analiza statyczna belek żelbetowych metodą sztywnych elementów

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE
43, s. 211-218, Gliwice 2012
ISSN 1896-771X
ANALIZA STATYCZNA BELEK ŻELBETOWYCH
METODĄ SZTYWNYCH ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH
MICHAŁ MUSIAŁ
Katedra Konstrukcji Betonowych, Politechnika Wrocławska
e-mail: [email protected]
Streszczenie. W pracy opisano metodę obliczania ugięć belek żelbetowych
z uwzględnieniem dyskretnego modelu rysy. Prezentowane podejście opiera się
na metodzie sztywnych elementów skończonych. Wyprowadzono zależności,
pozwalające obliczyć sztywność więzi obrotowej (rotacyjnej) elementów
skończonych wmiejscu pojawienia się rysy. Wyniki analiz numerycznych,
przeprowadzonych własnym programem obliczeniowym, porównano z wynikami
eksperymentu.
1. WSTĘP
Znamiennym zjawiskiem, dotyczącym zginanych belek żelbetowych,jest zarysowanie.
Rysy prostopadłe do osi elementu powstają, gdy naprężenia przekroczą wytrzymałość betonu
na rozciąganie. Dla elementu zginanego można określić tzw. moment rysujący Mcr, którego
przekroczenie wiąże się z pojawieniem rys. Należy zaznaczyć, że większość zginanych
konstrukcji żelbetowych pracuje w stanie zarysowania (zwykle moment rysujący jest nawet
kilkakrotnie mniejszy niż nośność elementu). Są to jednak rysy o niewielkiej rozwartości.
Wytyczne normowe nakazują ograniczać je na etapie projektowania do 0,1 –0,3 mm.
Zjawisko występowania rys wiąże się z degradacją sztywności elementu. Wpływa zatem
na uogólnione przemieszczenia oraz redystrybucję sił wewnętrznych w ustrojach
hiperstatycznych. W związku z tym obliczanie konstrukcji żelbetowych wymaga
specjalistycznego podejścia, uwzględniającego interakcję dwóch materiałów (betonu i stali)
oraz zarysowanie. Zagadnieniami tymi zajmowało się wielu badaczy w Polsce [4] oraz
zagranicą [2]. Można przytoczyć prace, które opisują zjawisko za pomocą sztywności
zmiennej liniowo bądź nieliniowo po długości elementu [2, 6]. Istnieją teorie stosujące
sztywność stałą odcinkami [10]. Mniej popularny jest natomiast opis zjawiska za pomocą
rachunku dystrybucyjnego [1].
W niniejszym artykule zaprezentowano własne podejście do problemu obliczania ugięć
belek żelbetowych. Opiera się ono na metodzie sztywnych elementów skończonych [5], która
mimo swojej popularności w dziedzinie mechaniki maszyn [3, 8] nie znalazła szerokiego
zastosowania w analizie konstrukcji budowlanych. W pracy zastosowano wariant
prezentowany przez J. Langera [7] dla konstrukcji jednorodnych. Zaproponowano sposób
budowy macierzy transformacji współrzędnych uogólnionych na dyslokacje względne
elementów, dający się łatwo zautomatyzować w obliczeniach numerycznych. Ponadto
wyprowadzono zależności na sztywność więzi obrotowych w miejscu pojawienia się rys.
212
M. MUSIAŁ
2.MODEL KONSTRUKCJI JEDNORODNEJ
W metodzie sztywnych elementów skończonych modelem konstrukcji prętowej są sztywne
tarcze masowe połączone więziami sprężystymi. Każdej z tarcz odpowiadają trzy
współrzędne uogólnione (dwie przemieszczeniowe/translacyjne i jedna obrotowa/rotacyjna).
Cechy sprężyste ustroju reprezentowane są przez więzi łączące tarcze. Podobnie jak
w przypadku współrzędnych uogólnionych są dwie więzi przemieszczeniowe (translacyjne)
i jedna obrotowa (rotacyjna). W przypadku zagadnienia zginania statycznego zadanie
ogranicza się,nie uwzględnia się bowiem sił bezwładności oraz współrzędnych uogólnionych
i więzi sprężystych związanych z odkształcalnością osiową. Równanie statyki w metodzie
sztywnych elementów skończonych jest zatem postaci:
Kq  P ,
(1)
gdzie: K – macierz sztywności, q – wektor współrzędnych uogólnionych, P – wektor
obciążenia.
Na rys. 1 pokazano przykładowy model konstrukcji bez warunków brzegowych. Pręt
podzielono na cztery elementy skończone o długości le. Przez qi oznaczono współrzędne
uogólnione, odpowiadające poszczególnym masom skupionym. Masy są połączone więziami
sprężystymi o sztywności obrotowejk oraz przemieszczeniowejk.
Rys. 1. Schemat i model numeryczny pręta jednorodnego
Sztywności poszczególnych więzi można obliczyć, porównując energię potencjalną elementu
sztywnego i elementu sprężystego. Modele elementów pokazano na rys. 2 [7].
Rys. 2. Modele elementarne do wyprowadzenia sztywności więzi [7]
ANALIZA STATYCZNA BELEK ŻELBETOWYCH METODĄ SZTYWNYCH ELEMENTÓW…
213
Przez r oraz r oznaczono wzajemne przemieszczenia sąsiednich elementów. W zależności
od nich podano wzory na ugięcie elementu w (funkcje kształtu). Tok postępowania przy
wyprowadzaniu zależności na sztywności więzi pokazano za [7] równaniami (2) i (3).
l
1
1
1  12 EI 
12 EI
(2)
E p  k r2   EI ( w' ' ) 2 dx   3 r2  k  3 ,
2
20
2  le 
le
l
1
1
E p  k r2   EI ( w' ' ) 2 dx 
2
20
gdzie:EI – sztywność giętna elementu.
1  EI  2
EI
 r  k 
,
2  le 
le
(3)
Sztywności poszczególnych więzi należy zgrupować w macierz diagonalną {k}. Macierz ta
dla pręta, jak na rys. 1, ma postać:
{k}  diag{k , k  , k , k  , k , k  , k , k  } .
(4)
Energia potencjalna odkształcenia ustroju wyraża się wzorem:
1
E p  r T {k}r ,
2
gdzie: r – wektor dyslokacji względnych.
(5)
Wektor współrzędnych uogólnionych q można transformować na wektor r wg zależności:
r  Ak q ,
(6)
gdzie: Ak – macierz transformacji.
Na podstawie zależności (5) oraz (6) można zapisać wzór na energię potencjalną całego
ustroju w postaci:
1
1
T
E p  qT A k {k}A k q  qT Kq .
2
2
(7)
Macierz sztywności całego ustroju K ma zatem postać:
T
K  A k {k}A k .
(8)
Proces tworzenia macierzy transformacji Akw realizacji numerycznej można
zautomatyzować. Wiedząc, że transformacja współrzędnych uogólnionych na dyslokacje
względne dla pojedynczego elementu wyraża się wzorem:
 q1 
q    1
r 
 2
r   A kU   q    le

3
 
   2
q
 4
0
1
le
1
2
 q1 
0  q 
 2,
1   q3 
  
q4 
(9)
214
M. MUSIAŁ
łatwo jest zbudować macierz transformacji Ak o strukturze pasmowej dla całego ustroju
belkowego. Dla schematu, jak na rys. 1, jest ona postaci:
(10)
W celu realizacji numerycznych można zapisać wyrażenie ogólne na niezerowe wartości itego wiersza, j-tej kolumny macierzy transformacji Ak o wymiarach 2nel×nq (nel – liczba
elementów skończonych, nq – liczba współrzędnych uogólnionych):
Ak ,ij
1, gdy j  i dla i  1, 2,...,2nel
 1, gdy j  i  2 dla i  1, 2,..., 2n
el

 le
.
  , j  i  1 dla i  2, 4,..., 2n
el
2

 le
 , j  i  1 dla i  2, 4,..., 2nel
 2
(11)
W prezentowanym podejściu warunki brzegowe wprowadzane są przez usunięcie
odpowiednich wierszy lub kolumn z macierzy transformacji Ak oraz wektora współrzędnych
uogólnionych q. Numery wierszy i kolumn odpowiadają numerowi współrzędnej
uogólnionej, w której miejscu wprowadza się więź (obrotowąi/lub przemieszczeniową).
Proces dekompozycji macierzy dla pręta, jak na rys. 1, przedstawiono schematycznie poniżej
(12). Zadano podparcie przegubowe na obu końcach.
(12)
3.MODEL BELKI Z RYSAMI
3.1.Podstawy teoretyczne metody
Prezentowana metoda sztywnych elementów skończonych pozwala uwzględnić zarysowanie
elementu żelbetowego w sposób dyskretny. Jak pokazano w punkcie 2., jednym z elementów,
prowadzących do rozwiązania, jest sformułowanie macierzy diagonalnej {k} wg (4).
W macierzy na diagonali zgrupowane są sztywności więzi, łączących tarcze masowe.
Odpowiedni podział na elementy skończone (taki, aby rysa znajdowała się w połowie
odległości między tarczami masowymi) umożliwia wprowadzenie efektu zarysowania do
obliczeń poprzez redukcję sztywności więzi obrotowej w miejscu pojawienia się rysy.
Schemat oraz model numeryczny pręta żelbetowego z rysami pokazano na rys. 3.
ANALIZA STATYCZNA BELEK ŻELBETOWYCH METODĄ SZTYWNYCH ELEMENTÓW…
215
Wprowadzono następujące oznaczenia: lei , lej ,..., lem – długości elementów i, j,…, m;
ki , kj ,..., km – sztywności więzi przemieszczeniowych elementów i, j,…, m, obliczone na
podstawie sprowadzonej sztywności giętnej elementu niezarysowanego (w I fazie pracy) –
EII; kj , km – sztywności więzi obrotowych elementów j, m, obliczone na podstawie
sprowadzonej sztywności giętnej elementu niezarysowanego (w I fazie pracy) – EII;
kcr i , kcr k , kcr l – sztywności więzi obrotowych elementów i, k, l z uwzględnieniem rysy.
Rys. 3. Schemat i model numeryczny zarysowanego pręta żelbetowego
Odstępy między rysami są różne. Skutkuje to tym, że elementy skończone są różnej
długości. W praktyce propagacji rys w konstrukcjach żelbetowych towarzyszy pewna
regularność i pojawiają się one w podobnych rozstawach. W dalszych rozważaniach przyjęto
uśredniony rozstaw rysy dla całej belki. Pozwala to znacznie uprościć obliczenia. Elementy
skończone mają wtedy stałą długość le.
Parametrem pozostającym do określenia jest sztywność obrotowa elementu z rysą. Jeżeli
przyjąć, że podatność obrotowa elementu z rysą jest sumą podatności, jaka wynika
z odkształcalności giętnej oraz z faktu wystąpienia rysy, to można napisać:
dcr i  di  dcri ,
cr i
gdzie: d
(13)
i
– podatność obrotowai-tego elementu z rysą, d – podatność obrotowai-tego
elementu w fazie I (bez rysy), d cri – podatność obrotowa, wynikająca z rysy w i-tym
elemencie.
Odwrotnością sztywności jest podatność, a zatem:
 
1
di  ki
.
(14)
gdzie: ki – sztywność więzi obrotowej w i-tym elemencie, obliczona z zależności (5.1), dla
sprowadzonej sztywności giętnej w fazie I – EII.
Dla znanej podatności, wynikającej z faktu wystąpienia rysy, można zapisać zależność na
sztywność więzi obrotowej elementu, pracującego w fazie II (z rysą):
kcr i 
k 
1
i 1

 d cri
.
(15)
Obliczona na podstawie zależności (15) sztywność obrotowa może być elementem macierzy
diagonalnej {k}, zawierającym wpływ wystąpienia rysy.
216
M. MUSIAŁ
3.2.Podatność obrotowa wynikająca z rysy
Podatność obrotową rysy określono na podstawie elementarnych zależności
geometrycznych oraz wytrzymałości materiałów. Rozpatrzono schemat jak na rys. 4.
Oznaczenia:
d – wysokość użyteczna przekroju
srm – średni rozstaw rys
wk – rozwartość rysy
xII – wysokość strefy ściskanej po zarysowaniu
– kąt rozwarcia rysy
Rys. 4. Schemat do obliczenia podatności obrotowej rysy
Siły działające w przekroju przez rysę (A-A), dla trójkątnego rozkładu naprężeń w betonie,
pokazano na rys. 5.
Oznaczenia:
As1 – pole przekroju zbrojenia
b– szerokość przekroju belki
Fc – siła w betonie, Fs – siła w stali
M – moment zginający
c – naprężenia w betonie
s – naprężenia w stali w przekroju przez rysę
Rys. 5. Siły w przekroju przez rysę
Na podstawie rys. 5 zapisano równanie równowagi momentów względem punktu P:
1

x 
x 
x 



M  Fs   d  II    s  As1   d  II    s  M   As1   d  II  .
3 
3 
3 




(16)
Wzór na średnią rozwartość rys ma postać:
wk   sm   cm   srm   sm  srm 
 sm
Es
 srm ,
(17)
gdzie:sm – średnie odkształcenie stali między rysami, cm – średnie odkształcenie betonu
między rysami, sm – średnie naprężenie w zbrojeniu między rysami, Es – moduł Younga
stali.
Średnie naprężenia w stali między rysami z naprężeniami w przekroju przez rysę wiąże
współczynnik z – według zależności (18).
M cr
,
(18)
M
gdzie: s – współczynnik, wynoszący odpowiednio:1,1 – przy obciążeniu krótkotrwałym,0,8 –
przy obciążeniu długotrwałym, Mcr – moment rysujący.
 z  1,3  s
Zależność na średnie naprężenie w stali ma zatem postać:
 sm   z   s .
(19)
ANALIZA STATYCZNA BELEK ŻELBETOWYCH METODĄ SZTYWNYCH ELEMENTÓW…
217
Na podstawie rys. 4 można zapisać wyrażenie na kąt rozwarcia rysy:
wk
.
(20)

d  x II
Zgodnie z wzorami (16) – (20) zapisano poniżej zależność na podatność obrotową,
wynikającą z rysy:
d cr 
 z  srm
x
Es  As1  (d  II )  (d  x II )
3
.
(21)
4. WERYFIKACJA DOŚWIADCZALNA METODY
W doświadczeniu przebadano trzy serie belek (rys. 6). Strzałkę ugięcia rejestrowano
czujnikami indukcyjnymi. Po każdym kroku obciążenia inwentaryzowano makroskopowo
rysy w elemencie. Szerszy opis metodologii badań oraz właściwości materiałów (betonu
i stali) podano w [9].
Na wykresach poniżej (rys. 7) zestawiono wyniki pomiarów i analiz numerycznych.
Obliczenia przeprowadzono własnym programem numerycznym [11] dla każdego z kroków
obciążenia.
Rys. 6. Stanowisko badawcze (a) i przekroje badanych belek (b) – wymiary w mm
b)
30
25
25
20
20
M [kNm]
30
15
10
pomiar
MSES
__
Serie4
9 B-I-3
10 11
Serie6
5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
ugięcie [mm]
8
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
ugięcie [mm]
8
pomiar
MSES
__
Serie4
9 B-III-3
10 11
Serie6
60
50
M [kNm]
M [kNm]
a)
40
30
20
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
pomiar
MSES
__
Serie4
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19B-IV-3
20 21 22 23
ugięcie [mm]
Serie6
Rys. 7. Wyniki pomiarów i analiz numerycznych dla poszczególnych serii:
a) B-I, b) B-II, c) B-III
218
M. MUSIAŁ
5.PODSUMOWANIE
Uzyskano dużą zgodność wyników, szczególnie w zakresie do 50 % zaawansowania
obciążenia w przypadku belek słabo zbrojonych (serie B-I i B-II) oraz do 30 % w przypadku
belek silnie zbrojonych (seria B-III). Wyniki spoza tego zakresu charakteryzują się większymi
różnicami (około 30 %). Przeszacowania ugięć można upatrywać w tym, że w obliczeniach
uwzględniono każdą, makroskopowo zaobserwowaną w trakcie eksperymentu, rysę. Rysy
powstałe w wyższych krokach obciążenia (bliżej podpór) nie są tak głębokie jak te, które
powstały w początkowych krokach. W prezentowanym modelu numerycznym zakłada się
natomiast, że każda rysa sięga osi obojętnej belki.
Wyniki obliczeń potwierdziły zatem przydatność prezentowanej metody do obliczania
ugięć zarysowanych belek żelbetowych. Różnice między rezultatami eksperymentu
a analizami numerycznymi nie są znaczne. Tym bardziej, że w pracy [4] wykazano, że ugięcia
obliczone różnymi metodami mogą różnić się nawet o przeszło 50 %.
LITERATURA
1. Borcz A.: Teoria konstrukcji żelbetowych: wybrane zagadnienia. Cz. I. Wrocław: Wyd.
Pol. Wrocł., 1973.
2. Branson D. E.: Deformations of concrete structures. New York: McGraw-Hill Book
Company, 1977.
3. Gancarczyk T., Harlecki A.: Analiza drgań elementów rurowych parownikawywołanych
cyklicznymi uderzeniami. „Modelowanie Inżynierskie” 2008, nr 36, s. 79-86.
4. Kamiński M., Szechiński M., Ubysz A.: Teoretyczne i praktyczne podstawy obliczania
ugięć elementów żelbetowych. Wrocław: DWE, 1998.
5. Kruszewski J., Gawroński W., Wittbrodt E., Najbar F., Grabowski S.: Metoda sztywnych
elementów skończonych. Warszawa: Arkady, 1975.
6. Kuczyński W.: Konstrukcje betonowe : kontynualna teoria zginania żelbetu.Warszawa:
Wyd. Nauk. PWN, 1971.
7. Langer J.: Dynamika budowli. Wrocław: Wyd. Pol. Wrocł., 1980.
8. Lipiński K.: Sztywne elementy skończone w modelowaniu drgań wirującej belki
napędzanej silnikiem prądu stałego zasilanym z prostownika tyrystorowego.
„Modelowanie Inżynierskie” 2008, nr 36, s. 231-220.
9. Musiał M.: Drgania belek żelbetowych z uwzględnieniem dyskretnego modelu rysy.
Praca doktorska. Instytut Budownictwa Politechniki Wrocławskiej. Wrocław 2010.
10. Ryżynski A., Wołowicki W.: Propozycja obliczania ugięć belki żelbetowej
z uwzględnieniem niegładkości jej odkształconej. „Archiwum Inżynierii Lądowej” 1968,
z. 2, s. 329-347.
11. Wolfram S.: The mathematica book. Champaign: Wolfram Media and Cambridge
University Press, 1999.
STATIC ANALYSIS OF REINFORCED CONCRETE BEAMS
WITH RIGID FINITE ELEMENTS METHOD
Summary. In the paper the method of calculation of deflections of RC beams
with a consideration of discrete crack modelwas presented. Described attitude
appliedRFEM. The numerical resultswere compared with the experimental ones.