Procedura wyznaczania niepewności pomiarowych

Procedura wyznaczania niepewności pomiarowych
I-20
Zakład Elektrostatyki i Elektrotermii
Dr inŜ. Dorota Nowak-Woźny
Procedura wyznaczania niepewności pomiarowych
Wstęp
KaŜdy pomiar lub obserwacja obarczona jest pewną niepewnością (zamiast poprzednio
stosowanego pojęcia błędu pomiaru). Za błąd pomiaru uwaŜa się wyraźne odstępstwo wyniku
pomiaru od wartości poprawnej (np. pomyłka odczytu). Błąd pomiaru naleŜy bezwzględnie
wyeliminować. Niepewność pomiaru jest związana z rozrzutem mierzonej wielkości.
Sprawozdanie powinno w sposób jasny i jednoznaczny przedstawiać wyniki pomiarów.
Zaleca się podawanie kaŜdego wyniku pomiaru xpom danej wielkości x razem z oszacowaną
niepewnością ∆x w postaci:
x =< x pom > ± ∆x .
Takie przedstawienie wyników eksperymentalnych zawiera informację w jakim przedziale wartości i z jakim prawdopodobieństwem zawiera się rzeczywista wartość mierzonej wielkości x.
Ze względu na sposób wyznaczania niepewności, niepewności pomiarowe dzieli się na
niepewność typu A i niepewność typu B. Niepewność typu A wyznacza się za pomocą metod
statystycznych, natomiast niepewność typu B za pomocą innych metod.
Rozpatrzmy niepewności pomiarowe dla pomiarów bezpośrednich i pośrednich. W pomiarach pośrednich wielkość mierzona jest funkcją wielkości mierzonych bezpośrednio.
Pomiary bezpośrednie
Niepewność typu A
Niepewność typu A ma charakter czysto przypadkowy. Do ich oceny stosuje się metody statystyczne dla serii "n" wyników. W szczególności określa się niepewność standardową ∆xst:
∆xst =
n
1
⋅ ∑ ( xi − x ) 2 ,
n(n − 1) i =1
gdzie x jest wartością średnią z serii n pomiarów:
x =
1 n
∑ ni .
n i =1
Przy określaniu niepewności standardowej pełnej ∆x naleŜy uwzględnić współczynnik rozszerzenia t:
∆x = t ⋅ ∆xst .
–1–
Procedura wyznaczania niepewności pomiarowych
I-20
Wartość współczynnika t odczytuje się z tablic rozkładu normalnego dla licznej próby
(n>30) lub rozkładu t-Studenta dla próby mało licznej.
Weźmy liczną próbę. Chcemy wyznaczyć przedział, w którym zawarta jest nieznana wartość rzeczywista mierzonej wielkości z prawdopodobieństwem 0,99. PoniewaŜ próba jest
liczna, dlatego odczytujemy wartość współczynnika rozszerzenia z tablicy rozkładu normalnego. Dla rozpatrywanego przypadku t = 2,6. Stąd
∆x = 2,6 ⋅ ∆xst
Gdy wykonujemy serię 10 pomiarów (próba mało liczna n = 10) wtedy naleŜy skorzystać z
rozkładu t-Studenta. Dla 10 pomiarów liczba stopni swobody równa jest n−1 czyli 9. Dla poziomu ufności 0,99 znajdujemy pole leŜące na przecięciu wiersza stopnia swobody równego 9
i kolumny poziomu ufności równego 0,99. Otrzymana wartość równa jest 3,25. Wartość ta
jest większa od wartości otrzymanej dla rozkładu normalnego co jest zrozumiałe jeśli wziąć
pod uwagę róŜnicę w liczności prób.
Tablica rozkładu normalnego
t
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
Φ(t)
0,0000
0,0398
0,0793
0,1179
0,1554
0,1915
0,2257
0,2508
0,2881
0,3159
0,3413
0,3643
0,3849
0,4032
0,4192
0,4332
0,4452
0,4554
0,4641
0,4713
0,4773
0,4821
0,4861
0,4893
0,4918
0,4938
0,4953
0,4965
0,4974
0,4981
0,4987
Poziom ufności
0,0000
0,0796
0,1586
0,2358
0,3108
0,3830
0,4514
0,5016
0,5762
0,6318
0,6826
0,7286
0,7698
0,8064
0,8384
0,8664
0,8904
0,9108
0,9282
0,9426
0,9546
0,9642
0,9722
0,9786
0,9836
0,9876
0,9906
0,9930
0,9948
0,9962
0,9974
–2–
Procedura wyznaczania niepewności pomiarowych
I-20
Tablica rozkładu t-Studenta
Stopnie swobody
n-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
0,99
63,66
9,92
5,84
4,60
4,03
3,71
3,50
3,35
3,25
3,17
3,11
3,05
3,01
2,98
2,95
2,92
2,9
2,88
2,86
2,84
2,83
2,82
2,81
2,80
2,79
2,78
2,77
2,76
2,76
2,75
Poziom ufności
0,95
0,90
12,71
6,31
4,30
2,92
3,18
2,35
2,78
2,13
2,57
2,01
2,45
1,94
2,36
1,89
2,31
1,86
2,26
1,83
2,23
1,81
2,20
1,80
2,18
1,78
2,16
1,77
2,14
1,76
2,13
1,75
2,12
1,75
2,11
1,74
2,10
1,73
2,09
1,73
2,09
1,72
2,08
1,72
2,07
1,72
2,07
1,71
2,06
1,71
2,06
1,71
2,06
1,71
2,05
1,70
2,05
1,70
2,04
1,70
2,04
1,70
0,98
31,82
6,96
4,54
3,75
3,36
3,14
3,00
2,90
2,82
2,76
2,72
2,68
2,65
2,62
2,60
2,58
2,57
2,55
2,54
2,53
2,52
2,51
2,50
2,49
2,48
2,48
2,47
2,47
2,46
2,46
0,80
3,08
1,89
1,64
1,53
1,48
1,44
1,41
1,40
1,38
1,37
1,36
1,36
1,35
1,34
1,34
1,34
1,33
1,33
1,33
1,32
1,32
1,32
1,32
1,32
1,32
1,3`
1,31
1,31
1,31
1,31
0,70
1,38
1,06
0,98
0,94
0,92
0,91
0,90
0,89
0,88
0,88
0,88
0,87
0,87
0,87
0,87
0,86
0,86
0,86
0,86
0,86
0,86
0,86
0,86
0,86
0,86
0,86
0,85
0,85
0,85
0,85
Wartość współczynnika rozszerzenia t odczytuje się z pól leŜących na przecięciu odpowiednich kolumn
poziomów ufności i liczby stopni swobody; np. dla poziomu ufności 0,99 i 19 stopni swobody (20 pomiarów) współczynnik t przyjmie wartość równą 2,86.
Niepewność typu B
Niepewność typu B spowodowana jest błędami systematycznymi. Źródłem tej niepewności
są błędy aparatury pomiarowej ∆xap. Wartość ich określa się wskaźnikiem klasy przyrządu.
∆xap =
klasa ⋅ zakres
100
–3–
Procedura wyznaczania niepewności pomiarowych
I-20
Przy załoŜeniu, Ŝe błędy aparatury mają charakter jednostajny, niepewność standardową
rozszerzoną wyraŜa się zaleŜnością:
∆x = k ⋅ ∆xst = k ⋅
∆xap
3
.
Wartość współczynnika rozszerzenia k określa się w zaleŜności od Ŝądanego poziomu ufno-
ści. Przyjmuje się wartości zamieszczone w tabeli.
k
Poziom ufności
1
0,68
2
0,95
3
0,99
Pomiary pośrednie.
Przy zastosowaniu pośrednich metod pomiarowych, wielkość mierzona "y" jest funkcją
"m" wielkości xi (i = 1,2,..m) mierzonych bezpośrednio:
y = f ( x1 , x2 ,.., xm ) .
Niepewność standardowa łączna jest splotem rozkładów o i-tych odchyleniach standardowych:
m
∆y =
∑ ∆y
i =1
2
i
,
gdzie ∆yi jest pochodną cząstkową danej funkcji y po zmiennej xi:
∆y i =
∂y
⋅ ∆xi .
∂xi
∆xi jest niepewnością standardową łączną wyznaczoną na odpowiednich poziomach ufności,
zgodnie z zaleceniami opisanymi w punkcie „pomiary bezpośrednie”.
Przykłady
1. Wyznaczenie rezystancji na podstawie pomiarów spadku napięcia i natęŜenia prądu płynącego w obwodzie.
Szacowanie niepewności przeprowadza się zgodnie z poniŜszą procedurą:
1. Opisać funkcją szukaną wielkość:
R=
U
.
I
–4–
Procedura wyznaczania niepewności pomiarowych
I-20
2. Oszacować niepewność wyznaczenia spadku napięcia:
• wyliczyć średnią z serii pomiarów (Uśr),
• oszacować niepewność standardową serii pomiarów,
• wyznaczyć pełną niepewność standardową dla Ŝądanego poziomu ufności (∆U).
3. Oszacować niepewność wyznaczenia natęŜenia prądu (∆I) – jak w punkcie 2.
4. Wyznaczyć ∆R metodą rózniczki zupełnej:
∆R =
∂R
∂R
∆U +
∆I ,
∂U
∂I
∂R
1
=
,
∂U I sr
∂R
U
= − sr2 ,
∂I
I sr
stąd
∆R =
∆U U sr
+ 2 ∆I .
I sr
I sr
lub ∆R/R metodą róŜniczki logarytmicznej:
– zlogarytmujmy obie strony równania:
U
ln R = ln( ) = ln U − ln I ,
I
– policzmy pochodną lewej i prawej strony tak logarytmowanego równania:
∆R ∆U ∆I
=
+
,
R
U sr I sr
– w ostatnim równaniu zamieniono znak "−" na znak "+" ze względu na to, Ŝe niepewno-
ści się dodają.
Po prostych przekształceniach moŜna zauwaŜyć, Ŝe ostatnie równanie jest matematycznie
równowaŜne równaniu otrzymanemu metodą róŜniczki zupełnej. RóŜnica tkwi jedynie w sposobie przedstawienia niepewności. W przypadku róŜniczki zupełnej mamy do czynienie z
niepewnością bezwzględną (∆R) natomiast w przypadku róŜniczki logarytmicznej z niepewnością względną (∆R/R). Sposób wyboru metody zaleŜy od wykonującego ćwiczenie lub od
wskazówek opiekuna dydaktycznego. Na ogół metodę róŜniczki logarytmicznej stosuje się w
przypadku gdy zaleŜność ma postać iloczynu lub ilorazu. Wtedy bowiem moŜna uprościć so–5–
Procedura wyznaczania niepewności pomiarowych
I-20
bie róŜniczkowanie korzystając z własności funkcji logarytmicznej, a mianowicie takiej, Ŝe
logarytm iloczynu (ilorazu) jest sumą (róŜnicą) poszczególnych składników. JeŜeli równanie
ma postać bardziej skomplikowaną, korzystanie z metody róŜniczki logarytmicznej jest trudniejsze od metody róŜniczki zupełnej.
Wyznaczenie sprawności urządzenia grzewczego
1. Określić zaleŜność sprawności w danym układzie:
m ⋅ c ⋅ ∆T
η=
τ
U ⋅I
,
gdzie τ jest czasem, w którym temperatura wody zmienia się o ∆T.
2. Oszacować niepewność wyznaczenia spadku napięcia ∆U:
• wyliczyć średnią z serii pomiarów (Uśr),
• oszacować niepewność standardową serii pomiarów,
• wyznaczyć pełną niepewność standardową dla Ŝądanego poziomu ufności (∆U).
3. Oszacować niepewność wyznaczenia natęŜenia prądu (∆I) – jak w punkcie 2.
4. Oszacować niepewność wyznaczenia masy wody (∆m) zgodnie z rozdziałem „Niepewność typu B”.
5. Oszacować niepewność wyznaczenia temperatury ∆(∆T) zgodnie z rozdziałem „Niepewność typu B”.
6. Oszacować niepewność wyznaczenia czasu (∆τ) grzania zgodnie z rozdziałem „Niepewność typu B”.
7. Odczytać niepewność wyznaczenia ciepła właściwego wody z tablic (∆c).
8. Wyznaczyć ∆η metodą róŜniczki zupełnej
∆η =
∂η
∂η
∂η
∂η
∂η
∂η
∆U +
∆I +
∆m +
∆c +
∆(∆T ) +
∆τ ,
∂U
∂I
∂m
∂c
∂∆T
∂τ
∂η
I ⋅ τ ⋅ m ⋅ c ⋅ ∆T
η
=−
=− ,
2
∂U
(U ⋅ I ⋅ τ )
U
∂η U ⋅ τ ⋅ m ⋅ c ⋅ ∆T
η
=
=− ,
2
∂I
(U ⋅ I ⋅ τ )
I
∂η I ⋅ U ⋅ m ⋅ c ⋅ ∆T
η
=
=− ,
2
∂τ
τ
(U ⋅ I ⋅ τ )
–6–
Procedura wyznaczania niepewności pomiarowych
I-20
∂η
c ⋅ ∆T
η
=
= ,
∂m U ⋅ I ⋅ τ m
∂η m ⋅ ∆T η
=
= ,
∂c U ⋅ I ⋅ τ c
∂η
m⋅c
η
=
=
.
∂∆T U ⋅ I ⋅ τ ∆T
Stąd otrzymujemy zaleŜność przedstawiającą niepewność bezwzględną wyznaczenia sprawności:
∆η =
η
U
∆U +
η
I
∆I +
η
m
∆m +
η
c
∆c +
η
∆T
∆(∆T ) +
η
∆τ ,
τ
lub niepewność względną:
∆η
η
=
∆U ∆I ∆m ∆c ∆(∆T ) ∆τ
+
+
+
+
+
.
U
I
m
c
∆T
τ
lub metodą róŜniczki logarytmicznej.
Taką samą zaleŜność, z pominięciem wielu Ŝmudnych obliczeń pochodnych cząstkowych, moŜna
otrzymać stosując metodę róŜniczki logarytmicznej. Stwierdzenie to jest prawdziwe wtedy i
tylko wtedy, gdy zaleŜność opisująca wyznaczaną wielkość jest postaci iloczynu lub ilorazu.
• zlogarytmujmy obie strony równania opisującego sprawność
lnη = ln U + ln I + ln τ − ln m − ln c − ln(∆T ) ,
• zróŜniczkujmy tę zaleŜność pamiętając, Ŝe niepewności zawsze się dodają
∆η
η
=
∆U ∆I ∆m ∆c ∆(∆T ) ∆τ
.
+
+
+
+
+
U
I
m
c
τ
∆T
ver 01/2010
–7–