II. Istnienie i jednoznaczność rozwiązań

II. Istnienie i jednoznaczność rozwiązań

II. Istnienie i jednoznaczność rozwiązań
1. Twierdzenie Picarda o istnieniu i jednoznaczności
Niech f : G → R będzie funkcją określoną na obszarze G ⊂ R2 i rozważmy równanie różniczkowe
zwyczajne postaci
y 0 = f (x, y).
(1)
Zbadamy przy jakich założeniach o funkcji f istnieją rozwiązania tego równania. Jeśli f jest funkcją stałą, to powyższe równanie jest równaniem liniowym i o istnieniu rozwiązań świadczą twierdzenia
dotyczące równania liniowego. Zatem w dalszym ciągu zakładamy, że f nie jest funkcją stałą.
Lemat 1. Niech f : G → R będzie funkcją ciągłą i (ξ, η) ∈ G. Na to, by funkcja ϕ : I → R była
rozwiązaniem równania (1) spełniającym warunek początkowy ϕ(ξ) = η potrzeba i wystarcza, by była
ona ciągłym rozwiązaniem równania całkowego
Z x
f t, y(t) dt.
(2)
y(x) = η +
ξ
Dowód. Załóżmy najpierw, że ϕ : I → R jest rozwiązaniem równania (1) spełniającym warunek
ϕ(ξ) = η. Wówczas ϕ jest różniczkowalna (a więc w szczególności ciągła) i
ϕ0 (x) = f x, ϕ(x)
dla
x ∈ I.
Stąd
Z
ϕ(x) − ϕ(ξ) =
x
f t, ϕ(t) dt,
ξ
co po uwzględnieniu warunku początkowego ϕ(ξ) = η daje, że ϕ spełnia równanie (2).
Odwrotnie, jeśli ϕ jest funkcją ciągłą spełniającą równanie (2), to spełnia oczywiście warunek
ϕ(ξ) = η i na podstawie twierdzenia o różniczkowaniu funkcji górnej granicy całkowania otrzymujemy
ϕ0 (x) = f x, ϕ(x) dla x ∈ I.
Lemat 2. Niech I = {x ∈ R : |x − ξ| 6 δ}, gdzie δ > 0 i niech h : I → R będzie funkcją ciągłą na
przedziale I, spełniającą warunek
|h(x)| 6 M |x − ξ|n
Wówczas
Z
ξ
1
x
h(t)dt 6
dla
x∈I
M
|x − ξ|n+1
n+1
Dla n = 0 przyjmujemy w tym miejscu, że 00 = 1.
(M > 0, n > 0)1 .
dla
x ∈ I.
Istnienie i jednoznaczność rozwiązań
Dowód. W przypadku x > ξ mamy
Z
x
h(t)dt 6
x
Z
M |t−ξ|n dt =
x
Z
M (t−ξ)n dt =
ξ
ξ
ξ
ξ
x
Z
|h(t)|dt 6
M
M
(x−ξ)n+1 =
|x−ξ|n+1 .
n+1
n+1
W przypadku x < ξ mamy
Z
x
h(t)dt = −
ξ
Z
h(t)dt = Z
h(t)dt
x
x
ξ
ξ
i podobnie jak w pierwszym przypadku wykazujemy, że
Z
x
ξ
h(t)dt 6
M
M
(ξ − x)n+1 =
|x − ξ|n+1 .
n+1
n+1
Reasumując dla wszystkich x ∈ I prawdziwa jest teza lematu.
Zanim sformułujemy twierdzenie wprowadzimy jeszcze jedno określenie. Niech T ⊂ G. Mówimy,
że funkcja f spełnia na T warunek Lipschitza ze wzgędu na y, ze stałą L > 0, gdy nierówność
|f (x, y) − f (x, y ∗ )| 6 L|y − y ∗ |.
zachodzi dla wszystkich punktów (x, y), (x, y ∗ ) ∈ T .
Niech (ξ, η) ∈ G i T będzie prostokątem postaci
T = {(x, y) ∈ R2 : |x − ξ| 6 a, |y − η| 6 b},
gdzie
a, b > 0.
Twierdzenie 1 (Picarda2 ). Jeśli spełnione są poniższe założenia:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
f : G → R jest funkcją ciągłą,
T ⊂ G,
f spełnia na T warunek Lipschitza ze względu na y, ze stałą L > 0,
|f (x, y)| 6 M dla (x, y) ∈ T , gdzie M > 0 jest pewną stałą,
I = {x ∈ R : |x − ξ| 6 δ}, gdzie δ = min{a, b/M },
to istnieje rozwiązanie ϕ : I → R równania (1) spełniające warunek początkowy ϕ(ξ) = η, którego
wykres leży w T . Ponadto rozwiązanie to jest jednoznaczne w tym sensie, że jeśli ϕ
e : Ie → R jest
rozwiązaniem równania (1), spełniającym warunek początkowy ϕ(ξ)
e
= η i którego wykres przebiega
e
w T , to ϕ(x)
e
= ϕ(x) dla x ∈ I ∩ I.
Dowód istnienia. Będzie on przebiegał w paru krokach.
Krok 1. Poszukiwanie rozwiązania równania (1) spełniającego warunek początkowy ϕ(ξ) = η sprowadzamy na podstawie lematu 1 do poszukiwania ciągłego rozwiązania równania całkowego
Z
x
y(x) = η +
ξ
2
Émile Picard (1856-1941) – matematyk francuski.
26
f t, y(t) dt.
Istnienie i jednoznaczność rozwiązań
Krok 2. Na przedziale I ⊂ (a, b) definiujemy indukcyjnie ciąg funkcyjny (ϕk ), k = 0, 1, . . . w następujący sposób:
(3)
ϕ0 (x) = η,
Z
(4)
ϕk (x) = η +
x
f t, ϕk−1 (t) dt,
k = 1, 2, . . .
ξ
Każda funkcja ϕk jest ciągła i ma wykres zawarty w prostokącie T . Istotnie, po pierwsze, ϕ0
jest funkcją ciągłą o wykresie w prostokącie T . Po drugie, jeśli funkcja ϕk−1 jest ciągła i jej wykres
przebiega w T , to na mocy twierdzenia o różniczkowaniu funkcji górnej granicy całkowania wynika,
że funkcja ϕk określona wzorem (4) jest różniczkowalna, a więc ciągła. Ponadto z lematu 2 dla n = 0
i h(x) = f (x, ϕk−1 (x)) wynika, że:
Z
x
(5)
|ϕk (x) − η| =
f t, ϕk−1 (t) dt 6 M |x − ξ| 6 M δ 6 b
dla
x ∈ I.
ξ
Zatem wykres funkcji ϕk przebiega w prostokącie T . Indukcja kończy rozumowanie.
Krok 3. Dla każdego k > 1 i każdego x ∈ I spełniona jest nierówność
(6)
|ϕk (x) − ϕk−1 (x)| 6
M Lk−1
|x − ξ|k .
k!
Istotnie, po pierwsze z lematu 2 dla n = 0 i h(x) = f (x, ϕ0 (x)) dostajemy
Z
x
|ϕ1 (x) − ϕ0 (x)| = |ϕ1 (x) − η| = f t, ϕ0 (t) dt 6 M |x − ξ|.
ξ
Po drugie, jeśli nierówność (6) jest spełniona, to na podstawie lematu 2 dla n = k i funkcji h(x) =
f (x, ϕk (x)) − f (x, ϕk−1 (x)) dostajemy:
Z
x
M Lk
f t, ϕk (t) − f t, ϕk−1 (t) dt 6
|ϕk+1 (x) − ϕk (x)| =
|x − ξ|k+1 ,
(k + 1)!
ξ
gdyż z warunku Lipschitza mamy:
k
f x, ϕk (x) − f x, ϕk−1 (x) 6 L|ϕk (x) − ϕk−1 (x)| 6 M L |x − ξ|k .
k!
Na mocy indukcji wnioskujemy, że nierówność (6) zachodzi dla każdej liczby naturalnej k.
Krok 4. Zbieżność jednostajna ciągu (ϕk ) jest równoważna zbieżności jednostajnej szeregu
∞
X
(ϕk − ϕk−1 ),
k=1
gdyż
k
X
ϕk = ϕ0 +
(ϕi − ϕi−1 ).
i=1
Z nierówności (6) dostastajemy, że |ϕk (x) − ϕk−1 (x)| 6 M Lk−1 δ k /k!, a stosując kryterium
P
k−1 δ k /k! jest zbieżny. Zatem, jak wynika
d’Alemberta pokazać można, że szereg liczbowy ∞
k=1 M L
z kryterium Wieierstrassa dla szeregów funkcyjnych, szereg
ϕ0 +
∞
X
(ϕk − ϕk−1 )
k=1
jest jednostajnie zbieżny na przedziale I. Tym samym, ciąg (ϕk ) jest jednostajnie zbieżny na I.
27
Istnienie i jednoznaczność rozwiązań
Krok 5. Pokażemy, że granica ϕ ciągu (ϕk ) spełnia wspomniane w kroku 1 równanie całkowe. Zauważmy najpierw, że z kroku poprzedniego funkcja ϕ jest ciągła na przedziale I. Ponadto, wykres
funkcji ϕ jest zawarty w prostokącie T , gdyż dla x ∈ I mamy:
|ϕ(x) − η| = lim |ϕk (x) − η| 6 b.
k→∞
Fakt, że ϕ jest rozwiązaniem równania całkowego (2) wynikał będzie z przejścia granicznego pod
znakiem całki we wzorze definiującym funkcje ϕk :
Z x
f t, ϕk−1 (t) dt.
(7)
ϕk (x) = η +
ξ
Uzasadnimy, że takie przejście jest możliwe. Dla x ∈ I i k = 0, 1, . . . oznaczmy:
gk (x) = f x, ϕk−1 (x) ,
g(x) = f x, ϕ(x) .
Ponieważ funkcja f spełnia warunek Lipschitza ze względu na zmienną y, to dla x ∈ I
|gk (x) − g(x)| 6 L|ϕk−1 (x) − ϕ(x)|.
Zatem, tak jak ciąg (ϕk ), ciąg (gk ) jest jednostajnie zbieżny do funkcji g na przedziale I, co pozwala
przechodzić do granicy pod znakiem całki we wzorze (7):
Z x
Z x
Z x
ϕ(x) = lim ϕk (x) = η + lim
gk (t)dt = η +
g(t)dt = η +
f t, ϕ(t) dt.
k→∞
k→∞ ξ
ξ
ξ
Dowód jednoznaczności. Weźmy dowolne rozwiązanie ϕ
e : Ie → R spełniające równanie (1), o wykresie
przebiegającym w prostokącie T , z warunkiem początkowym ϕ(ξ)
e
= η. Z lematu 1 mamy
Z x
e
ϕ(x)
e
=η+
f t, ϕ(t)
e
dt
dla
x ∈ I.
ξ
Stąd, drogą łatwej indukcji (korzystając z lematu 2) dla dowolnego k > 0 i wszystkich x ∈ I ∩ Ie
otrzymujemy
M Lk
|ϕ(x)
e
− ϕk (x)| 6
|x − ξ|k+1 .
(k + 1)!
e
Ponieważ prawa strona powyższej nierówności zbiega do 0, to dla x ∈ I ∩ I,
ϕ(x)
e
= lim ϕk (x) = ϕ(x).
k→∞
To kończy dowód twierdzenia.
Ciąg (ϕk ) określony w kroku 2. powyższego dowodu nosi nazwę ciągu kolejnych przybliżeń rozwiązania ϕ. Z dowodu jednoznaczności otrzymujemy natychmiast
Wniosek 1. Dla dowolnego k ∈ N i x ∈ I mamy
|ϕ(x) − ϕk (x)| 6
M Lk
|x − ξ|k+1 .
(k + 1)!
28
Istnienie i jednoznaczność rozwiązań
Przykład 1. Rozważmy równanie Riccatiego postaci
y0 = y2 + x
w zbiorze G = R2 . Niech f (x, y) = y 2 + x, (x, y) ∈ G, (ξ, η) = (0, 0) i
T = {(x, y) ∈ R2 : |x| 6 1, |y| 6 1}.
Funkcja f jest ciągła na G, prostokąt T ⊂ G i
|f (x, y)| 6 |y|2 + |x| 6 2
dla
(x, y) ∈ T,
oraz
|f (x, y ∗ ) − f (x, y ∗∗ )| 6 |y ∗ | + |y ∗∗ | |y ∗ − y ∗∗ | 6 2|y ∗ − y ∗∗ |
dla
(x, y ∗ ), (x, y ∗∗ ) ∈ T.
Niech δ = min{1, 1/2} = 1/2 i I = h−1/2, 1/2i, L = 2. Na podstawie twierdzenia Picarda istnieje
rozwiązanie ϕ : I → R danego równania, spełniające warunek początkowy ϕ(0) = 0, którego wykres
przebiega w prostokącie T . Rozwiązanie to jest granicą ciągu (ϕk ) kolejnych przybliżeń, gdzie
2 · 2k
|x|k+1
(k + 1)!
|ϕ(x) − ϕk (x)| 6
(8)
oraz
Z
ϕ0 (x) = 0,
ϕk (x) =
0
x
dla
2
1
ϕk−1 (t) dt + x2
2
x∈I
dla
k > 1.
Wyznaczmy pięć kolejnych przybliżeń rozwiązania ϕ.
ϕ0 (x) = 0,
1
ϕ1 (x) = x2 ,
Z2 x 1
1
1
1 2 2
t dt + x2 = x5 + x2 ,
ϕ2 (x) =
2
2
20
2
Z0 x Z x
1
1 5 1 2 2
1 2
1 10
1
1 ϕ3 (x) =
t + t dt + x =
t + t7 + t4 dt + x2
20
2
2
400
20
4
2
0
0
1 11
1 8
1 5 1 2
=
x +
x + x + x ,
160
20
2
Z4400
x
1 11
1 8
1 5 1 2 2
1
ϕ4 (x) =
t +
t + t + t dt + x2
4400
160
20
2
2
0
1
1
87
3
7 11
=
x23 +
x20 +
x17 +
x14 +
x +
445280000
7040000
23936000
49280
8800
1 8
1
1
+
x + x5 + x2 .
160
20
2
Błąd przybliżenia ϕ4 na przedziale I oszacujemy ze wzoru (8). Ponieważ
|ϕ(x) − ϕk (x)| 6
1 k+1
2k+1
2k+1
1
|x|k+1 6
·
=
(k + 1)!
(k + 1)!
2
(k + 1)!
dla
x ∈ I,
to w szczególności |ϕ(x) − ϕ4 (x)| 6 1/120 < 0, 01 dla x ∈ I.
Z powyższego wynika na przykład, że aby otrzymać przybliżenie rozwiązania z dokładnością do
trzeciego miejsca po przecinku, na całym przedziale I, należy wyznaczyć przybliżenie ϕk takie, by
1/(k + 1)! < 1/1000. Nietrudno sprawdzić, że nierówność ta jest spełniona dla k > 6.
29
Istnienie i jednoznaczność rozwiązań
Rysunek II.1. Wykresy pierwszych przybliżeń rozwiązania równania y 0 = y 2 + x.
Przykład 2. Metodą kolejnych przybliżeń znajdziemy rozwiązanie ϕ równania
y 0 = 2x + y
w prostokącie T = {(x, y) ∈ R2 : |x| 6 1, |y + 2| 6 1}, spełniające warunek początkowy ϕ(0) = −2.
Niech f (x, y) = 2x + y, (x, y) ∈ R2 . Funkcja f jest ciągła i
|f (x, y)| 6 2|x| + |y + 2| + 2 6 5
(x, y) ∈ T.
dla
Ponadto
|f (x, y ∗ ) − f (x, y ∗∗ )| 6 |y ∗ − y ∗∗ |
dla
(x, y ∗ ), (x, y ∗∗ ) ∈ T.
Niech δ = min{1, 51 } = 15 i oznaczmy I = h− 51 , 15 i. Z twierdzenia Picarda istnieje rozwiązanie
ϕ : I → R danego równania o wykesie przebiegającym w prostokacie T i spełniające warunek
początkowy ϕ(0) = −2. Rozwiązanie to jest granicą ciągu kolejnych przybliżeń. Postępując jak w
poprzednim przykładzie, obliczamy kolejno:
ϕ0 (x) = −2,
Z
x
Z
x
(2t − 2)dt = −2 − 2x + x2 ,
Z x
Z x
1
2
ϕ2 (x) = −2 +
f t, t − 2t − 2 dt =
2t + (t2 − 2t − 2) dt = −2 − 2x + x3 ,
3
0
Z0 x
Z x
1
1
1 4
2t + ( t3 − 2t − 2) dt = −2 − 2x +
x ,
ϕ3 (x) = −2 +
f t, t3 − 2t − 2 dt =
3
3
3
·4
0
0
ϕ1 (x) = −2 +
f (t, −2)dt =
0
0
..................................................................................................
Zauważamy teraz (co łatwo sprawdzić za pomocą indukcji), że k-te przybliżenie jest postaci:
ϕk (x) = −2 − 2x +
30
2
xk+1 .
(k + 1)!
Istnienie i jednoznaczność rozwiązań
Aby wyznaczyć wzór określający szukane rozwiązanie ϕ, obliczamy granicę ciągu (ϕk ):
ϕ(x) = lim ϕk (x) = lim
k→∞
k→∞
− 2 − 2x +
2
xk+1 = −2 − 2x,
(k + 1)!
gdyż
2
k+2 |x|
(k+2)! x
lim 2
= 0 < 1.
= lim
k+1
k→∞ k + 2
k→∞ (k+1)! x
2. Twierdzenie Peano o istnieniu rozwiązań
Pomijając założenie o warunku Lipschitza otrzymujemy słabsze, gdyż bez tezy o jednoznaczności,
twierdzenie o istnieniu rozwiązań.
Twierdzenie 1 (Peano3 ). Jeśli spełnione są poniższe założenia:
(a)
(b)
(c)
(d)
f : G → R jest funkcją ciągłą,
T ⊂ G,
|f (x, y)| 6 M dla (x, y) ∈ T , gdzie M > 0 jest pewną stałą,
I = {x ∈ R : |x − ξ| 6 δ}, gdzie δ = min{a, Mb },
to istnieje rozwiązanie ϕ : I → R równania (1) spełniające warunek początkowy ϕ(ξ) = η o wykresie
leżącym w T .
Strategia dowodu tego twierdzenia polega na: (i) przybliżeniu funkcji f wielomianami fn dwóch
zmiennych x i y (z wykorzystaniem twierdzenia Stone’a-Weierstrassa); (ii) zastosowaniu twierdzenia Picarda do każdego równania y 0 = fn (x, y) i uzyskaniu rozwiązań (ϕn ) spełniających warunek
ϕn (ξ) = η; (iii) otrzymaniu rozwiązania równania y 0 = f (x, y) jako granicy odpowiedniego podciągu
ciągu (ϕn ) (z wykorzystaniem twierdzenia Arzeli-Ascoliego).
√
Przykład 1. Funkcja f (x, y) = 32 3 y, (x, y) ∈ R2 jest ciągła, lecz nie spełnia warunku Lipschitza w
żadnym prostokącie postaci
T = {(x, y) ∈ R2 : |x| 6 a, |y| 6 b},
√
√
3
gdzie a, b > 0. Ponieważ |f (x, y)| 6 32 3 b dla (x, y) ∈ T , więc niech δ = min{a, 23 b2 }. Z twierdzenia
Peano istnieje rozwiązanie ϕ : h−δ, δi → R równania
y0 =
3√
3
y
2
o wykresie przebiegającym w T i spełniające warunek początkowy ϕ(0) = 0. Takich rozwiązań jest
nieskończenie wiele, gdyż funkcje

0
dla x ∈ h−δ, −γi,
ϕγ (x) = p
 (x + γ)3 dla x ∈ (−γ, δi
dla γ ∈ h0, δ) są rozwiązaniami danego równania, ich wykresy mieszczą się w prostokącie T i przechodzą przez punkt (0, 0).
3
Giuseppe Peano (1858-1932) – matematyk włoski.
31