 0,
czyli równanie wyjściowe zapisane w nowych zmiennych.
PrzykÃlad 2. Jeżel x̄ = f (x, a) (fu = 0), wówczas procedura uzyskania ũ(x̃) jest prostsza.
Rozpatrzmy przeksztaÃlcenie
x̄ = x + 2 a t,
t̄ = t,
ū = e−a x−a
2
t
(1.23)
Ćwiczenie. Wykazać że jest to grupa jednoparametrowa.
Nasze cele sa, nastepuj
ace.
,
,
˜
• Po-pierwsze, majac
, zadana, funkcje, u = f (t, x), chcemy określić funkcje, ū = f (t̄, x̄).
• Po-drugie, chcemy wykazać że jeśli u = f (t, x) speÃlnia równanie transportu ut = fx x ,
to ū = f˜(t̄, x̄) speÃlnia analogiczne równanie zapisane w nowych zmiennych.
Ad 1. Odwracajac
, (1.23), mamy:
2
ū = e−a(x̄−2 a t̄)−a t̄ f (t̄, x̄ − 2 a t̄) = f˜(t̄, x̄).
Ad 2. Liczymy pochodne funkcji f˜ wzgledem
nowych zmiennych:
,
£
¤
∂ f˜
2
= e−a(x̄−2 a t̄)−a t̄ a2 f + f1 − 2 a f2 ,
∂ t̄
∂ f˜
2
= e−a(x̄−2 a t̄)−a t̄ [−af + f2 ] ,
∂ x̄
2 ˜
¤
∂ f −a(x̄−2 a t̄)−a2 t̄ £ 2
e
a f − 2 a f 2 + f2 2 .
2
∂ x̄
gdzie fk - pochodne po odpowiednich zmiennych funkcji f (z1 , z2 ).
Zatem
¤ª
© 2
£ 2
∂ f˜ ∂ 2 f˜
−a(x̄−2 a t̄)−a2 t̄
=
−
=
e
a
f
+
f
−
2
a
f
−
a
f
−
2
a
f
+
f
1
2
2
2
2
∂ t̄
∂ x̄2
¯
2
¯
= e−a(x̄−2 a t̄)−a t̄ [f1 − f2 2 ]¯
= 0.
(z1 , z2 )=(t, x)
25
1.9.
Teoria przedÃlużeń
Najbardziej doniosÃla idea, Sophusa Liego, która zawoocowala stworzeniem pieknej
i algoryt,
micznej teorii, byÃlo potraktowanie ukÃladu równań różniczkowych jako rozmaitości algebraicznej w rozszerzonej przestrzeni, której elementami sa, zmienne niezależne, zmienne zależne
(funkcje) oraz pochodne funkcji. Traktujac
, ukÃlad równań jako objekt geometryczny, można
do niego stosować te kryteria, które byÃly opracowane w poprzednich rozdziaÃlach. Punktem
wyjścia w teorii lokalnych grup przeksztaÃlceń jest jednoparametrowa grupa dizaÃlajaca
na
,
zbiorze zmiennych i niezależnych w nastepuj
acy
sposób:
,
,
x̄k = f k (x, u, ; a) = xk + a ξ k (x, u) + O(a2 ),
uα = g α (x, u, ; a) = uα + a η α (x, u) + O(a2 ),
k = 1, 2, ...n,
(1.24)
α = 1, 2, ....
(1.25)
Okazuje sie, że zadanie przeksztaÃlcenia (1.24)–(1.25) indukuja, także przeksztaÃlcenia pochodnych:
∂ ūα
∂uα
α
= θk (x, u, ∂ u ; a) =
+ a ζkα (x, u, ∂ u) + O(a2 ),
k
k
∂ x̄
∂x
2 α
∂ 2 ūα
∂
u
α
α
= θk,j
(x, u, ∂ u, ∂ 2 u; a) =
+ a ζk,j
(x, u, ∂ u, ∂ 2 u) + O(a2 ),
∂ x̄k ∂ x̄j
∂ xk ∂ xj
.............................................................................................
(1.26)
(1.27)
Definicja 1.12.Operator
X̂( r) =
n
X
ξ k (x, u)
k=1
m
n
X
X
∂
∂
α
η
(x,
u)
+
+
∂ xk α=1
∂ uα
ζJα (x, u, ∂ u, ...∂ |J| u)
1≤ |J|≤ r
∂
,
∂ uαJ
J = (j1 , j2 , ...jh ), j1 ≤ j2 ... ≤ jh , |J| = j1 + ... + jh , nazywa sie, r-tym przedÃlużeniem
P
P
∂
α
generatora X̂ = nk=1 ξ k (x, u) ∂ ∂xk + m
α=1 η (x, u) ∂ uα .
Zastanówmy sie, nad tym, jak można znaleźć wspóÃlrzedne
ζiα1 , i2 , ,,,ik .
,
Twierdzenie 1.9.Zachodzi wzór:
ζj,α i1 ,...ir = Dj ζiα1 ,...ir − uαk, i1 ,...ir Dj ξ k ,
gdzie
Dj =
∂
∂
∂
∂
+ uαj
+ uαj,i1 α + .... + uαj,i1 ,...ik α
+ ....
j
α
∂x
∂u
∂ ui1
∂ ui1 , i2 ,...ik
Dowód.
Zacznijmy od ζkα :
∂
∂
∂ xm
∂ ūα
α
α
2
α
α
=
[u
+
a
η
(x,
u)]
+
O(a
)
=
[u
+
a
η
(x,
u)]
+ O(a2 ).
∂ x̄k
∂ x̄k
∂ xm
∂ x̄k
(1.28)
26
Żeby obliczyć
∂ xm
,
∂ x̄k
zauważmy iż zachodza, wzory:
∂ xm ∂ x̄r
= δsm ,
r
s
∂ x̄ ∂ x
∂ x̄r
∂
=
[xr + a ξ r (x, u)] + O(a2 ) = δsr + a Dxs ξ r (x, u) + O(a2 ).
s
∂x
∂ xs
Stad
, już Ãlatwo wywnioskować że
∂ xm
= δrm − a Dxr ξ m (x, u) + O(a2 ).
∂ x̄r
Zatem
∂ ūα
∂
=
[uα + a η α (x, u)] [δkm − a Dxk ξ m (x, u)] + O(a2 ) =
k
m
∂ x̄
∂x
∂uα
=
+ a [Dk η α − uαm Dk ξ m ] + O(a2 ).
∂ xk
Stosujemy teraz metode, indukcji. ZakÃladamy że wzór (1.28) zachodzi dla wszystkich
pochodnych czastkowych
rzedu
n. Mamy wiec
acy
ciag
,
,
, równości:
,
, nastepuj
,
·
¸
∂ n uα
∂
∂ n ūα
∂
α
=
+ a ζi1 , i2 ,...in + O(a2 ) =
∂ x̄j ∂ x̄i1 ∂ x̄i2 ...∂ x̄in
∂ x̄j ∂ xi1 ∂ xi2 ...∂ xin
·
¸
∂ n uα
∂ xk
∂
α
=
=
+
a
ζ
i
,
i
,...i
n
1 2
∂ xk ∂ xi1 ∂ xi2 ...∂ xin
∂ x̄j
·
¸
£
¤
∂ n+1 uα
α
=
+ a Dk ζi1 , i2 ,...in δjk − a Dxj ξ k (x, u) + O(a2 ) =
∂ xk , ∂ xi1 , ∂ xi2 ...∂ xin
£
¤
∂ n+1 uα
=
+ a Dj ζiα1 , i2 ,...in − uαk, i1 , ...in Dj ξ k + O(a2 ) =
∂ xj , ∂ xi1 ∂ xi2 ...∂ xin
∂ n+1 uα
=
+ aζj,α i1 , i2 ,...in + O(a2 )
∂ xj ∂ xi1 ∂ xi2 ...∂ xin
A wiec
, zachodzi teza.
1.10.
Kryterium niezmienniczości. Procedura rozszczepienia i równania określajace
,
Przypuścmy re, mamy zadany ukÃlad równań
F σ (x, u, ∂ u, ...∂ r u) = 0,
σ = 1, 2, ...s.
ZakÃladamy że
¯
∂ (F 1 , F 2 , ...F s ) ¯¯
= s = const,
rank
∂ (x, u, ∂ u, ...∂ r u) ¯F σ =0
(1.29)
27
zaś na zbiorze zmiennych zależnych i niezależnych dziaÃla lokalna 1-parametrowa grupa niezmienniczości
x̄k = f k (x, u; a) = xk + a ξ k (x, u) + O(a2 ), k = 1, ....n,
ūα = g α (x, u; a) = uα + a η α (x, u) + O(a2 ), α = 1, ....m,
z generatorem X̂ = ξ k (x, u) ∂∂xk + η α (x, u) ∂ ∂uα . Ponieważ ukÃlad równań (1.29) traktujemy
jako rozmaitość algebraiczna, zanurzona, w przestrzeni dżetów, zaś zadanie przeksztaÃlceń
(x, u) → (x̄, ū) implikuje przeksztalcenia ∂ k u → ∂ k ū, wiec
, zachodzi
(n)
Twierdzenie 1.10.Na to by n razy przedÃlużona grupa Ta
byÃla grupa, niemienniczości
ukÃladu (1.29), potrzeba i wystarcza by zachodziÃla równość
¯
¯
= 0,
σ = 1, ....s,
X̂(n) F σ ¯
σ
F =0
(1.30)
gdzie X̂(n) - n−te przedÃlużenie generatora X̂.
PrzykÃlad. Wykażemy że równanie
ut + u u3x = 0
dopuszcza grupe, Ta z generatorem X̂ =
√1 ∂ .
u ∂u
Pierwsze przedÃlużenie gewneratora X̂ ma
postać
X̂(1) = X̂ + ζt
∂
∂
+ ζx
,
∂ ut
∂ ux
gdzie
1 ut
,
2 u3/2
1 ux
= − 3/2 .
2u
ζt = Dt η = Dt u−1/2 = −
ζx = Dx η = Dx u−1/2
Stosujac
, kryterium niezmiennczości mamy:
ª
©
1 ut
1 ux
X̂(1) ut + u u3x = ζt + η ux3 + 3 u u2x = − 3/2 + u−1/2 u3x − 3 u
=
2u
2 u3/2
¤
¤
1 £
1 £
3
3
3
−u
+
2
u
u
−
3
u
u
=
−
u
+
u
u
= 0.
=
t
t
x
x
x
2 u3/2
2 u3/2
28
1.11.
PrzykÃlady poszukiwania symetrii
Rozpatzmy równanie transportu ciepÃla
ut = uxx .
Równanie to należey do klasy równań ewolcyjnych w których zwykÃle wyodrebnia
sie, parametr
,
t, czyli czas. Przy poszukiwaniu symetrii wygodniej jest przejść do oznaczeń spotykanych
poprzednio: t → x1 ,
x → x2 , w których równanie to bedzie
wygladać
nastepuj
aco:
,
,
,
,
u1 − u22 = 0.
(1.31)
W powyższym równaniu i nieżej bedziemy
używać oznaczeń u1 =
,
∂u
, ....., u22
∂ x1
=
∂2 u
.
∂ x2 ∂ x2
Generator IFO poszukujemy w postaci
∂
∂
∂
+ ξ 2 (x, u)
+ η(x, u) .
X̂ = ξ 1 (x, u)
∂ x1
∂ x2
∂u
Ponieważ badane równanie jest równaniem rzedu
2, musimy dwa razy przedÃlużyć operator
,
X̂ i dziaÃlać na równanie operatorem
X̂(2) = X̂ +
2
X
k=1
ζk
X
∂
∂
+
ζi j
,
∂ uk 1≤ i ≤ j ≤2 ∂ ui j
gdzie ζk oraz ζi j otzymujemy za pomoca, wzorów z poprzedniego rozdeziaÃlu. Stosujac
, kryterium niezmienniczości do równania (1.31), otrzymamy:
ζ1 − ζ2 2 |u1 =u2 2 = 0.
Do policzenia wiec
ζ1 , ζ2 oraz ζ2 2 :
, sa, wspóÃlrzedne
,
¡
¢
¡
¢
ζ1 = D1 η − u1 D1 ξ 1 − u2 D1 ξ 2 = η1 + u1 ηu − u1 ξ11 + u1 ξu1 − u2 ξ12 + u1 ξu2 ,
¡
¢
¡
¢
ζ2 = D2 η − u1 D2 ξ 1 − u2 D2 ξ 2 = η2 + u2 ηu − u1 ξ21 + u2 ξu1 − u2 ξ22 + u2 ξu2 ,
ζ2 2 = D2 ζ2 − u2 1 D2 ξ 1 − u2 2 D2 ξ 2 ,
gdzie Di - operatory pochodnej zupeÃlnej wzglednej
zmiennej xi ,
,
¡
¢
D2 ζ2 = η2 2 + u2 η2 u + u2 2 ηu + u2 (ηu 2 + u2 ηu u ) − u1 2 ξ21 + u2 ξu1 −
¢
¡
¢¤
¡
£
−u1 ξ21 2 + u2 ξ21 u + u2 2 ξu1 + u2 ξu1 2 + u2 ξu1 u − u2 2 ξ22 + u2 ξu2 −
¡
¢¤
£
−u2 ξ22 2 + u2 ξ22 u + u2 2 ξu2 + u2 ξu2 2 + u2 ξu2 u .
Przejście na rozmaitość u1 − u2 2 = 0 dokonujemy zamieniajac
, w powyższych wzorach u1 na
u2 2 . W wynku otrzymamy równanie
¢
¡
η2 2 + η2 u u2 + u2 2 ηu + u2 (ηu 2 + u2 ηu u ) − u1 2 ξ21 + u2 ξu1 −
¡
¢¤
£
−u2 2 ξ21 2 + u2 ξ21 u + u2 2 ξu1 + u2 ξu1 2 + u2 ξu1 u −
¡
¢¤
£
¡
¢
−u2 2 ξ22 + u2 ξu2 − u2 ξ22 2 + u2 ξ22 u + u2 2 ξu2 + u2 ξu2 2 + u2 ξu2 u −
¡
¢¤
¡
¢
£
− η1 + u2 2 ηu − u2 2 ξ11 + u2 2 ξu1 − u2 ξ12 + u2 2 ξu2 = 0.
29
W tym miejscu przechodzimy do omówienia bardzo ważnej procedury technicznej, zwanej
”rozszczepieniem” równania określajacego.
Zauważmy, że wspóÃlrzedne
ξ k , η operatora X̂
,
,
zależa, od zmiennych x1 , x2 , u, natomiast w powyższym równaniu figuruja, pochodne u2 , u1 2
oraz u2 2 , które, po zrzutowaniu sie, na rozmaitość (czyli wykorzystaniu warunku u1 = u2 2 )
traktujemy jako zmienne niezależne. Równanie określajace,
wobec tego, możemy potrak,
tować jako równanie wielomianowe wzgledem
tych zmiennych. W wyniku, przyrównujac
, do
,
zera wspóÃlćzynniki przy odpowiednich potegach
uα2 uβ1 2 uγ2 2 (dana procedura nosi nazwe, pro,
cedury rozszczepienia), otrzymujemy (na ogóÃl mocno nadokreślony) ukÃlad liniowych równań
czastkowych.
Przyrównujac
uα2 uβ1 2 uγ2 2 ,
,
, do zera wspóÃlczynniki przy odpowiednich potegach
,
w naszym równaniu, otrzymamy:
u2 u1 2 :
u1 2 :
−ξu1 − ξu1 = 0,
(1.32)
−ξ21 − ξ21 = 0
(1.33)
−2 ξu2 = 0.
(1.34)
u2 u2 2 :
Zatem
ξ 1 = ξ 1 (x1 ),
ξ 2 = ξ 2 (x1 , x2 ).
PozostaÃle wspóÃlczynniki, po uwzglednieniu
powyższych wzorów, przybieraja, nastepuj
ac
, a,
,
,
postać:
u22 :
ηu u = 0,
(1.35)
2 ξ22 = ξ11 ,
(1.36)
2 η2 u − ξ22 2 + ξ12 = 0,
(1.37)
η2 2 − η1 = 0.
(1.38)
u2 2 :
u2 :
1:
Skupmy sie, na rozwiazaniu
ukÃladu równań (1.35)–(1.38). Ponieważ prawa strona równania
,
(1.36) nie zależy od zmiennej x2 , powinna zachodzić równość
2 ξ22 = σ(x1 ) = ξ11
dla pewnej funkcji σ(x1 ). CaÃlkujac
, pierwsza, równość, otrzymamy:
1
σ(x1 ) x2 + µ(x1 ).
2
Równanie (1.35) bedzie
speÃlnione wtedy i tylko wtedy, gdy
,
ξ2 =
(1.39)
η = A(x1 , x2 ) + u B(x1 , x2 ).
(1.40)
Podstawiajac
, (1.39) oraz (1.40) do (1.37), otrzymamy:
¶
µ
1
0
0
x2 σ (x1 ) + µ (x1 ) .
2B2 (x1 , x2 ) = −
2
30
CaÃlkujac
, to równanie po zmiennej x2 , otrzymamy:
¾
½
1 x22 0
0
B=−
σ (x1 ) + x2 µ (x1 ) + ρ(x1 ).
2 4
(1.41)
Podstawiajac
, powyższe wzory do równania (1.38), możemy wnioskować, że funkcja A(x1 , x2 ),
jako wspóÃlczynnik przy u0 , speÃlnia równanie wyjściowe:
A1 − A2 2 = 0.
PozostaÃle funkcje speÃlniaja, ukÃlad równań
σ 0 0 (x1 ) = 0,
µ0 0 (x1 ) = 0,
1
ρ0 (x) = − σ 0 (x1 ).
4
Ogólne rozwiazanie
tego ukÃladu jest nastepuj
ace:
,
,
,
σ = P + x1 Q,
(1.42)
µ = L + R x1 ,
1
ρ = S − Q x1 ,
4
(1.43)
(1.44)
gdzie P, Q, L, R oraz S - dowolne staÃle. Ostatecznie, wiec,
mamy:
,
Q 2
x,
2 1
x2
(P + x1 Q) + L + R x1 ,
ξ2 =
2
½
·
¸¾
Q
1 x22
η = A(x1 , x2 ) + u S − x1 −
Q + x2 R .
4
2 4
ξ1 = C1 + P x1 +
(1.45)
(1.46)
(1.47)
W rozwiazaniach
(1.45)–(1.47) figuruje dowolna funkcja A(x1 , x2 ) oraz sześć dowolnych
,
staÃlych. Faktycznie znaleźliśmy nie jeden, lecz siedem niezależnych generatowów jednoparametrowych grup. Najprościej można wyekstragować te generatory kÃladac
, jeden wybrany
parametr równym określonej staÃlej (na przyklad, jedynce), oraz zastepuj
ac
, pozostaÃle staÃle
,
zerami. W ten sposób można uzyskać nastepuj
acy
zbiór generatorów grup jednoparametro,
,
wych:
∂
,
∂ x1
∂
X̂2 =
,
∂ x2
∂
X̂3 = u ,
∂u
∂
∂
X̂4 = 2 x1
+ x2
,
∂ x1
∂ x2
X̂1 =
(1.48)
(1.49)
(1.50)
(1.51)
31
∂
∂
− u x2
,
∂ x2
∂u
¡
¢ ∂
∂
∂
+ 4 x1 x2
− u x22 + 2 x1
X̂6 = 4 x21
,
∂ x1
∂ x2
∂u
∂
X̂A = A(x1 , x2 ) .
∂u
X̂5 = 2 x1
(1.52)
(1.53)
(1.54)
Uwaga 1. Zauważmy że w generatorze X̂7 figuruje dowolan funkcja bed
rozwiazaniem
,
,
, aca
równania wyjściowego. Symetria taka zawsze ma miejsce w tych przypadkach gdy badane
równanie jest liniowe i jednorodne. Odzwiercziedla ona zasade, superpozycji: kombinacja
algebraiczna rozwiazań
jest również rozwiazaniem.
,
,
Komutatory operatorów X̂1 − X̂6 oraz XA podane sa, w tabeli 1.11..Tabele, te, należey odczytywać w nastepuj
sposób:
gdy i ≤ j, wówczas na przecieciu
i-tego wiersza oraz
,
, h acy
,
i
j-tej odczytujemy X̂i , X̂j . Miejsca przeciecia
sie, j-tego wiersza oraz i−tej kolumny
,
(j
, wÃlasność
h ≥ i) pozostaj
i
h a, puste,
i gdyż odpowiednie komutatory uzyskuje sie, wykorzystujac
X̂i , X̂j = − X̂j , X̂i .
Tabela 1.1: Relacje komutacyjne generatorów jednoparametrowych grup symetrii równania transportu ciepÃla
X̂1
X̂1
X̂2
X̂3
X̂4
X̂5
X̂6
X̂A
0
0
0
X̂1
−X̂3
2 X̂5
X̂A2
0
0
2X̂2
2 X̂1
4 X̂4 − 2X̂3
X̂A1
0
0
0
0
−X̂A
0
X̂5
2X̂6
X̂A0
0
0
X̂A00
0
X̂A000
X̂2
X̂3
X̂4
X̂5
X̂6
X̂A
0
gdzie
0
A = x2 A2 + 2 x1 A1 ,
000
A = 4 x1 x2 A2 + 4 x21 A1 + (x22 + 2 x1 ) A,
00
A = 2 x1 A2 + 2 x2 A,
∂A
Aj =
, j = 1, 2.
∂ xj
32
1.12.
Symetrie potencjalnego równania Burgersa. Izomorfizm algebr Liego i przykÃlad linearyzacji
Klasyczne równanie Burgersa ma nastepuj
ac
, a, postać:
,
vt = 2 v vx + vx x .
(1.55)
Równanie to jest ściśle zwiazane
z równaniem transportu ciepÃla. Z punktu widzenia badań
,
symetrii, wygodniej jest posÃlugiwać sie, postacia, potencjalna, tego równania. Po dokonaniu zamiany zmiennej zależnej v(t, x) = ux (t, x) równanie wyjściowe można zapisać w nastepuj
acej
,
,
postaci:
¡ ¢
ut x = u2x x + u3 x .
CaÃlkujac
, lewa, i prawa, strony po zmiennej x, otrzymamy potencjalne równanie Burgersa
ut = u2x + ux x .
(1.56)
Przepiszmy to równanie w standardowych oznaczeniach, wprowadzajac
, zmienne x1 = t,
x2 = x ;
u1 = u22 + u2 2 .
(1.57)
Generator IFO poszukujemy w postaci
X̂ = ξ 1 (x, u)
∂
∂
∂
+ ξ 2 (x, u)
+ η(x, u) .
∂ x1
∂ x2
∂u
Drugie przedÃlużenie tego generatora zostaÃlo przedstawione w poprzednim podpunkcie, i my
wykorzystujemy tu gotowe wzory. Stosujac
, do równania (1.57) kryterium niezmienniczości,
otrzymamy ukÃlad równań
ζ1 = ζ2 2 + 2 ux ζ1 ,
u1 = u2 2 + u21 .
2
Przepiwujac
ζ1 , ζ2 , ζ2 2 w rozwinietej
postaci oraz zastepuj
ac
, wspóÃlrzedne
, u1 poprzez u2 +
,
,
,
u2 2 , otrzymamy:
¢
¡
¡
¢
η2 2 + η2 u u2 + u2 2 ηu + u2 (ηu 2 + u2 ηu u ) − 2 u1 2 ξ21 + u2 ξu1 − 2 u2 2 ξ22 + ξ22 u u2 −
¡
¢¤
£
−u2 2 ξ21 2 + u2 ξ21 u + u2 2 ξu1 + u2 ξu1 2 + u2 ξu1 u −
¢¤
¡
£
−u22 ξ21 2 + u2 ξ21 u + u2 2 ξu1 + u2 ξu1 2 + u2 ξu1 u −
¢¤
¡
£
−u2 ξ22 2 + u2 ξ22 u + u2 2 ξu2 + u2 ξu2 2 + u2 ξu2 u +
¢¤
¡
¢
¢
¡
¡
£
+2 u2 η2 + ηu u2 − u2 2 ξ21 + ξu1 u2 − u22 ξ21 + ξu1 u2 − u2 ξ22 + ξu2 u2 =
£
¡
¢ ¤
¡
¢
= η1 + u2 2 + u22 ηu − u2 2 ξ11 + u2 2 + u22 ξu1 −
£
¡
¢ ¤
£
¡
¢ ¤
−u22 ξ11 + u2 2 + u22 ξu1 − u2 ξ12 + u2 2 + u22 ξu2 .
33
Jak i poprzednio, stosujemy tu procedure, rozszczepienia, przyrównujac
, do zera wspóÃlczynniki
przy odpowiednich potegach
zmiennyc u2 , u2 2 oraz u1 2 . Przyrównujac
, do zara wspóÃlczynniki
,
przy u2 u12 oraz u1 2 , otrzymujemy ξu1 = ξ21 = 0. Stad
,
ξ 1 = ξ 1 (x1 ).
Przyrównujac
, do zera spóÃlczynnik przy u2 u2 2 otrzymujemy że
ξ 2 = ξ(x1 , x2 ).
Przyrównujac
, do zera spóÃlczynnik przy u2 2 otrzymamy
˙ 1 ) = 0.
2 ξ22 − ξ(x
Stad
,
ξ 2 = σ(x1 ) +
x2 ˙1
ξ (x1 ).
2
(1.58)
2
Dalej, przyrównujac
, do zera wspóÃlczynniki przy u2 otrzymamy równania
ηu u + ηu = 2 ξ22 − ξ˙1 (x1 ) ≡ 0.
(1.59)
CaÃlkujac
, równanie (1.59) po zmiennej u otrzymamy liniowe niejednorodne równanie
ηu + η = β(x1 , x2 ),
gdzie β(x1 , x2 ) jest dowolna, funkcja., CaÃlkujac
, to równanie metoda, uzmienniania staÃlej,
otrzymujemy
η = α(x1 , x2 ) e−u + β(x1 , x2 ),
gdzie α(x1 , x2 ) - dowolna funkcja.
Przyrównujac
, do zera wspóÃlczynnik przy u2 otrzymujemy równanie
2 η2 u + 2 η2 = ξ22 2 − ξ12 = −
x2 ¨1
ξ (x1 ) − σ̇(x1 )
2
To równanie można jeszcze przedstawić w postaci
hx
i
2 ¨1
2 β2 (x1 , x2 ) = −
ξ (x1 ) + σ̇(x1 ) .
2
CaÃlkujac
, otrzymujemy wzór
β=−
x22 ¨
x2
ξ(x1 ) − σ̇(x1 ) + ρ(x1 ),
8
2
gdzie ρ(x1 )- dowolna funkcja.
34
Na końcu przyrównujemy do zera wspóÃlczynnik przy 1. To daje nam równanie
η1 = η2 2 ,
lub,
e−u α1 + β1 = e−u α2 2 + β2 2 .
Wynika stad
natychmiast że α(x1 , x2 ) jest dowolnym rozwiazaniem
równania transportu
,
,
ciepÃla α1 = α2 2 . PozostaÃla cześć
równości można zapisać w postaci
,
1 ¨2
x2 d3 ξ 1 (x1 ) 1
ξ (x1 ) = 2
+ x2 σ̈(x1 ) + ρ̇(x1 ).
4
8 d x31
2
Stad
przyrównujac
xk2 , k = 0, 1, 2,
,
, do zera wspóÃlczynniki przy odpowiednich potegach
,
otrzymujemy trzy proste równania, których rozwiazania
można przedstawić w nastepuj
acej
,
,
,
postaci:
ξ 1 = C2 + 2 C4 x1 + 4 C6 x21 ,
σ = A + B x1 ,
ρ = C7 − 2 C6 x1 .
Dla funkcji β otrzymujemy wzór
β = −x22 C6 −
x2
B + C7 − 2 C6 x1 .
2
A wiec,
wyrażenia dla wspóÃlczynników generatora IFO można przedstawićx w nastepuj
acej
,
,
,
postaci:
ξ 1 = C2 + 2 C4 x1 + 4 C6 x21 ,
x2
ξ2 =
[2 C4 + 8 C6 x1 ] + A + B x1 ,
2
B
η = α(x1 , x2 ) e−u + C7 − 2 C6 x1 − C6 x22 − x2 .
2
(1.60)
(1.61)
(1.62)
Zatem, zachodi
Twierdzenie 1.11 Potencjalne równanie Burgersa (1.56) dopuszcza nieskończeniewymiarowa,
algebre, Liego, której baze, tworza, nastepuj
ace
generatory przeksztaÃlceń infinitezymalnych:
,
,
∂
,
∂ x1
∂
X̂2 =
,
∂ x2
∂
,
X̂3 =
∂u
X̂1 =
(1.63)
(1.64)
(1.65)
35
∂
∂
+ 2 x1
,
∂ x2
∂ x1
∂
∂
X̂5 = 2 x 1
− x2
,
∂ x2
∂u
¡
¢ ∂
∂
∂
,
X̂6 = 4 x21
+ 4 x1 x2
− 2 x1 + x22
∂ x1
∂ x2
∂u
∂
X̂α = exp[−u] α(x1 , x2 )
∂u
X̂4 = x2
(1.66)
(1.67)
(1.68)
(1.69)
gdzie funkcja α = α(x1 , x2 ) jest deowolnym rozwiazaniem
równania α1 = α2 2 = 0.
,
Komutatory operatorów X̂1 − X̂6 podane sa, w tabeli 1.12. (nie podajemy relacji komutacyjnych w których figuruje operator XA ).
Tabela 1.2: Relacje komutacyjne generatorów jednoparametrowych grup symetrii równania transportu ciepÃla
X̂1
X̂2
X̂3
X̂1
X̂2
X̂3
X̂4
X̂5
X̂6
0
0
0
X̂1
−X̂3
2 X̂5
0
0
2X̂2
2 X̂1
4 X̂4 − 2X̂3
0
0
0
0
0
X̂5
2X̂6
0
0
X̂4
X̂5
X̂6
0
Porówniuac
, tebele, 1.12. z tabela, 1.11. widzimy że operatory X̂1 − X̂6 speÃlniaja, identyczne
rlacje komutacyjne. Identyczność ta nie jest przypadkowa. Wskazuje ona na to iż równanie
transportu ciepÃla a równanie Burgersa w jakiś sposób sa, zwiazane
ze soba., L
à atwo można
,
zauważyć że różnia, sie, pomiedzy soba, jedynie te wspóÃlredne
generatorów grup jednopareme,
∂
. Spróbujmy wiec
, dokonać takiej zamiany zmiennych u → W
∂u
e−u ∂∂u przejdzie w operator ∂ ∂W . Zamiana ta dana jest rozwiazaniem
,
trowych które stoja, przy
przy której operator
równania
dW
du
=
−u
e
1
Jego najprostsze rozwiazanie
ma postać
,
W = eu .
36
Po takiej zamianie zmiennych (która ”nie rusza” zmiennych niezależnych!!!) generatory
dopuszczalne przez potencjalne równanie Burgersa staja, sie, identyczne (z dokÃladnościa, do
zamiany u → W ) z generatorami które dopuszcza równanie transprtu ciepÃla.
Podstawiajac
, ansatz u = log W do równania (1.56), otrzymany rówanie
W Wx x
W Wt
=
,
2
W
W2
które jest równoważne równaniu transportu ciepÃla.
Jeżeli, z kolei, powrócić do równania (1.55), dokonujac
, w nim zamiany zmiennej
v = (log W )x ,
(1.70)
wówczas uzyskamy równanie
¡ 2
¢
W − W Wx (Wt − Wx x ) = 0,
które również jest równoważne z równaniem transportu ciepÃla. Wprowadzajac
, zamiane,
zmiennych (1.70) podyktowana, wzgledami
symetrii (bardziej dokÃladnije - izomorfizmem al,
gebr Liego), uzyskaliśmy sÃlynne przeksztaÃlcenie Cole’a-Hopfa, linearyzujace
równanie Bur,
gersa 1 .
1
Dzieki
istnieniu takiego zwiazku
równanie Burgersa powszechnie jest uznawane za zupeÃlnie caÃlkowalne.
,
,
W ksiażce
Daniela Dubina ”Numerical and Analytical Methods for Sciences and Engineers Using
,
Mathematica”, Wiley & Sons, New Jersey, 2003 podaje sie, przepis na to, jak można za pomoca,
przksztaÃlcenie Cole’a-Hopfa rozwiazać
dowolne zagadnienie Cauchego dla równania Burgersa.
,
37
RozdziaÃl 2
Zastosowania
2.1.
Rozwiazania
niezmiennicze. Redukcja.
,
ZaÃlóżmy że mamy skalarne równanie
¡
¢
F x1 , x2 , ...xn ; u, ∂ u, ...∂ k u = 0
(2.1)
które dopuszcza grupe, jednoparametrowa, Ga z generatorem
X̂ = ξ i
∂
∂
+η
.
i
∂x
∂u
Definicja 2.1.Funkcja
u = θ(x)
(2.2)
nazywa sie, rozwiazaniem
niezmienniczym równania (2.1), zwiazan
a, z generatorem symetrii
,
,
X̂, jeżeli:
• funkcja (2.2) jest powierzchnia, niezmiennicza, operatora X̂, co oznacza że
X̂ [u − θ(x)] = 0;
(2.3)
• funkcja (2.2) speÃlnia równanie (2.1).
Warunek (2.3) na rozwiazaniach
równania (2.1) jest, oczywiście, równoważny warunkowi
,
n
X
i=1
ξi [x, θ(x)]
∂θ
= η [x, θ(x)] .
∂ xi
Uwaga. Równanie (2.4) nazywaja, czesto
równaniem powierzchni niezmienniczej.
,
(2.4)
38
Jak można znaleźć postać funkcji θ(x) i jakie z tego pÃlyna, korzyści? Opiszemy najpierw
procedure, odnajdywania funkcji θ.
Korzystamy z tego, że równanie (2.4) jest równoważne ukÃladowi charakterystycznemu
d x1
d x2
d xn
du
.
=
= ... =
=
ξ1
ξ2
ξn
η
(2.5)
Jeżeli funkcje X̃1 (x, u), X̃2 (x, u), ...., X̃n−1 (x, u), v(x, u) sa, niezależnymi caÃlkami pierwszymi
ukÃladu charakterystycznego i, ponad to, ∂ v/∂ u 6= 0, wówczas rozwiazanie
niezmiennicze
,
(2.2) można przedstawić tylko za pomoca, funkcji niezmienniczych w postaci
³
´
v(x, u) = Φ X̃1 , X̃1 , ..., X̃n−1 ,
1
(2.6)
gdzie Φ - pewna gÃladka funkcja. Zauważmy, że funkcje X̃1 (x, u), X̃2 (x, u), ...., X̃n−1 (x, u)
można potraktować jako nowe zmienne kanoniczne prostujace
pole X̂, jeżeli dodać do tego
,
zbióru funkcje, X̃n (x, u), speÃlniajac
, a, równanie
h i
X̂ X̃n = 1.
Rzeczywiście, zbiór funkcji X̃1 (x, u), X̃2 (x, u), ...., X̃n−1 (x, u), X̃n (x, u), v(x, u) tworzy izomorfizm przestrzeni Rn+1 . W zmiennych tych generator bedzie
miaÃl postać
,
X̂ =
h i ∂
∂
∂
X̂ X̃k
+ X̂ [v]
=1·
.
∂v
∂ X̃k
∂ X̃n
k=1
n
X
Ponieważ pole wektorowe
∂
∂ X̃n
jest ”nieprzedÃlużalne”, wiec
równanie (2.1) przepisane w
,
nowych zmiennych bedzie
miaÃlo postać
,
³
´
k
F̃ X̃1 , X̃2 , ...X̃n−1 ; v, ∂ v, ...∂ v = 0,
(2.7)
gdzie symbol ∂ j v oznacza zbiór wszystkich j-ch pochodnych czastkowych
funkcji v po zmien,
nych X̃r .
Wprowadźmy nastepuj
ace
oznaczenia:
,
,
1. Zmienne X̃1 (x, u), X̃2 (x, u), ...., X̃n−1 (x, u) nazywamy zmiennymi niezmienniczymi.
2. Równanie (2.7) które mieści o jedna, zmienna, niezależna, mniej niż (2.1), bedziemy
,
nazywać równaniem zredukowanym.
nazywali redukcja, równania (2.1) wzgledem
3. Procedure, przejścia do postaci (2.7) bedziemy
,
,
grupy 1-parametrowej generowanej przez operator X̂.
1
Stwierdzenie to ma charakter uniwersalny, p., na przykÃlad Ovsyannikov L.V., Group Analysis of Diffe-
rential equations, Academic Press, NY, 1982, rozdziaÃl 4, p. 18.
39
2.2.
PrzykÃlad 1. Rozwiazania
typu fali biegnacej
równania
,
,
Kortevega-de Vriesa
Lemat 2.1.
Równanie
F [x1 , ...xi−1 , xi+1 , ...xn u(x)] = 0
dopuszcza generator X̂ =
∂
.
∂ xi
Dowód wynika bezpośrednio z tego, że operator X̂ =
∂
∂ xi
jest operatorem nieprzedÃlużalnym.
Wniosek 2.1.Równanie Kortevega-de Vriesa (KdV)
ut + u u x + ux x x = 0
(2.8)
dopuszcza generator
X̂ =
∂
∂
+s
,
∂t
∂x
(2.9)
gdzie s jest staÃla, nieujemna.,
Żeby zrealizować redukcje, grupowa, r-nia KdV, należy rozwiazać
ukÃlad
,
dt
dx
du
=
=
1
s
0
Ponieważ niezmienniki operatora (2.9) wyrażaja, sie, wzorem
ξ = ω1 = x − s t,
u = ω2 ,
wiec
niezmiennicze można przedstawić w nastepuj
acej
postaci:
,
,
, rózwiazanie
,
u = U (ξ) ≡ U (x − s t).
Po podstawieniu tego ansatzu do równania KdV, otrzymamy równanie zwyczajne
¸
·
d
U2
0
0
000
00
− s U = 0.
−s U + U U + U =
U +
dξ
2
caÃlkujac
, go otrzymamy
U 00 +
U2
− s U = C.
2
40
Bez utraty ogólności możemy uważać że C = 0. Jeżeli tak nie jest, wówczas osagniemy
,
żadan
a, postać ”kanoniczna”
,
,
U 00 +
U2
− sU = 0
2
(2.10)
2
dokonujac
fali biegnacej
, przekśztaÃlcenia U → Ũ + R, R − s R = C oraz zmiany predkości
,
,
s → s − R.
Równanie (2.10) możemy również przedstawić w postaci ukÃladu dynamicznego
U 0 = −W ≡ F,
W 0 = 12 U (U − 2 s) ≡ G.
(2.11)
Zachodza, nastepuj
ace
stwierdzenia.
,
,
(0, 0) oraz (2 s, 0).
Lemat 2.2.UkÃladu (2.11) ma dwa punkty stacjonarne o wspóÃlrzednych
,
Pierwszy punkt jest siodÃlem, drugi punkt jest środkiem.
Dowód. Wynika z analizy wartiści wÃlasnych macierzy Jacobiego
Ã
!
0,
−1
∂(F, G)
J=
=
∂ (U, W )
U − s, 0
w odpowiednich punktach.
Lemat 2.3.Funkcja
W2 U3 s 2
H(U, W ) =
+
− U
2
6
2
zachowuje staÃla, wartość na rozwiazaniach
ukÃladu dynamicznego (2.11).
,
Dowód jest elementarny.
Lemat 2.4.Separatryse siodÃla (0, 0) poÃlożone w prawej póÃlpÃlaszczyźnie tworza, gÃladka, krzywa,
zamkniet
,
, a, (zwana, petl
, a, homokliniczna).
Dowód. Każda krzywa caÃlkowa ukÃladu (2.11) przechodzaca
przez poczatek
ukÃladu wspóÃl,
,
rzednych
cechuje sie, zerowa, wartościa, funkcji H(U, W ). Stad
, krzywa taka może być przed,
stawiona w poswtaci
W =
p
dU
= ± U 2 (s − U/3).
dξ
(2.12)
41
Rys. 2.1: Portret fazowy ukÃladu (2.11)
Ze wzoru (2.12) wynika, że separatryse siodÃla sa, symetryczne wzgledem
osi pionowej. Roz,
patrzmy górna, separatryse:
,
p
W = U 2 (s − U/3).
Wyrażenie pod pierwiastkiem kwadratowym, które jest dodatnie przy maÃlych wartościach
funkcji U (zkÃladamy że s > 0) rośnie do pewnej wartości 0 < Ucr1 , a nastepnie
maleje. L
à atwo
,
widać, także, że górna separatrysa siodÃla przecina oś pozioma, w punkcie Ucr2 = 3 s > Ucr1 .
Żeby uzmysÃlowić że górna i dolna separatryse tworza, gÃladka, krzywa, zamkniet
, a, zauważmy
że
dW
= −∞,
U → 3s−0 d U
zatem górna i dolna separatryse siodÃla przecinaja, sie, w punkcie (3 s, 0) pod katem
prostym,
,
lim
tworac
, gÃladka, krzywa, zamkniet
,
, a.
Portret fazowy ukÃladu (2.11) jest wiec
taki jak to jest pokazane na rys 2.1. Obszar
,
wypeÃlniony orbitam okresowymi jest oddzielony od pozostaÃlych punktów pÃlaszczyzny fazowej
(U, W ) petl
tej odpowiada rozwiazanie
solitonowe, opisujace
izolowana,
,
,
, a, separatrysy. Petli
,
fale, wykÃladniczo zmierzajac
, a, do zera gdy ξ → ± ∞.
Rozwiazanie
solitonowe można uzyskać caÃlkujac
,
, bezpośrednio równanie (2.10). Nasze
postepowanie
bedzie
jednak inne. Wiemy że rózwiazanie
wyraża sie, w postaci 2
,
,
,
A
.
U=
cosh2 B ξ
√
Podstawiaj
B = s/2. Ostatecznie wiec
, ac
, to do równania (2.10), otrzymamy : A = 3s,
,
·√ ¸
s
U (ξ) = 3 s cosh−2
ξ .
2
2
jawna postać rozwiazania
podana jest, na przykÃlad, w ksiażce
R.K. Dodd et al, Solitons and Nonlinear
,
,
Wave Equations, Academic Press, NY, 1982, Ch.I, p. 4.
42
2.3.
PrzykÃlad 2. Samopodobne rozwiazanie
równania
,
transportu ciepÃla
Rozpatrzmy równanie
ut − ux x = 0.
(2.13)
Chcemy bezpośrednio znaleźć operatory grupy skalowania, które dopuszcza (2.13). PrzeksztaÃlcenia skończone, jak wiadomo, możemy zadać w postaci
t̄ = eα a t,
x̄ = eβ a x,
ū = eγ a u,
gdzie α, β, γ- staÃle, a jest (kanonicznym) parametrem grupowym Zwiazek
pomiedzy
równaniami
,
,
zapisanymi w starych i nowych zmiennych jest nastepuj
acy:
,
,
∂ ū ∂ 2 ū
∂u
∂2 u
− 2 = ea(γ−α)
− ea(γ−2 β)
.
∂ t̄
∂ x̄
∂t
∂ x2
Zatem równanie bedzie
niezmiennicze wzgledem
grupy scalingowej w.t.w. gdy
,
,
γ − α = γ − 2 β.
Oznacza to że staÃla γ jest dowolna, zaś pomedzy
pozostaÃlymi staÃlymi zachodzi zwiazak
,
,
α = 2 β. Dlatego możemy twierdzić że równanie (2.13) dopuszcza dwie grupy skalowania o
generatorach
X̂1 = u
∂
∂u
X̂2 = 2 t
∂
∂
+x
.
∂t
∂x
Procedura redukcji grupowej bedzie
oparta na operatorze
,
X̂ = X̂2 + 2 cX̂1 ,
który, oczywiście, też jest generatorem symetrii. Funkcje niezmiennicze, speÃlniajace
ukÃlad
,
równań zwyczajnych
dx
dt
du
=
=
x
2t
2cu
maja, nastepuj
ac
, a, postać:
,
x
ξ=√ ,
t
Ω=
u
.
tc
Niezmienniki te generuja, ansatz
u = tc W (ξ).
(2.14)
43
Po podstawieniu atsatzu (2.14) do równania (2.13), otrzymamy równanie zwyczajne określajace
,
funkcje, W (ξ):
2 W 00 + ξ W 0 − 2 c W = 0.
(2.15)
Zauważmy teraz, że w przypadku gdy c = −1/2, równanie (2.15)można przedstawić w postaci
d
[2 W 0 + ξ W ] = 0.
dξ
CaÃlkujac
, to równanie i kÃladac
, staÃla, caÃlkowania równa, zeru, otrzymamy równanie
dW
ξ
= − d ξ.
W
2
CaÃlkujac
, po raz drugi otrzymamy wzór
x2
W = A e− 4 t ,
z którego wynika że rozwianie
niezmiennicze ma postać
,
A − x2
u(t, x) = √ e 4 t .
t
(2.16)
Uwaga 2.1.Unormowane do jedynki rozwiazanie
niemiennicze
,
x2
1
E(t, x) = √
e− 4 t
4πt
jest rozwiazaniem
fundamentalnym operatora L = ∂t −∂x x . Oznacza to że jedyne rozwiazanie
,
,
zagadnienia Cauchy’ego
ut − ux x = 0,
u(0, x) = ϕ(x)
(2.17)
możma przedstawić w postaci splotu 3
Z ∞
(x−y)2
1
e− 4 t ϕ(y) d y,
u(t, x) = E ∗ ϕ(t, x) ≡ √
4 π t −∞
o ile funkcja ϕ jest taka że caÃlka w prawej stronie jest dobrze określona.
Uwaga 2.2.Funkcja (2.16) z A =
√Q
4π
jest jedynym rozwiazaniem
zagadnienia o wybuchu
,
cieplnym
ut = ux x ,
(2.18)
u(0, x) = 0,
x 6= 0,
Z +∞
u(t, x) = Q.
(2.19)
(2.20)
∞
Rozwiazanie
to zostaÃlo wyprowadzone po raz pierwszy na podstawie teoorii wymiarów i
,
podobieństwa 4 .
3
Definicja oraz wÃlasności splotu sa, przedstawione, na przykÃlad, w pozycji Vsevolod Vladimirov, ”Wstep
,
do teorii dystrybucji”, AGH, Kraków, 2007
4
Barenblatt G.I., Similarity, selfsimilarity and intermediate asymptotics, Constantin Bureau, New York,
1994.
44
2.4.
Rozmnażanie rozwiazań
za pomoca, symetrii
,
ZaÃlóżmy że ukÃlad RRCz
F ν (x, u, ∂ u, ...∂ k u) = 0,
x ∈ Rn ,
u ∈ Rm , ν = 1, ...., s
(2.21)
dopuszcza grupe, jednoparametrowa,
x̄i = f i (x, u; a),
ūα = g α (x, u; a),
i = 1, ....n,
α = 1, ....m,
(2.22)
oraz że znane jest jakieś rozwiazanie
szczególne u = θ(x) tego ukÃladu. Jak wiadomo, symetrie
,
odwzorowuja, zbiór rozwiazań
danego równania w siebie. Dlatego zbiór
,
x̄i = f i (x, θ(x); a),
ūα = g α (x, θ(x); a),
i = 1, ....n,
α = 1, ....m,
zadaje pewne nowe rozwiazanie
ukÃladu (2.21). Jeżeli w tym ukÃladzie przedstawić x jako
,
funkcje, nowych zmiennych
x = f (x̄, ū; −a),
wówczas wzór
ū = g [f (x̄, ū; −a), θ (f (x̄, ū; −a)) ; a]
(2.23)
określa postać niejawna, poszukiwanego rozwiazania
zapisana, w nowych zmiennych.
,
Rozpatrzmy równanie KdV
ut + 6 u ux + uxxx = 0.
(2.24)
Zachodzi
Lemat 2.5.Funkcja
u=−
2
x2
(2.25)
speÃlnia równanie (2.24).
Do ”rozmnażania ” rozwiazania
(2.25) wykorzystamy generator
,
X̂ = (a1 + 6 t)
∂
∂
∂
+ a4
+
.
∂x
∂t ∂u
45
należacy
do algebry symetrii równania (2.24). Użycie metody ”rozmanażania” wymaga
,
scaÃlkowania równań Liego
dx̄
= (a1 + 6 t̄),
dε
dt̄
= a4 ,
dε
dū
= 1,
dε
x̄(0) = x,
t̄(0) = t,
ū(0) = u.
Rozwiazuj
ac
ace
,
, najpierw drugie równanie, a potem pierwsze i trzecie, otrzymamy nastepuj
,
,
przeksztaÃlcenia skończone:
x̄ = x + a1 ε + 6 t ε + 3 a4 ε2 ,
t̄ = t + a4 ε,
ū = ε + u.
Wykkorzystujac
w postaci (2.23):
, przeksztaÃlcenia skończone, przedstawiamy rozwiazanie
,
ū = u + ε = ε + θ (f (x̄, ū; −a)) = ε −
2
.
[x̄ − (a1 + 6 t̄ )ε + 3 a4 ε2 ]2
Bezpośrednie sprawdzenie pokazuje, że uzyskana funkcja ū (t̄, x̄) speÃlnia równanie
ūt̄ + 6 ū ūx̄ + ūx̄ x̄ x̄ = 0.
2.5.
Problem klasyfikacji grupowej
W ogromnej ilości przypadków równania modelujace
procesy rzeczywiste mieszcza, nieznane
,
funkcje których konkretyzacja jest bardzo trudna, lub wrecz
niemożliwa. W takich sy,
tuacjach metody symetrii sa, bardzo pomocnym narzedziem,
pozwalajacym
wyszczególnić
,
,
pewne klasy modeli posiadajace
bardziej szeroka, symetrie.
,
, Na elementy nieznane narzucane
sa, w taki sposób pewne ograniczenia. Wyszczególnienie takich modeli nazywa sie, problemem
klasyfikacji grupowej. Rozwiazanie
problemu klasyfikacji grupowej bedzie
przedstawione na
,
,
przykÃladzie nieliniowego równania transportu
u1 = [K(u) u2 ]2 ≡ K 0 (u) u22 + K(u) u2 2 .
(2.26)
ZakÃladamy że K(u) jest gÃladka, funkcja, odmienna, od staÃlej. Jak zwykle, generator grupy
niezmienniczości przedstawiamy w postaci
X̂ = ξ 1 (x1 , x2 , u)
∂
∂
∂
+ ξ 2 (x1 , x2 , u)
+ η(x1 , x2 , u)
.
∂ x1
∂ x2
∂u
46
DziaÃlajac
, dwa razy przedÃlużonym operatorem
X̂(2) = X̂ + ζ 1
∂
∂
+ ... + ζ 2 2
∂ u1
∂ u22
na równanie (2.26), otrzymamy równanie określajace
,
ζ 1 = K 00 η u22 + 2 u2 K 0 ζ 2 + K 0 η u2 2 + K ζ 2 2 ,
które ma być speÃlnione pod warunkiem, że u1 = K 0 (u) u22 + K(u) u2 2 .
Specyfika, ukÃladu równań określajacych
które uzuskuje sie, w tym przypadku po zasto,
sowaniu procedury rozszczepienia jest to że równania te mieszcza, jako ”dowolny element”
funkcje, K(u) oraz jej pochodne. Bedziemy
wiec,
po-pierwsze, usiÃlowali znaleźć maksymalna,
,
,
algebre, niezmienniczości, która, dopuszcza równanie (2.26) przy dowolnej funkcji K(u). Po
odpowiedzi na to pytanie, zabierzemy sie, do wyszczególniania wszyelkich możliwych postaci
funkcji K(u) prowadzacych
do rozszerzenia symetrii.
,
22
Przystepuj
ac
po ”zrzutowaniu”
, do procedury rozszczepienia, zauważamy że funkcja ζ
,
na rozmaitość (2.26) pozostaje pod wieloma wgledami
podobna, do analogicznej funkcji spo,
tkanej w poprzednich obrachunkach. W szczególności, tylko ta jedna wspóÃlrzedna
generatora
,
X̂(2) zawiera wyrażenie u1 2 (ξ21 − u2 ξu1 ), które musi być przyrównane do zera. Stad
, natychmiast wynika, że
ξ 1 = ξ 1 (x1 ).
(2.27)
Dalej, wspóÃlczynnik przy u2 u2 2 jest proporcjinalny do ξu2 , z czego wynika że
ξ 2 = ξ 2 (x1 , x2 ).
(2.28)
Po uwzglednieniu
tego, równanie określajace
można przedstawić w nastepuj
acej
postaci:
,
,
,
,
©
ª
2
K(u) η22 + 2 u2 η2u + u22 ηu + u22 ηuu − 2 u22 ξ22 − u2 ξ22
+
£
¡
¢
¤
+K 00 u22 η + K 0 2 u2 η2 + ηu u2 − u2 ξ22 + η u22 =
¡
¢
¡
¢
= η1 − u2 ξ12 + ηu − ξ11 K 0 u22 + ηu − ξ11 K u22 .
Przyrównujac
, do zera wspóÃlczynniki przy poszczególnych pochodnyc funkcji u, otrzymamy:
¢
¡
K ξ11 − 2 ξ22 + K 0 η = 0,
¢
¡
u22 : K ηuu + K 0 ξ11 − 2 ξ22 + ηu + K 00 η = 0,
¡
¢
2
u2 :
ξ12 + 2 K 0 η2 + K 2 η2u − ξ22
= 0,
u22 :
1:
K η22 − η1 = 0.
(2.29)
(2.30)
(2.31)
(2.32)
47
Z równania (2.29) otrzymuuemy:
³
´
η = Ψ f (x1 , x2 ) = Ψ 2 ξ 2 − ξ˙1 ,
K
.
K0
Podstawiajac
, (2.33) do (2.32), otrzymujemy równanie
2
Ψ=
(2.33)
2
2
K(u) ξ222
= 2 ξ12
− ξ¨1 .
Stad
,
ξ 2 = C(x1 ) + B(x1 ) x2 + A x22 ,
1
B = ξ˙1 + γ,
2
η = Ψ (4 A x2 + 2 γ) .
(2.34)
(2.35)
(2.36)
Podstawiajac
, (2.34)-(2.36) do (2.31) otrzymamy:
f {KΨ00 − K 0 + K 0 Ψ0 + K 00 Ψ} =
½
¾
K 0
K 00
0
0
=fK
Ψ +Ψ −1+ 0 .
K0
K
Zauważmy że
µ ¶0
K
K 0 K 0 − K K 00
K 00
0
Ψ =
=
=
1
−
Ψ
.
K0
K0
(K 0 )2
Stad
, otrzymujemy wzór
f (x1 , x2 ) K 0 Ψ00 = 0.
(2.37)
Wzór (2.37) jest podstawa, klasyfikacji możliwych przypadków rozszerzenia symetrii.
Zanim jednak przjdziemy do klasyfikacji, zauważmy że w przypadku dowolnej funkcji
K(u) wzór (2.37) bedzie
tożsamoścowo równy zeru jeżeli
,
f = 4 Ax2 + γ = 0,
czyli gdy A = γ = 0. Przy takich wartościach parametrów, podstawienie (2.34)-(2.36) do
wzoru (2.29) otrzymujemy:
C = const,
ξ 1 = M + N x1 .
Zachodzi wiec
,
Twierdzenie 2.1.W przypadku dowolnej funkcji K(u) , równanie (2.26) dopuszcza operatory
∂
,
∂ x2
∂
∂
X̂3 = 2 x1
+ x2
.
∂ x1
∂ x2
X̂1 =
∂
,
∂ x1
X̂2 =
(2.38)
(2.39)
48
Jeżeli f (x1 , x2 ) 6= 0, wówczas
µ ¶00
K
00
Ψ ≡
= 0.
K0
stad
,
µ
0
Ψ =
K
K0
¶0
= C1 = const,
i
K(u) = λ (u + κ)ν ,
(2.40)
gdzie ν = C1−1 .
Podstawiajac
, (2.40) do (2.29), otrzymamy
1 ¨1
ξ (x1 ) x2 + Ċ(x1 ) + K A (6 − 8/ν) = 0.
2
Stad
, natychmiast wynika że
ξ 1 = M + N x1 ,
C = const,
oraz A = 0 jeżeli 6 − 8/ν 6= 0.
Zachodzi wiec
,
Twierdzenie 2.2.W przypadku gdy K(u) = λ (u + κ)ν i ν 6= −4/3 równanie (2.26) dopuszcza operatory
∂
∂
, X̂2 =
,
∂ x1
∂ x2
∂
∂
X̂3 = 2 x1
+ x2
,
∂ x1
∂ x2
2
∂
∂
X̂4 = (u + κ)
+ x2
.
ν
∂u
∂ x2
X̂1 =
(2.41)
Dla szczególnego przypadku zachodzi
Twierdzenie 2.3.W przypadku gdy K = λ (u + κ)−4/3 , równanie (2.26), pomino (2.41),
dopuszcza operator
X̂5 = x22
4
∂
∂
+ x2 (u + κ) .
∂ x2 ν
∂u
(2.42)
49
Ostatni przypadek powstaje gdy C1 = ν −1 = 0. Wówczas K/K 0 = µ i
K(u) = C2 exp [σ u],
(2.43)
gdzie σ = 1/µ. Przy takiej funkcji K(u) rownanie (2.31) przybiera postać
x2 ¨1
ξ (x1 ) + Ċ(x1 ) + 4AK(u) = 0.
2
Stad
,
µ
1
ξ = M + x1 N,
2
ξ =
1
N +γ
2
¶
x2 + C,
η = 2γ µ,
a wiec
, zachodzi
Twierdzenie 2.4.
Przy K = C2 exp [σ u] równanie (2.26) dopuszcza algebre,
∂
∂
, X̂2 =
,
∂ x1
∂ x2
∂
∂
X̂3 = 2 x1
+ x2
,
∂ x1
∂ x2
∂
∂
X̂4 = 2 µ
+ x2
.
∂u
∂ x2
X̂1 =
2.6.
(2.44)
Symetrie i caÃlkowanie równań różniczkowych zwyczajnych
Równania różniczkowe zwyczajne posÃlużyÃly gÃlównym źródÃlem inspiracji dla twórcy teorii
grup ciagÃ
, lych. Dla równań zwyczajnych istnienie symetrii implikuje możliwość obniżenia
rzedu.
Jeżeli skalarne RRZ rzedu
n posiada n−paremetrowa, grupe, symetrii, wówczas przy
,
,
pewnych dodatkowych zaÃlożeniach natury algebraicznej jest ono zupeÃlnie caÃlkowalne.
2.6.1.
Równanie skalarne rzedu
1. Algorytm poszukiwania grupy która, dopuszcza
,
RRZ nie różni sie, od odpowiedniego algorytmu dla RRCz. Mimo to, skalarne równania zwyczajne rzedu
pierwszego stanowia, pewien wyjatek
gdyż standardowy algorytm poszukiwania
,
,
symetrii w tym przypadku nie jest efektywny.
Rozpatrzmy RRZ
du
= F (x, u).
dx
Generator grupy 1-parametrowej poszukujemy w postaci
X̂ = ξ(x, u)
∂
∂
+ η(x, u) .
∂x
∂u
(2.45)
50
DziaÃlajac
, pierwszym przedÃlużeniem tego operatora
X̂(1) = X̂ + ζ 1
∂
∂ u0
2
ζ 1 = ηx + u0 (ηu − ξx ) − (u0 ) ξu
na równanie, otrzymamy:
ηx + F (x, u) [ηu − ξx − ξu F ] − ξ Fx − η Fu = 0.
(2.46)
Widać że równanie to nie rozszczepia sie.
go nie
,
, Dlatego w przypadku ogólnym rozwiazać
jest Ãlatwiej niż scaÃlkować równanie wyjściowe.
W przypadku RRZ rzedu
1 teoria symetrii wykorzystuje sie, niejako w odrotnej kolejności,
,
mianowicie, znajac
, symetrie, można ja, bardzo efektywnie wykorzystać. Jest na to kilka
sposobów.
Sposób I. Metoda prostowania pola wektorowego. Jeżeli odwzorowanie (x, u) →
(t, s) jest dyfeomorfizmem, to operator X̂ = ξ(x, u) ∂∂x + η(x, u) ∂∂u w nowych zmiennych
bedzie
miaÃl postać
,
X̂|(t,s) = X̂[t]
∂
∂
+ X̂[s] .
∂t
∂s
Prostowanie pola polega na narzuceniu warunków
X[t] = 0,
X[s] = 1.
Jeżeli warunki te sa, speÃlnione, to X̂|(t,s) =
(2.47)
∂
.
∂s
Ponieważ operator translacji jest nie-
przedÃlużalny, oznacza to że przejście do nowych zmiennych prowadzi do równania
ds
= F̃ (t),
dt
którego rozwiazanie
wyraża sie, kwadratura,
,
Z
s = F̃ (t) d t + C.
PrzykÃlad. Równanie
³u´
du
=F
dx
x
dopuszcza grupe, scalingowa, x̄ = ea x, ū = ea u z generatorem
X̂ = x
∂
∂
+u .
∂x
∂u
Rozwiazuj
ac
,
, równania (2.47) otrzymamy
t=
u
,
x
s = log x.
51
Pry takiej zamianie równanie wyjściowe przechodzi w
ds
1
=
.
dt
F (t) − t
CaÃlkujac
, go otrymamy kwadruature,
Z
dt
s=C+
.
F (t) − t
(2.48)
Metoda czynnika caÃlkujacego.
Równanie (2.45) można przedstawić (na ogóÃl na wiele
,
sposobów) w postaci Pfaffa
P (x, u) d x + Q(x, u) d u = 0.
(2.49)
Zachodzi
Twierdzenie 2.5.Niech (2.45) (a zatem i (2.49)) dopuszcza operator
X̂ = ξ(x, u)
∂
∂
+ η(x, u) .
∂x
∂u
Wtedy
µ=
1
ξP +ηQ
(2.50)
jest czynnikiem caÃlkujacym
,
Dowód. Jeżeli µ jest czynnikiem caÃlkujacym,
to istnieje gÃladka funkcja Φ(x, u) taka że
,
∂Φ
P
=
,
∂x
ξP +ηQ
∂Φ
Q
=
.
∂u
ξP +ηQ
Warunkiem koniecznym i wystarczajacym
na to byfunkcja µ byÃla czynnikiem caÃlkujacym
,
,
jest równość pochodnych mieszanych
µ
¶
µ
¶
∂
P
∂
Q
=
.
∂u ξP +ηQ
∂x ξP +ηQ
Rozpisujac
tego że F = −P/Q, równość (2.46).
, te, równość otrzymujemy, po uwzglednieniu
,
PrzykÃlad. Rozpatrzmy znów równanie
³u´
du
=F
,
dx
x
dopuszczajace
operator
,
X̂ = x
∂
∂
+u .
∂x
∂u
52
Zapiszmy go w postaci
F (u/x)dx − d u = 0.
z której wynika że P = F (u/x), Q = −1. Z powyższego wynika że czynnik caÃlkujacy
ma
,
postać
µ=
1
.
x F (u/x) − u
Zatem mamy:
F
1
dx −
du = dΦ = 0
xF (u/x) − u
xF (u/x) − u
Korzystamy z tego że daÃlka z żóżniczki zupeÃlnej nie zależy od drogi caÃlkowania. CaÃlkujemy
po drodze ABC gdzie AB - odcinek prostej Ãlacz
punkt (x0 , u0 ) z (x0 , u), BC - odcinek
, acy
,
Ãlacz
(x0 , u) z (x, u). Droge, caÃlkowania wybiramyu w tai sposób by nie zawieraÃla ona
, acy
,
osobliwości funkcji F. W wyniku otrzymamy kwadrature,
Z u
Z x
1
F (u/x)
−
du +
dx = C.
u0 xF (u/x0 ) − u
x0 xF (u/x) − u
ZaÃlóżmy dla konkretności że F (z) = z 2 + z. Wtedy, kÃladac
, caÃlkujac
, równanie Pfaffa
otrymamy rozsiazanie
w postaci
,
u=
x
.
C = log x
Pokrywa sie, ono z wynikiem, który otrzymuje sie, przy podstawieniu odpowiedniej funkcji
do wzoru (2.48).
2.6.2.
O maksymalnej grupie symetrii RRZ rzedu
2.
,
Twierdzenie 2.6.Równanie
u00 (x) = 0
(2.51)
dopuszcza ośmiowymiarowa, algebre, Liego.
Dowód. Stosujac
ace
równanie:
, kryterium niezmienniczości, otrzymujemy nastepuj
,
,
ηxx + ηxu ux + ux (ηux + ηuu ux ) − ux [ξxx + ξxu ux + ux (ξxu + ξuu ux )] = 0.
3
Przyrównujac
,
, do zera wspóÃlczynnik przy ux , otrzymujemy ξuu = 0. Stad
ξ = α(x) + β(x) u.
(2.52)
53
2
Przyrównujac
, dwa razy po
, do zera wspóÃlczynnik przy ux , otrzymamy ηuu = 2 ξu x . CaÃlkujac
zmiennej u, uzyskamy wzór
η = u2 βx + u γ(x) + δ(x).
(2.53)
Przyrównujac
(2.52) oraz (2.53), otrzymamy
, do zera wspóÃlczynnik przy ux , z uwzglednieniem
,
2 (2 βxx u + γx = αxx + u βxx ) .
Stad
,
β = M + N x,
γ = const.
(2.54)
Przyrównujac
(2.52)-(2.54), otrzymamy:
, do zera pozostaÃle wyrażenie, z uwzglednieniem
,
1
ηxx = αxxx u + δxx = 0.
2
Rozwiazyj
ac
,
, to równanie otrzymujemy ostatecznie wzór
ξ = L + p x + q x2 + (M + N x) u,
·
¸
1
2
η=Mu +
(2 q x + p) + R u + s + k x.
2
(2.55)
(2.56)
Wszystkie parametry wystepuj
ace
w powyższych wzorach sa, dowolnymi staÃlymi. Wydhodzac
,
,
,
z tego, wyszczególniamy nastepuj
ace
niezeleżne generatory grup jednoparametrowych:
,
,
∂
,
∂x
∂
X2 =
,
∂u
∂
∂
X3 = 2 x
+u
,
∂x
∂u
∂
X4 = x
,
∂u
∂
,
X5 = u
∂x
∂
X6 = u
,
∂u
∂
∂
X7 = u x
+ u2
,
∂x
∂u
∂
∂
+ ux
.
X8 = u x2
∂x
∂u
X1 =
Stad
, mamy teze.
,
54
Twierdzenie 2.7.Wymiar maksymalnej algebry dopuszczanej przez RRZ
y 00 = ω(x, y, y 0 )
(2.57)
przy dowolnej gÃladkiej funkcji ω(·, ·, ·) wynosi 8.
Dowód. (ad abs) Niech (2.57) dopuszcza 9 niezależnyc generatorów X1 , ..., X9 . Kombinacja liniowa tych generatorów, która, oznczamy jako
X̂ =
9
X
ak Xk ,
k=1
gdzie ak -dowolne staÃle, jest, oczywiście, generatorem symetrii. Ze standardowego kursu
wiadomo, że zarówno zagadnienie poczatkowe
,
y 00 = ω(x, y, y 0 ),
y(x0 ) = y0 , y 0 (x0 ) = y1
(2.58)
jak i zagadnienie
y 00 = ω(x, y, y 0 ),
y(x0 ) = y0 , y(x1 ) = y1 ,
x0 6= x1 , y0 6= y1
(2.59)
posiada jedyne lokalne rozwiazanie.
Rozpatrzymy cztery dowolne punkty P1 , ...P4 ∈ R2
,
nie leżace
na jednej prostej. Określaja, one (na mocy (2.59)) w sposób jednoznaczny sześć
,
rozwiazań
pokazanych na rys. 2.2.
,
Rys. 2.2:
55
Parametr”y {ak }9k=1 , można dobrać w taki spośób żeby punkty P1 , ....P4 byÃly punktami
staÃlymi grupy jednoparametrowej Ga generowanej przez X̂. Warunek ten bedzie
speÃlniony,
,
jeżeli zachodza, równoći
ξ(Pi ) =
η(Pi ) =
9
X
k=1
9
X
ak ξk (Pi ) = 0,
i = 1, ...4,
ak ηk (Pi ) = 0,
i = 1, ...4.
k=1
SpeÃlnienie tych równości przy odpowiedznim doborze staÃlych ak , jest oczywiście możliwe ze
wzgledu
na zaÃlożenie o niezależnośći generatorów Xk .
,
Jak wiadomo, grupa Ga odwzorowuje rozwiazania
w rozwiazania.
Ponieważ Pk pozostaja,
,
,
w miejscu, wiec
Ãlaczacych
te punkty przechodza, w siebie. Na podstawie
,
,
, szcześć rozwiazań
(2.58) stwierdzamy również że w każdym punkcie Pk bez zmian pozostaja, trzy pochodne
które sa, styczne do trzech rozwiazań
Ãlacz
Pk z trzema pozostaÃlymi punktami:
,
, acych
,
ȳi0 = yi0 + ζ 1 (Pk ) + O(a2 ) = yi0 + O(a2 ),
i = 1, 2, 3.
Innymi sÃlowy równanie
ζ 1 (Pk ) = ηx + y 0 (ηy − ξx − ξy y 0 ) |Pk = ck + dk y 0 + ek y 00 = 0,
powinno mieć trzy różne rozwiazania.
Jest to możliwe jedynie gdy ck = dk = ek = 0. Stad
,
,
wynika że ζ 1 (Pk ) ≡ 0 i wszystkie pochodne pozostaja, niezmienne. To, z kolei, oznacza,
że wszystkie krzywe caÃlkowe równania (2.57) przechodzace
przez Pk sa, odwzorowywame w
,
siebie.
Dalej, dowolny punkt P i Pk można poÃlaczyć
rozwiazaniem
(o ile te dwa punkty sa,
,
,
bliske). Skoro rozwiazania
pod wpÃlywem Ga przechodza, w rozwiazania,
wiec
,
,
, P pod wpÃlywem
pola X̂ może jedynie ”ślizgać” sie, wzdÃluż rozwiazania.
Ale taki ”poślizg” nie jest możliwy,
,
ponieważ P Ãlaczy
sie, krzywymi caÃlkowymi z pozostaÃlymi trzema punktami do których można
,
zastosować powyższe rozumowanie.
9
Zatem X̂ jest polem zerowym, a wiec
, zbiór wektorów {Xk }k=1 jest liniowo zależny.
2.6.3.
RRZ rzedu
2: zastosowanie symetrii do obniżenia rzedu.
,
,
Perwszy sposób
wykorzystania symetrii zwiazany
jest z idea, prostowania pola wektorowego. Jeżeli RRZ
,
u00 = ω(x, u, u0 )
dopuszcza operator
X = ξ(x, u)
∂
∂
+ η(x, u)
∂x
∂u
56
wówczas możemy dokonać zamiany zmiennej (x, u) → (t, W ) żadajac
by
,
X|t,W = 1
∂
.
∂W
W nowych zmiennych równanie przybiera postać
W 00 = Ω(t, W 0 ).
0
Dokonujac
pierwszego:
, zamiany zmiennej Z = W , otrzymamy RRZ rzedu
,
Z 0 = Ω(t, Z).
PrzykÃlad. Rozpatrzmy równanie
uxx + p(x) ux + q(x) u = 0.
Jak każde liniowe jednorodne równanie różniczkowe, dopuszcza ono operator X̂ = u ∂ /∂ u.
CaÃlkujac
, równania
X[t] = 0,
X[W ] = 1,
otrzymamy zmiennie prostujace
pole wektorowe:
,
t = x,
W = log u.
W nowych zmiennych równanie wyjściowe przyubiera postać
©
ª
eW Wtt + Wt2 + p(t) Wt + q(t) = 0.
W
Dzielac
oraz wprowadzajac
, przez e
, zmienna, Z = Wt , otrzymujemy równanie Riccatiego
Zt + Z 2 + p(t) Z + q(t) = 0.
Drugi sposób polega na przejściu do wspóÃlrzednych
niezmienniczych.
,
n operatora X = ξ(x, u) ∂∂x + η(x, u) ∂∂u nazywa sie,
Definicja 2.2.Niezmiennikiem rzedu
,
dowolna funkcja Φ(x, u, ∂ u, ....∂ n u) taka że
X(n) Φ = 0.
Zachodzi
n, to
Twierdzenie 2.8.Jeżeli y = f (x, u(n) ), w = g(x, u(n) ) sa, niezmiennikami rzedu
,
Dx w
dw
=
dy
Dx y
jest niezmiennikiem rzedu
n + 1.
,
(2.60)
57
Wniosek 2.2.Jeżeli y = f (x, u), w = g(x, u, u0 ) sa, niezmiennikami rzedu
0 i 1, odpowied,
nio, to
Dx w
dw
=
dy
Dx y
2
Dx dd wx
d w
=
d y2
Dx y
jest niezmiennikiem. rz. 2;
(2.61)
jest niezmiennikiem. rz. 3;
(2.62)
.........................
(2.63)
Odwzorowanie
x, u, u0 , ....u(n) → y, w,
dw
dn−1 w
, .... n−1
dy
dy
jest dyfeomorfizmem obinżajacym
rzad
,
, RRZ.
PrzykÃlad. Rozpatrzmy równanie
u00 + u0 −
u
= 0.
x
Równanie to dopuszcza operator X = x ∂∂u (dlaczego?)
Rozwiazuj
ac
,
, równanie
X(1) ω ≡ x
∂ω
∂ω
+
= 0,
∂ u ∂ u0
znajdziemymy niezmienniki rzedu
0 i 1:
,
y = x,
u0 −
u
= w.
x
Niezmiennik rzedu
2 znajdujemy wykorzystujac
, powyższy wniosek. Ma on postać
,
dw
w
= u00 − .
dy
y
W nowych zmiennych równanie przybiera postać caÃlkowalnego RRZ rzedu
1:
,
µ
¶
1
dw
+
+ 1 w = 0.
dy
y
Po scaÃlkowaniu otrzymujemy:
w=
C −x
e .
x
Przechodzac
1:
, do starych zmiennych otrzymujemy RRZ rzedu
,
u0 −
1
C
u = e−x .
x
x
Równanie to caÃlkuje sie, metoda, uzmienniania staÃlej.
58
2.6.4.
Klasyfikacji RRZ rzedu
2 dopuszczajacych
algebre, dwuwymiarowa.
,
,
,
okazuje sie,
2 dopuszczajaca
pare, liniowo niezależnych generatorów X1 , X2
,
, że RRZ rzedu
,
jest caÃlkowalne. Na poczatku
sformuÃlujemy nastepuj
ace
stwierdzenie.
,
,
,
Lemat 2.6.Za pomoca, liniowej zamiany zmiennych
X̃1 = α11 X1 + α12 X2 ,
X̃2 = α21 X1 + α22 X2 ,
można zawsze uzyskać jedna, z nastepuj
acych
relacji komutacyjnych:
,
,
[X̃1 , X̃2 ] = 0 lub [X̃1 , X̃2 ] = X̃1 .
Powyższe stwierdzenie stanowi podstawe, klasyfikacji grupowej RRZ rzedu
2 dopusz,
czajacych
dwa operatory symetrii.
,
Zaczniemy od przypadku komutujacych
operatorów. Dokonujac
,
, zamiany zmiennych (x, u) →
(t, s) można zawsze uzyskać reprezentacje, w której
X1 =
∂
,
∂s
X2 = a(t, s)
∂
∂
+ b(t, s) .
∂s
∂t
Z tego że operatory komutuja, wynika że as = bs = 0, czyli że
X2 = a(t)
∂
∂
+ b(t) .
∂s
∂t
Dalej, wykorzystujac
v = v(t) otrzymamy:
, zamiane, zmiennych y = s + h(t),
·
¸
∂
∂
∂
∂
∂
X2 = a(t)
+ b(t) h0 (t)
+ v 0 (t)
= [a(t) + b(t) h0 (t)]
+ b(t) v 0 (t)
.
∂y
∂y
∂v
∂y
∂v
Jeżeli b(t) = 0, to wybieramy a = v, i to daje reprezentacje,
X1 =
∂
,
∂y
X2 = v
∂
.
∂y
(2.64)
Jeżeli b 6= 0, wówczas kÃladziemy v 0 = 1/b, h0 = −a/b i to daje reprezentacje,
X1 =
∂
,
∂y
X2 =
∂
.
∂v
(2.65)
Z powyższej konstrukcji wynika, że oprócz relacji komtacyjnych ważna, charakterystyka,
jest wielkość
Ã
δ = X1 ∨ X2 = det
ξ1 , η1
ξ2 , η2
!
.
Można wykazać że poprawne jest nastepuj
ace
stwierdzenie.
,
,
59
Twierdzenie 2.9.
1. Jeżeli [X1 , X2 ] = 0 i δ 6= 0 wówczas istnieje zamiana zmiennych (x, u) → (t, s) taka
że
X1 =
∂
,
∂s
X2 =
∂
,
∂t
s00 = F (s0 ).
i
(2.66)
2. Jeżeli [X1 , X2 ] = 0 i δ = 0 wówczas istnieje zamiana zmiennych (x, u) → (t, s) taka
że
X1 =
∂
,
∂s
X2 = t
∂
,
∂s
i
s00 = G(t).
(2.67)
3. Jeżeli [X1 , X2 ] = X1 i δ 6= 0 wówczas istnieje zamiana zmiennych (x, u) → (t, s) taka
że
X1 =
∂
,
∂s
X2 = t
∂
∂
+s
,
∂t
∂s
i
s00 =
H(s0 )
.
t
(2.68)
4. Jeżeli [X1 , X2 ] = X1 i δ = 0 wówczas istnieje zamiana zmiennych (x, u) → (t, s) taka
że
X1 =
∂
,
∂s
X2 = s
∂
,
∂s
i
s00 = s0 L(t).
(2.69)
We wszystkich czterech przypadkach istnieja, strategie pozwalajace
przedstawić rozwiaznia
,
,
RRZ w postaci kwadratury.
60
2.7.
Zakończenie
Oddajac
, Czytelnikowi to ”dzieÃlo ”, świadom jestem jego niedoskonaÃlości. ZebraÃlem w tym
skrypcie materiaÃl, który spisywaÃlem na bieżaco
w semestrze letnim r.ak. 2011-2012 w
,
którym, już po raz drugi, prowadziÃlem 30-godzinny wykÃlad monograficzny dla studentów
studiów magisterskich WMS. Kursu temu towarzyszyÃly również ćwiczenia, które stanowia,
jego nieodzowna, cześć.
Niestety, zabrakÃlo mi czasu na spisanie zadań i odpowiedzi. Bed
,
, e, sie,
staraÃl uzupeÃlnić te, luke, pod czas kolejnej edycji skryptu.
Na końcu chciaÃlem uczulić potencjalnego Czytelnika na to, że, mimo że kurs zostaÃl
sporzadzony
gÃlównie w oparciu o źródÃla przedstawione w spisie literatury, nie trzymaÃlem
,
sie, ściśle ani treści ani oznaczeń żadnej z wymienionych pozycji.
Dla tych którzy chcieliby pogÃlebić
swa, wiedze, w zakresie analizy grupewej RR, wyróżnić
,
chciaÃlbym ksiażk
i bardzo nowoczesnej monogra, e, Petera Olvera, Ãlacz
, ac
, a, zalety podrecznika
,
fii.
61
LITERATURA
[1] Bluman G., Kumei S., Symmetries and differential eqations, Springer, NY 1989.
[2] Olver P., Application of Lie groups to differential equations, Springer, NY, 1994.
[3] Ibragimov N., Selected works, Vol.1, Paper 21, Ch. 1,2.
[4] Stephani H., Differential equations: their solutions using symmetryies, Cambridge Univ.
Press, NY, 1989.
[5] Barenblatt G., Similarity, Self-Similarity and Intermediate Asymptotics, Academic
Press, NY, 1996.