PFIII - Ohw F4

Podstawy Fizyki III – Drgania harmoniczne – oscylator wymuszony, fale.
Zestaw Nr 4
1.
Amplitudy wymuszonych drgań harmonicznych przy częstościach kołowych siły wymuszającej ω1 i ω2 są sobie
równe. Znaleźć częstość, przy której amplituda wychyleń jest maksymalna.
2.
Przy częstościach kołowych wymuszającej siły harmonicznej ω1 i ω2 największa prędkość cząstki jest równa
połowie wartości prędkości rezonansowej. Znaleźć: a) częstość rezonansową ω, b) współczynnik tłumienia β
i częstość drgań własnych cząstki ω0.
3.
Pewna krzywa opisuje rezonans mechaniczny układu drgającego z logarytmicznym dekrementem tłumienia λ=1.6.
Znaleźć dla tej krzywej stosunek amplitud przy częstości rezonansowej i przy bardzo małej częstości.
4.
Pod wpływem zewnętrznej pionowej siły F=F0cos(ωt) ciało zawieszone na sprężynie wykonuje stacjonarne
drgania wymuszone zgodne z równaniem x(t)=A·cos(ωt-α). Znaleźć pracę sił F w czasie jednego okresu.
Wykazać, że praca ta jest zużywana na pokonanie sił tarcia.
5.
Kulka o masie m=0.05 kg jest zawieszona na nieważkiej sprężynie o stałej sprężystości k=20 N/m. Pod wpływem
zewnętrznej pionowej siły harmonicznej o częstości ω=25 rad/s kulka wykonuje drgania stacjonarne o amplitudzie
A=1.3 cm. Przy tym wychylenie kulki jest przesunięte w fazie o kąt α= π/4 wobec siły zewnętrznej. Znaleźć:
logarytmiczny dekrement tłumienia drgań, b) pracę siły w ciągu jednego okresu.
6.
Kulka o masie m zawieszona na nieważkiej sprężynie może wykonywać pionowe drgania ze współczynnikiem
tłumienia β. Częstość drgań własnych wynosi ω0. Pod wpływem zewnętrznej siły zmieniającej się zgodnie z
równaniem F=F0cos(ωt), kulka wykonuje stacjonarne drgania harmoniczne. Znaleźć: a) średnia moc <P> związaną
z siłą F w ciągu jednego okresu, b) częstość siły F, przy której <P> jest maksymalna.
7.
Wagon kolejowy o ciężarze Q0=21582 N jest zawieszony na 4 resorach. Przy zwiększaniu obciążenia o Q1 = 9810
N resor ugina się o s=16 mm. Dla jakiej prędkości pociągu mogą wystąpić drgania rezonansowe pociągu pod
wpływem uderzeń kół o złącza szyn?. Długość szyn L=12.5 m.
8.
W jakim czasie dźwięk przebywa drogę L pomiędzy punktami A i B, jeśli temperatura powietrza pomiędzy tymi
punktami zmienia się liniowo od T1 do T2. Prędkość dźwięku w gazie jest dana wyrażeniem v = a T , gdzie a jest
stałą.
9.
W ośrodku jednorodnym rozchodzi się fala płaska postaci: y(x,t)=a·exp(-bx) ·cos(ωt-kx); gdzie a,b,ω i k są
stałymi. Znaleźć różnicę faz pomiędzy punktami, w których amplitudy drgań cząstek ośrodka różnią się o η=1.0%,
jeśli b=4.2·10-3 cm-1, a długość fali λ=0.5 m.
10. Drgające źródło wysyła sinusoidalną falę podłużną wzdłuż przymocowanej do niego sprężyny. Częstość drgań
sprężyny wynosi 25 Hz, a odległość między sąsiednimi rozrzedzeniami sprężyny wynosi 0.24 m. Napisać równanie
tej fali. Przyjąć, że maksymalne podłużne przemieszczenie cząstki sprężyny wynosi 3 cm., zaś fala biegnie w
ujemnym kierunku osi x. Przyjąć, że źródło leży w punkcie x=0 i a przemieszczenie w p0unkcie x=0 w chwili t=0
jest równe zero. Ile wynosi prędkość fali?.
Odpowiedzi:
(ω
)
1.
ω REZ =
2.
ω = ω1 ⋅ ω 2 ; β = (ω 2 − ω1 )/2 3 ; ω 0 = ω1 ⋅ ω 2 − 2(ω 2 − ω1 ) / 12 .
3.
η = π / λ + λ / 4π .
4.
W = π ⋅ a ⋅ F0 ⋅ sinα .
5.
λ = 2π
6.
< P >=
7.
v=
+ ω1 2 / 2 = 5.1 ⋅ 10 2 rad/s.
2
1
(2ωω
0
β ⋅ F0 2
L
π
m
/(ω 0 2 − ω 2 ) tg α
(ω
)
2
− 1 = 1.45 ;
ω2
2
0
−ω2
)
2
g ⋅ Q1
= 240 km/h.
s ⋅ Q0
8
t = 2 L / α ( T1 + T2 ) .
9
∆ϕ = −
2π 
η 
ln1 −
.
bλ  100 
+ 4β 2ω 2
;
W = π ⋅ m ⋅ a 2 ω 2 − ω 0 2 tg α = 6 ⋅ 10 −3 J .
ω = ω0 ;
< PMAX > =
F0 2
.
4mβ