Wyznacznik Rozwini¦cie Laplace`a

Wyznacznik
Def. 1.
macierzy
Wyznacznikiem
macierzy kwadratowej nazywamy funkcj¦, która ka»dej
A = (aij ) przyporz¡dkowuje liczb¦ det A zgodnie z nast¦puj¡cym sche-
matem indukcyjnym:
1. Dla macierzy
A = (a11 )
stopnia 1:
det A := a11 ,
2. Dla macierzy stopnia
n ≥ 2:
det A :=
n
X
(−1)1+j a1j det A1j ,
j=1
gdzie
Aij
wiersza i
Wyra»enie
oznacza macierz powstaª¡ z macierzy
j -tej
A
przez skre±lenie
i-tego
kolumny.
(−1)i+j det Aij
nazywamy
dopeªnieniem algebraicznym
wyrazu
|aij | := det(aij ).
a11 a12 Wn. 1 (Wyznacznik macierzy stopnia 2:).
a21 a22 = a11 a22 − a12 a21
a11 a12 a13 a22 a23 = a11 a22 a33 +a12 a23 a31 +a13 a21 a32 −
Wn. 2 (Wzór Sarrusa:). a21
a31 a32 a33 (a13 a22 a31 + a12 a21 a33 + a11 a23 a32 )
aij .
Stosujemy równie» oznaczenie
Uwaga
1. Wzór Sarrusa stosujemy tylko i wyª¡cznie do macierzy stopnia 3!!!
Rozwini¦cie Laplace'a
Wyznacznik macierzy A = (aij ) jest równy rozwini¦ciu wzgl¦dem dowolnego wiersza lub dowolnej kolumny:
Twierdzenie 1.
• det A :=
n
X
(−1)k+j akj det Akj
j=1
(rozwini¦cie wzgl¦dem
• det A :=
n
X
k -tego wiersza)
(−1)i+k aik det Aik
i=1
(rozwini¦cie wzgl¦dem
k -tej kolumny)
1
Wªasno±ci wyznacznika
1.
det A = det AT .
2.
det In = 1.(macierz jednostkowa dowolnego stopnia ma wyznacznik równy
1)
3. Wyznacznik macierzy tró jk¡tnej jest równy iloczynowi wyrazów gªównej
przek¡tnej.
4. Je±li w macierzy zamienimy miejscami dwa wiersze (dwie kolumny), to
wyznacznik zmieni znak na przeciwny.
A posiada dwa jednakowe wiersze (kolumny), to det A = 0.
w1 .. . wk−1 = a det wk (z dowolnego wiersza (kolumny) mo»na wyci¡gn¡¢
wk+1 . .. wn 5. Je±li macierz
6.
det w1
.
.
.
wk−1
awk
wk+1
.
.
.
wn
staª¡ przed wyznacznik).
7.
w1
.
.
.
wk−1
det wk + wk0
wk+1
.
.
.
wn
w1
..
.
wk−1
= det wk
wk+1
.
..
wn
w1
..
.
wk−1
+ det w0
k
wk+1
.
..
wn
i analogicznie dla kolumn.
8. Je»eli macierz
A
ma zerowy wiersz (kolumn¦), to
det A = 0.
9. Je»eli do dowolnego wiersza (kolumny) macierzy dodamy dowoln¡ kombinacj¦ liniow¡ pozostaªych, to wyznacznik nie zmieni si¦.
Uwaga
2. Wªasno±ci 6., 9. pozwala j¡ zastosowa¢ metod¦ Gaussa do szybkiego
obliczania wyznaczników dowolnego stopnia. Po wyzerowaniu wszystkich poza
jednym wyrazów wiersza (kolumny) rozwini¦cie Laplace'a obni»a o jeden stopie«
wyznacznika.
Twierdzenie 2 (Cauchy'ego).
det A · B = det A · det B.
2
Def.
2.
Minorem stopnia
A
macierzy powstaªej z
Twierdzenie 3.
k
macierzy
przez skre±lenie
Am×n nazywamy wyznacznik dowolnej
m − k wierszy i n − k kolumn.
Rz¡d macierz jest równy najwy»szemu stopniowi jej nieze-
rowego minora.
Wn. 3.
Rz¡d macierzy kwadratowej
Def. 3. Macierz kwadratow¡
A
A stopnia n jest równy n ⇔ det A 6= 0.
nieosobliw¡
nazywamy
⇔ det A 6= 0.
Algorytm wyznaczania macierzy odwrotnej
Dowolna macierz nieosobliwa
Twierdzenie 4.
A = (aij ) ma macierz odwrotn¡
A−1 = (bij ). Jej wyrazy wyznaczamy ze wzoru:
bij =
(gdzie
(−1)i+j det Aji
det A
(−1)i+j det Aji jest dopeªnieniem algebraicznym wyrazu aji ).
Algorytm wyznaczania macierzy odwrotnej:
1. Obliczamy
det A. A−1
2. Wyznaczamy
wyznaczamy tylko w przypadku
macierz dopeªnie« algebraicznych
3. Transponujemy macierz
D.
Macierz
Ad := DT
det A 6= 0.
D := ((−1)i+j det Aij ).
nazywa si¦
macierz¡ doª¡c-
zon¡.
4.
A−1 =
1
det A
· Ad .
 m równa« liniowych z n
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn



 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn
Ukªad
.
.
.




niewiadomymi
=
=
b1
b2
.
.
.
.
.
.

Macierz ukªadu:
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm

a11 a12 ...
 a21 a22 ...

Macierz uzupeªniona: U := 
.
.
.
.
.
 ..
.
.
am1 am2 ...
a1n
a2n
.
.
.
amn
a11
 a21

A :=  .
 ..
am1

b1
b2 


.
.
| . 
| bm
|
|
Macierzowy zapis ukªadu
gdzie
A
jest macierz¡ ukªadu,
AX = B

x1
 x2

X =  .
 ..
xn


b1

 b2 



, B =  .. 

 . 
bm
wektorami niewiadomych i wyrazów wolnych.
3

s¡ odpowiednio
a12
a22
.
.
.
am2
...
...
.
.
.
...

a1n
a2n 


.
.

.
amn
Przykªady:




1.
2.
1. Rozwi¡za¢ ukªady równa«:
x1
−2x1
−x2
+x2
−x2
+x2
+x3
+x3
+3x3



−3x1
+3x3


−1
2
1
x1
 2 −1 −1   x2
4
1 −1
x3
−x4
= 1
= 1
−2x4 = 3
−x4 = 3
 

1
= 1 
4
Twierdzenie 5 (Kroneckera-Capellego). Niech A, U b¦d¡ odpowiednio macierz¡
i macierz¡ uzupeªnion¡ ukªadu równa« liniowych z n niewiadomymi. Ukªad ten
ma rozwi¡zanie wtedy i tylko wtedy, gdy rA = rU . Je±li rA = rU = n, to
ukªad ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie. Je±li rA = rU = k < n, to ukªad ma
niesko«czenie wiele rozwi¡za« zale»nych od n − k parametrów.
Uwaga
3 (Ogólna posta¢ rozwi¡zania:).
X = X0 +
n−k
X
ti Xi .
i=1
Je±li
rA 6= rU , to ukªad nie ma rozwi¡zania.
Taki ukªad nazywamy
sprzecznym.
Ukªady jednorodne
Def. 4. Ukªad równa«
AX = B nazywamy jednorodnym gdy wektor B wyrazów
wolnych jest wektorem zerowym.
Wn. 4.
Ukªad jednorodny zawsze ma rozwi¡zanie. Ma ono posta¢:
X=
n−k
X
ti Xi .
i=1
Uwaga
4. Rozwi¡zanie ukªadu niejednorodnego dosta jemy dodaj¡c do dowol-
nego wektora
X0
speªniaj¡cego ukªad rozwi¡zanie ukªadu jednorodnego.
Ukªady Cramera
Def.
5.
Ukªadem Cramera
nazywamy ukªad
n
równa« z
n
niewiadomymi,
którego macierz jest nieosobliwa.
Twierdzenie 6 (Cramera).
Ukªad Cramera ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie.
Jest ono okre±lone wzorem:
xj =
gdzie dla
A ukªadu
det Aj
,
det A
j ∈ {1, ..., n}, Aj oznacza macierz powstaª¡ po zamianie w macierzy
j -tej kolumny, kolumn¡ wyrazów wolnych B .
4
Uwaga
5.
X = A−1 B
Ukªad Cramera
AX = B
mo»na równie» rozwi¡za¢ wyznacza j¡c
z równania macierzowego. Na jszybsza jest jednak metoda Gaussa!

 x1
x1

x1
−x3
+x3
+x3
+x2
−x2
+x2
= 0
= 2
= 4
Algorytm odwracania macierzy oparty na eliminacji Gaussa:
1. Obok macierzy
A
piszemy macierz jednostkow¡ tego samego stopnia,
2. Za pomoc¡ operacji na wierszach tak zbudowanej (podwójnej) macierzy
sprowadzamy
A
do postaci jednostkowej,
3. Wyj±ciowa macierz jednostkowa zosta je przeksztaªcona w
5
A−1 .