Wieloetapowe zagadnienia transportowe

Wieloetapowe zagadnienia transportowe
Przykład 1
Dwóch dostawców o podaży 40 i 45 dostarcza towar do trzech odbiorców o popycie 18, 17 i 26 za
pośrednictwem dwóch punktów pośrednich o pojemnościach równych 50. Jednostkowe koszty
transportu podają tabele 1 i 2:
P1
1
3
D1
D2
O1
1
3
P1
P2
P2
4
5
O2
2
7
O3
8
11
Wyznaczyć rozwiązanie minimalizujące łączne koszty, jeśli wiadomo, że dostawcy chcą się pozbyć
całości swojego towaru, zaś nadmiar będzie magazynowany w punktach pośrednich w cenie 3 i 2 za
jednostkę. Dla rozwiązania optymalnego obliczyć koszty transportu od dostawców do punktów
pośrednich, koszty transportu z punktów pośrednich do odbiorców i koszty magazynowania.
Rozwiązanie
P1(50)
P2 (50)
O1 (18)
O2 (17)
O3 (26)
FO (24)
D1 (40)
D2 (45)
P1 (50)
P2 (50)
GUSEK
set Dostawcy;
set Odbiorcy;
param a{Dostawcy};
param b{Odbiorcy};
param z{Dostawcy, Odbiorcy};
var x{Dostawcy, Odbiorcy} >=0;
minimize cost: sum{i in Dostawcy, j in Odbiorcy} z[i,j] * x[i,j];
# popyt odbiorców nie przekracza podaży
s.t. podaz{i in Dostawcy}: sum{j in Odbiorcy} x[i,j] <= a[i];
# podaż dostawców co najmniej taka jak popyt
s.t. popyt{j in Odbiorcy}: sum{i in Dostawcy} x[i,j] >= b[j];
data;
Przykład 2
Dwa zakłady (podaż 28,24) dostarczają towar do dwóch odbiorców (popyt 20, 17) za pośrednictwem
dwóch hurtowni (pojemność 25, 30). Koszty transportu z zakładów do hurtowni i z hurtowni do
odbiorców podają tabele:
Z1
Z2
H1
9
12
H2
10
6
H1
H2
O1
1
6
O2
4
5
Wyznaczyć rozwiązanie minimalizujące łączne koszty, jeśli wiadomo, że zakłady produkują dokładnie
tyle towaru, ile żądają odbiorcy. Dla rozwiązania optymalnego obliczyć koszty transportu z zakładów
do hurtowni i z hurtowni do odbiorców.
Rozwiązanie
H1 (25)
Z1
Z2
H1
H2
H2 (30)
O1 (20)
O2 (17)
FO (15)
(28)
(24)
(25)
(30)
Przykład 3
Przedsiębiorstwo posiada w kraju osiem dużych domów towarowych. Dyrektor handlowy postanowił
znacznie obniżyć cenę jednego z droższych towarów, aby zlikwidować nadmierne zapasy
przedsiębiorstwa. Przed rozpoczęciem kampanii reklamowej, zarząd zamierza rozprowadzić między
ośmioma domami zapasy tak, aby dostosować je do przewidywanych możliwości sprzedaży. Rysunek
poniżej przedstawia poszczególne domy towarowe jako ponumerowane węzły. Dodatnie liczby przy
węzłach oznaczają nadmierną ilość zapasów, które powinny być przekazane innym domom
towarowym; liczby ujemne wskazują dodatkowe zamówienia zgłoszone przez dany dom towarowy.
Jednostkowe koszty transportu między węzłami podano nad linią łączącą węzły. Podaj optymalny
plan przewozów oraz minimalny koszt rozwozu towaru.
Rozwiązanie
Zapisujemy problem w tablicy transportowej:
F1
F2
F4
F5
F6
F7
bj
F2
2
0
M
M
M
M
12
F3
M
2
4
M
M
M
3
F4
M
M
0
1
M
M
12
F5
M
3
2
0
M
M
12
F6
M
M
M
5
0
M
13
F7
M
M
2
M
3
0
12
F8
M
M
M
M
M
2
8
ai
10
12
14
12
12
12
-
W tablicy wyróżniamy trzy rodzaje punktów: dostawcy (tylko wysyłają towar) tj. F1, odbiorców
(tylko odbierają towar) tj. F8 i F3 oraz punkty pośrednie (zarówno wysyłają jak i odbierają towar) tj.
F2, F5, F6, F4, F7, F8. Obliczamy bufor
(całkowita ilość towaru w problemie).
Podaż dostawców : wpisujemy ich faktyczną podaż, czyli dla F1 podaż = 10.
Popyt odbiorców: wpisujemy ich faktyczny popyt, czyli dla F3 – 3, dla F8 – 8.
Popyt i podaż punktów pośrednich:
a) jeżeli mają nadwyżkową podaż, wówczas
, a popyt
, np. punkt F4:
oraz
b) jeżeli zgłaszają zapotrzebowanie (nadwyżka popytu, znak „minus”), wówczas popyt
a podaż
, np. punkt F6:
oraz
W puste miejsca wpisujemy dostatecznie dużą liczbę M (połączenia nie istnieją). Koszty przewozu
między tymi samymi węzłami wynoszą zero (tj. przewozy fikcyjne).
Rozwiązanie:
F2
F1
10
F2
2
F4
F5
F6
F7
F3
F4
3
Koszt przewozu = 90 jednostek.
F5
F6
F7
F8
7
6
6
8
5
1
12
4
8
Zadanie 1
Dwa zakłady o zdolnościach produkcyjnych po 50 ton produkują wyroby walcowe i dostarczają je do
dwóch hurtowni: H1 o pojemności 60 ton i H2 o pojemności 60 ton. Popyt odbiorców końcowych
wynosi 45 i 40 ton i jest w całości zaspokajany przez hurtownie. Koszty transportu podają tabele.
Ustalić optymalny plan przewozów, zakładając, że:
a) Zakłady produkują tyle, ile żądają odbiorcy;
b) Zakłady produkują tyle, ile wynoszą ich zdolności produkcyjne, a nadwyżka pozostaje w
magazynach hurtowni. Jednostkowe koszty magazynowania wynoszą 1 zł i 2 zł.
50
50
60
60
Z1
Z2
60
H1
7
4
60
H2
3
6
H1
H2
45
O1
6
3
40
O2
10
12
Zadanie 2
Dwa zakłady produkują jednorodny towar i dostarczają go do trzech odbiorców z wykorzystaniem
dwóch punktów pośrednich (magazynów). Bezpośredni transport z zakładów do odbiorców jest
niemożliwy. Koszty transportu w zł za tonę podają tabele:
M1
18
10
Z1
Z2
M1
M2
O1
8
6
M2
13
8
O2
12
5
O3
10
14
Moce produkcyjne zakładów wynoszą 50 i 50 ton, popyt odbiorców 25, 40 i 25 ton, zaś pojemność
magazynów 40 i 70 ton. Zakłady wykorzystują w pełni swoje moce produkcyjne, zaś nadmiar podaży
jest składowany w magazynach. Wiedząc, że koszty magazynowania wynoszą 23 i 30 zł za tonę, ustal
plan przewozów minimalizujący łączne koszty. Ile wynoszą całkowite koszty transportu z zakładów do
magazynów, ile z magazynów do odbiorców, a ile koszty magazynowania?
Zadanie 3
Towar przewożony jest z dwóch zakładów (podaż 30, 40) do trzech sklepów (popyt: 22, 15, 17) za
pośrednictwem dwóch hurtowni (pojemność: 27, 55). Jednostkowe koszty transportu podają tabele:
H1
3
2
Z1
Z2
H1
H2
S1
2
1
H2
4
7
S2
3
6
S3
9
5
a) Wyznacz rozwiązanie minimalizujące łączne koszty przy założeniu, że zakłady produkują
dokładnie tyle towaru, ile żądają odbiorcy i nic nie może zostać w hurtowniach.
b) Dla optymalnego rozwiązania wyznacz koszt transportu z zakładów do hurtowni, koszt
transportu z hurtowni do sklepów i koszt całkowity.
Zadanie 4
Z trzech zakładów: Z1, Z2 i Z3 (podaż: 10, 10, 40) rozwożony jest towar do dwóch sklepów: O1 i O2
(popyt 30 i 30). Towar może być rozwożony do sklepów bezpośrednio lub przez punkty pośrednie P1 i
P2. Koszty przewozu na poszczególnych trasach widoczne są na rysunku.
a) Zapisz zadanie w formie tablicy transportowej.
b) Wyznacz plan przewozów minimalizujący koszt.