Topologia 2014 Lista 4 (1) Udowodnic, ˙ze osrodkowa przestrzen
Transkrypt
Topologia 2014 Lista 4 (1) Udowodnic, ˙ze osrodkowa przestrzen
(1) (2) (3) (4) (5) (6) Topologia 2014 Lista 4 Udowodnić, że ośrodkowa przestrzeń normalna nie zawiera domknietych ‘ podprzestrzeni dyskretnych mocy continuum. Granice x ciagu punktów xn przestrzeni topologicznej X można określić w ‘ ‘ podobny sposób, jak dla przestrzeni metrycznych: każde otoczenie punktu x zawiera prawie wszystkie wyrazy xn . Udowodnić, że jeśli każdy ciag punktów przestrzeni topologicznej X ma ‘ co najwyżej jedna granice, to X jest przestrzenia T1 ; jeśli ponadto X ma w ‘ ‘ ‘ każdym punkcie baze przeliczalna, to X jest przestrzenia Hausdorffa. Jeśli ‘ ‘ ‘ przestrzeń X jest Hausdorffa, to każdy ciag w X ma co najwyżej jedna ‘ ‘ granice. ‘ Korzystajac z równoważności ośrodkowości z posiadaniem bazy przeliczal‘ nej w przestrzeniach metrycznych udowodnić, że jeśli X jest przestrzenia ‘ metryzowalna ośrodkowa, to każda podprzestrzeń Y ⊂ X też jest ośrodkowa. ‘ ‘ Podaj przyklad funkcji ciaglej f : R → R (w metryce euklidesowej), która ‘ jest “na”, ale nie jest przeksztalceniem domknietym (otwartym). ‘ Sprawdzić, czy nastȩpuja̧ce wlasności sa̧ niezmiennikami homeomorfizmów: być: podzbiorem brzegowym, w sobie gȩstym (tzn. zawartym w swoim zbiorze pochodnym), przestrzenia̧ ciȩżaru m, przestrzenia̧ spelniajaca aksjo‘ ‘ mat oddzielania Ti . Sprawdzić, czy nastepujace przeksztalcenia sa homeomorfizmami (w me‘ ‘ ‘ trykach euklidesowych): n (a) f : R → R dana wzorem f (x) = x , n ∈ N; (b) f : R → f (R) ⊂ R2 dana wzorem f (x) = (x, sin x); (c) f : [0, 1) × [0, 1) → S 1 × S 1 ⊂ R4 dane wzorem f (x, y) = ((cos 2πx, sin 2πx), (cos 2πy, sin 2πy)); (d) f : R2 → R2 dane wzorem f (x, y) = (x + y, x − y); (e) f : C → D określone wzorem f (x, y, z) = (x, y), gdzie C = {(x, y, z) ∈ R3 : z = x2 + y 2 ≤ 2}, D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 2}; jaka figura jest C? ‘ ‘ (f) f : P → K dane wzorem f (x, y) = (2(r − 1), φ), gdzie P = {(x, y) ∈ 2 R : x = r cos φ, y = r sin φ, 1 < r < 2, φ ∈ [0, 2π)}, K = f (P ); jakimi figurami sa P i K? ‘ (g) inwersja wzgledem sfery S n (r) = { x ∈ Rn : kxk = r}: ‘ i : Rn \ {0} → Rn \ {0} takie, że i(x) = y wtedy i tylko wtedy, gdy y leży na pólprostej 0x oraz kxkkyk = r2 . (7) Pokaż, że nastepujace pary przestrzeni(z metrykami euklidesowymi) przedstawiaja ‘ ‘ ‘ przestrzenie homeomorficzne: (a) dowolny okra̧g i elipsa (b) dowolna sfera i elipsoida (c) powierzchnia walca S 1 × [0, 1], gdzie S 1 jest okrȩgiem jednostkowym o środku (0, 0) i pierścień cl K((0, 0), 2) \ K((0, 0), 1) na plaszczyźnie (d) powierzchnia stożka i kolo domkniȩte na plaszczyźnie. 1 2 (8) Znajdź homeomorfizm miedzy ‘ (a) kula domknieta w przestrzeni euklidesowej (Rn , ρe ) a kostka [−1, 1]n , ‘ ‘ ‘ ‘ (b) okregiem bez punktu a prosta euklidesowa, ‘ ‘ ‘ (c) sfera bez punktu a plaszczyzna euklidesowa. ‘ ‘ ‘ (9) Udowodnij, że każde dwie kule (sfery) w przestrzeni euklidesowej sa do ‘ siebie podobne (czy tak jest w dowolnej przestrzeni metrycznej?) i że każdy odcinek w przestrzeni euklidesowej lub Hilberta l2 jest podobny do przedzialu euklidesowego [0, 1]. (10) Udowodnij, że dowolne dwie hiperplaszczyzny k-wymiarowe w przestrzeni euklidesowej Rn , k ≤ n, sa izometryczne. ‘ (11) Podaj przyklad przeksztalcenia jednostajnie ciaglego, które nie jest Lipschi‘ tza. (12) Uzasadnić, że każde przeksztalcenie ciagle f : Y → Z określone na gestej ‘ ‘ podprzestrzeni Y przestrzeni topologicznej X w przestrzeń Hausdorffa Z może mieć co najwyżej jedno przedlużenie ciagle f na X. ‘ Niech X bedzie zbiorem liczb naturalnych z topologia dopelnień podzbiorów ‘ ‘ skończonych. Znaleźć przeksztalcenie ciagle f : Y → Y , dla gestej pod‘ ‘ przestrzeni Y ⊂ X, które ma nieskończenie wiele przedlużeń ciaglych na ‘ X. (13) Wykazać, że jeśli f, g : X → Y sa ciagle i Y jest Hausdorffa, to zbiór ‘ ‘ {x ∈ X : f (x) = g(x)} jest domkniety w X. ‘