LABORATORIUM DYNAMIKI MASZYN Modelowanie dynamiczne

LABORATORIUM DYNAMIKI MASZYN
Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania
Kierunek: Mechanika i Budowa Maszyn
Zakład Wibroakustyki i Bio-Dynamiki Systemów
Ćwiczenie nr 1
Modelowanie dynamiczne układów mechanicznych
Cel ćwiczenia:
Celem ćwiczenia jest identyfikacja zadanego układu mechanicznego na podstawie wiedzy o
jego strukturze i funkcjonowaniu, którą uzyskuje się w procesie modelowania dynamicznego,
eksperymentu, estymacji i weryfikacji modelu.
Wyposażenie stanowiska:
1. Model układu dynamicznego – bryła sztywna z więzami sprężysto-dyssypatywnymi i więzami
typu podpora przegubowa stała.
2. Przetwornik drgań.
3. Układy rejestracji i analizy sygnału drganiowego.
Literatura:
1. J. Leyko, Mechanika ogólna, tom II, PWN Warszawa.
2. J. Misiak, Mechanika ogólna, tom II Dynamika, WNT Warszawa.
3. C. Cempel, Drgania mechaniczne. Wprowadzenie, Wydawnictwo PP, Poznań.
4. Z. Osiński, Teoria drgań, PWN Warszawa.
Zagadnienia kontrolne:
1. Metody budowania różniczkowych równań ruchu.
2. Drgania swobodne układu mechanicznego o jednym stopniu swobody.
3. Drgania wymuszone układu mechanicznego o jednym stopniu swobody.
4. Wpływ tłumienia na drgania swobodne układu o jednym stopniu swobody.
Przebieg ćwiczenia:
Badany układ mechaniczny, przedstawiony
na rysunku 1, stanowi sztywny pręt o masie mb z
dodatkowymi masami m1 i m2 umieszczonymi
na pręcie odpowiednio w odległościach l1 i l2 od
punktu A podparty przegubowo w punkcie A
(podpora
przegubowo
nieruchoma)
i
podwieszony sprężyście w punkcie B (x = l3).
Należy zmierzyć wszystkie odległości.
c
A
k
B
m1
y
m2
x
ϕ
l1
l3
l2
l
Rys. 1. Model fizyczny badanego układu dynamicznego.
2
&&
&
Zakładając liniowość własności sprężysto–dyssypatywnych J ϕ = − l 3 (c ϕ + k ϕ ),
sprężyny, dynamiczne równanie ruchu obrotowego układu wokół J = m l 2 + m l 2 + 1 m
1 1
2 2
b
3
położenia równowagi zapisać w postaci:
(1)
gdzie: J – moment bezwładności układu względem osi obrotu; m1, m2 masy ciężarków; mb –masa pręta; l1, l2-odległości
środków mas od osi obrotu; l3 – odległość mocowania sprężyny od osi obrotu.
Przyjmując wychylenie od położenia
równowagi miejsca mocowania sprężyny y = l3ϕ i m z = m1  l1
l
jako y określić masę układu zredukowaną
 3
do tego punktu mz:
2

l
 + m 2  2

 l3
2

 l
1
 + m b 
3  l3




2
(2)
&y& + 2ξω 0 y& + ω 02 y = 0,
Równanie ruchu układu (1) przyjmie postać:
Dla warunków początkowych y t = 0 = y 0 , y& t = 0 = 0, i małych
wychyleń układu rozwiązanie równania (3) ma postać:
Tr
0.8
y max [(n+1)Tr]
0.4
y / y0
(
y = y 0 e − ξω 0 t cos ω 0 1 − ξ 2 t
(3)
)
(4)
Przykładowy
przebieg
drgań
swobodnych układu w czasie pokazano na
rysunku 2. Znając zarejestrowany przebieg
przemieszczeń drgań obiektu rzeczywistego
możemy określić dwie wielkości fizyczne
charakterystyczne dla drgań swobodnych
układu o jednym stopniu swobody
od
jego
parametrów
zależnych
dynamicznych:
1.2
y max (nTr)
c
k
= 2ξω 0 ,
= ω 02 .
mz
mz
0
-0.4
-0.8
- okres drgań tłumionych Tr:
-1.2
0
1
2
3
4
5
Tr =
bezwymiarowy czas t / Tr
2πm z
2π 2π
1
=
=
,
2
ω r ω0 1 − ξ
4km z − c 2
(5)
Rys. 2. Przebieg drgań swobodnych układu w funkcji czasu.
- logarytmiczny dekrement tłumienia ∆:
 y max (nTr ) 
πc
,
∆ = ln 
=
2
[
(
)
]
y
n
+
1
T
4
km
−
c
r 
 max
z
(6)
Wielkości Tr i D wyznaczymy odczytując z przebiegu drgań zanikających kolejne wartości
maksymalnych przemieszczeń drgań i odpowiadające im czasy wystąpienia odpowiednio dla
dodatniej części y (j+ ) i t (j+ ) , j ∈ 1, n 1 jak i ujemnej części y i( −) i t i( −) , i ∈ 1, n 2 przebiegu czasowego
zgodnie z procedurą przedstawioną poniżej:
- wyznaczanie średniej wartości i T rj( + ) = t (j ++ 1) − t (j + ) ,
odchylenia
standardowego
1 n
okresu drgań zanikających Tr:
T r(śr+ ) =
∑ T rj( + ) ,
T ri( − ) = t (j +−1) − t (j − ) ,
1
n1
T r(śr− ) =
j =1
1
T r(śr+ ) + T r(śr− ) ,
2
1  1 n1
std (T r ) = 
∑ T rj( + ) − T r(śr+ )
2  n 1 j = 1
T r śr =
(
- wyznaczanie średniej wartości ∆ ( + ) = ln  y j  ,
j
 y (+ ) 
i odchylenia standardowego
 j +1 
logarytmicznego dekrementu
1 n
(+ )
∆
=
tłumienia ∆:
∑ ∆ ( j+ ) ,
śr
(+ )
∆ (śr− ) =
,
(7)
i =1
)
2
j =1
1
n2
1 (+ )
∆ śr + ∆ (śr− ) ,
2
1  1 n1
std (∆ ) =
∆ ( j+ ) − ∆ (śr+ )

∑
2  n 1 j = 1
(
(−)
ri
n2
∑
n2
1
n2
+
 y (−)
∆ (i− ) = ln  i( − )
 y i +1
1
∆ śr =
∑T
)
(
n1
n2
1
n2
∑ (T
(−)
ri
− T r(śr− )
)
2
i =1

.


 ,

(8)
∆ ( j− ) ,
i =1
)
(
)
2
+
1
n2
n2
∑ (∆
(−)
i
− ∆ (śr− )
i =1
m (π 2 + 4 ∆2śr )
,
Znając masę układu zredukowaną do punktu mocowania sprężyny k z = z
Tr2śr
mz, możemy wyznaczyć pozostałe dwa parametry dynamiczne badanego
2 m z ∆ śr
układu:
cz =
)
2

.

(9)
Tr śr
Powyższą procedurę powtarzamy dla każdego wariantu pomiarowego (wybranych mas m1 i m2
oraz położeń l1, l2 i l3).