ĆWICZENIA RACHUNKOWE Z FIZYKI Lista IV Wydział Inżynierii

ĆWICZENIA RACHUNKOWE Z FIZYKI
Wydział Inżynierii Środowiska/kierunek: IŚ
Lista IV
Kinematyka ruchu dwuwymiarowego
Physics makes you think
Na ćwiczeniach w pierwszej kolejności będą rozwiązywane zadania oznaczone gwiazdką. Pozostałe są przeznaczone do samodzielnego rozwiązywania przez studentów i będą, jeśli czas na to pozwoli, krótko omawiane na zajęciach. Prowadzący zajęcia wskazuje
studentów, którzy w ramach pracy domowej przygotowywują pisemne rozwiązania wybranych zadań z gwiazdką.
*1. Dwaj pływacy Donek i Olek skaczą jednocześnie do rzeki, w której woda płynie z prędkością v. Prędkość c (c > v)
każdego pływaka względem wody jest taka sama. Donek przepływa z prądem odległość L i zawraca do punktu startu.
Olek płynie prostopadle do brzegów rzeki (pomimo znoszącego go prądu) i oddala się na odległość L, po czym zawraca
do punktu startu. Który z nich wróci pierwszy?
*2. Euzebiusz Smolarek stojąc na skale w kształcie półkuli o promieniu R kopie poziomo piłkę z prędkością początkową v0 .
Jaka wartość prędkości początkowej zapewnia, że piłka nie uderzy w skałę? W jakiej odległości od skały upadnie wtedy
piłka? Wskazówka: W każdym punkcie (x, y) toru piłki warunek zadania jest spełniony, o ile x2 + y2 > R2 .
*3. Sterowiec porusza się na wysokości H = 2000 m w kierunku poziomym z prędkością u = 20 m/s. Ze sterowca wyrzucono
kulkę metalową, nadając jej poziomą prędkość początkową v = 5 m/s (względem sterowca) w chwili, gdy przelatywał
on nad wierzchołkiem masztu stacji radiowej stojącego na płaskim terenie. Jak daleko od masztu upadła kulka?
Jaki był czas ruchu kulki? Wyznaczyć wektor prędkości v1 , wysokość H, przyspieszenie całkowite a oraz składową
styczną as przyspieszenia kulki po czasie t = 3 s od momentu jej wyrzucenia ze sterowca. Opory powietrza zaniedbać.
Jak zależy promień krzywizny toru kulki od czasu? Przyjąć g = 10 m/s2 .
*4. Jacek Krzynówek wykonujący rzut wolny z punktu leżącego na wprost bramki, w odległości 50 m od niej, nadaje piłce
prędkość początkową o wartości 25 m/s. Wyznacz zakres kąta, pod jakim powinna zostać uderzona piłka, aby strzał
trafił do bramki. Poprzeczka bramki znajduje się na wysokości 3,44 m nad boiskiem.
*5. Strzelba jest wycelowana w cel wiszący na wysokości H. W tej samej chwili pada strzał i cel zaczyna swobodnie
spadać. Pokazać, że kula trafi w cel. W jakiej odległości od strzelby należy umieścić cel, aby kula weń nie trafiła?
*6. Ciało rzucił z prędkością początkową v0 pod kątem ϑ względem poziomu zawodnik stojący u podnóża wzniesienia
o kącie nachylenia ϕ < ϑ. Pokazać, że ciało przebędzie odległość d = 2v02 cos ϑ sin(ϑ − ϕ)/(g cos2 ϕ), mierzoną wzdłuż
wzniesienia.
7. Cząstka startuje z punktu, będącego początkiem układu współrzędnych, z prędkością początkową v = (3i) m/s i stałym przyspieszeniem a = (−1i − 0,5j) m/s2 . Wyznacz: (a) prędkość, (b) wektor położenia cząstki w chwili, gdy
współrzędna x cząstki jest największa.
8. Prędkość cząstki poruszającej się w płaszczyźnie xy wynosi v = (vx , vy ) = (D, Bx), gdzie x — odcięta wektora
położenia r = (x, y), a B i D — stałe współczynniki. Wyznaczyć parametryczne równania toru oraz równanie toru
cząstki, tj. zależność y(x).
9. Parametryczne równania ruchu ciała mają postać: x(t) = v0 t cos α, y(t) = v0 t sin α − 21 gt2 . Co to za ruch? Wyznaczyć:
(a) przyspieszenie styczne i normalne w dowolnej chwili t; (b) zależność krzywizny toru od czasu.
10. Położenie cząstki zależy od czasu jak r(t) = A cos(ωt)i + A sin(ωt)j, gdzie A i ω — stałe. Znaleźć: tor ruchu, prędkość,
szybkość i przyspieszenie. Pokazać, że a = −ω2 r = −v2 b
r/r (b
r oznacza wektor jednostkowy o kierunku wektora r).
11. Tarcza o promieniu R obraca się ze stałą prędkością kątową Ω. Ze środka tarczy wyruszyła biedronka i idzie wzdłuż
promienia ze stałą prędkością v0 . Wyznaczyć: (a) równanie toru biedronki we współrzędnych biegunowych i kartezjańskich; (b) zależność od czasu prędkości transwersalnej i radialnej; (c) zależność od czasu wektora przyspieszenia
oraz jego składowych: radialnej i transwersalnej oraz normalnej i stycznej; (d) promień krzywizny toru ̺(t).
12. Prędkość v cząstki, poruszającej się w płaszczyźnie xy, jest dana (w jednostkach SI) wyrażeniem v = (6t − 4t2 )i + 8j,
gdzie t > 0. (a) Wyznacz przyspieszenie cząstki w chwili t = 3 s. (b) Czy w jakiejś chwili przyspieszenie cząstki jest
równe zeru? (c) Czy w jakiejś chwili prędkość cząstki jest równa zeru? (d) Czy w jakiejś chwili, a jeśli tak, to w której,
prędkość cząstki ma wartość 10 m/s?
13. Położenie cząstki w funkcji czasu opisuje zależność r(t) = bti + (c − dt2 )j, gdzie b = 2 m/s, c = 5 m, d = 1 m/s2 .
Wyrazić y jako funkcję x oraz naszkicować tor cząstki (tj. wykres y(x)). Wyznaczyć wektor prędkości. Dla jakiego t
wektor prędkości jest prostopadły do wektora położenia?
Wrocław, 16 X 2007
W. Salejda, M.H. Tyc & K. Tarnowski