Konspekt do zajęć z dynamiki - Laboratorium

POLITECHNIKA WROCŁAWSKA, I-19
LABORATORIUM Z DYNAMIKI DRGA UKŁADÓW MECHANICZNYCH
Opracował: Jacek BOMBA & Mirosław BOCIAN
20.11.2005
WICZENIE NR 1
ANALIZA MODELI O JEDNYM STOPNIU SWOBODY
– MODEL SWOBODNY / Z WYMUSZENIEM SINUSOIDALNYM
ZAKRES ZADANIA:
Celem wiczenia jest zapoznanie si z mo liwo ciami symulacji zagadnie z zakresu dynamiki drga przy
wykorzystaniu pakietu komputerowego MATLAB z modułem SIMULINK. W szczególno ci nale y
wyznaczy i porówna z warto ciami teoretycznymi:
• cz sto drga własnych ω0 oraz swobodnych ωs,
• dekrement tłumienia δt,
• tłumienie krytyczne kkr,
• cz stotliwo rezonansow fr.
MODELOWANY UKŁAD
Prostym modelem, słu
cym do opisu obiektów jednowymiarowego dynamicznego układu fizycznego jest
dyskretny układ mechaniczny, zło ony z jednej masy skupionej m zawieszonej na liniowej spr ynie
o sztywno ci c, z równolegle działaj cym tłumikiem wiskotycznym o stałej tłumienia k. Przyjmuj c, e
w elemencie spr ystym tego układu działa siła Fs(x) zale na liniowo od przemieszczenia Fs(x) = c x,
•
•
•
w tłumiku za siła Ft( x ) zale na liniowo od pr dko ci Ft( x ) = k x , otrzymujemy nast puj ce równanie
ruchu:
••
•
m x + k x + cx = F (t )
, w którym stałe m, k, c s nieujemne.
W układzie SI:
[F] = [N] = [kgm/s2],
[m] = [kg],
[k] = [Ns/m] = [kg/s],
[c] = [N/m] = [kg/s2].
k
c
m
F(t)
x(t)
Rys.1 Model obiektu o jednym stopniu swobody
CZ STO DRGA
SWOBODNYCH [rad/sek]
(UKŁ.BEZ TŁUMIENIA)
CZ STO DRGA
WŁASNYCH [rad/sek]
(UKŁ.Z TŁUMIENIEM)
CZ STOTLIWO REZONANSOWA [Hz]
DEKREMENTU TŁUMIENIA
WSP. TŁUMIENIA
KRYTYCZNEGO [kg/s],
WARTO Rys.2. Schemat symulacyjny układu.
TEORETYCZNA
ωS =
c
m
ω0 =
c
k
−
m 2m
fr = ω/2π
2π
4mc
−1
k2
k kr = 2 mc
δT =
WARTO Z SYMULACJI
ωS = 2πf = 2π/T
(„T” NA PODSTAWIE
WYKRESU)
ωo = 2πf = 2π/T
(„T” NA PODSTAWIE
WYKRESU)
fr = ω/2π
δ T = ln
Ai
Ai +1
NA PODSTAWIE WYKRESU
POLITECHNIKA WROCŁAWSKA, I-19
LABORATORIUM Z DYNAMIKI DRGA UKŁADÓW MECHANICZNYCH
Opracował: Jacek BOMBA & Mirosław BOCIAN
20.11.2005
WICZENIE NR 2
ANALIZA MODELI O JEDNYM STOPNIU SWOBODY
– MODEL Z WYMUSZENIEM LOSOWYM
ZAKRES ZADANIA:
Celem wiczenia jest zapoznanie si z mo liwo ciami symulacji zagadnie z zakresu dynamiki drga przy
wykorzystaniu wymusze drga układów w postaci generatorów losowych w pakiecie MATLAB z modułem
SIMULINK. W szczególno ci nale y:
• wypróbowa dost pne generatory losowe i okre li ich zastosowanie (okre li cz stotliwo rezonansow fr),
• wyja ni wpływ tłumienia na zachowanie si układu (na cz sto rezonansow ωr),
• wyznaczy transmitancj układu i na jej podstawie wykre li zale no A = f(ω).
MODELOWANY UKŁAD
Rys.3. Schemat układu (z ró nymi generatorami losowymi).
WYZNACZENIE ZALE NO CI A = f(ω) Z TRANSMITANCJI
••
•
••
Z równania ró niczkowego m x + k x + cx = F (t ) , dla zerowych warunków pocz tkowych ( x (0) = 0,
•
x (0) = 0, x(0) = 0) korzystaj c z transformaty Laplace'a wyznaczymy transmitancj w postaci:
1
G(s) =
, gdzie s - liczba zespolona.
2
ms + ks + c
W celu uzyskania charakterystyki cz stotliwo ciowej do G(s) podstawiamy s = ωj otrzymuj c:
G(ωj) =
1
c − mω 2
− kω
=
+j
2
2 2
2 2
m(ωj ) + kωj + c ( c − mω ) + k ω
( c − mω 2 ) 2 + k 2ω 2
Korzystaj c z zale no ci |G(jω)| = A wykre limy zale no A = f(ω) w interesuj cym nas zakresie warto ci
ω.
Uwaga: Sprawozdanie z wiczenia nr 1 i 2
POLITECHNIKA WROCŁAWSKA, I-19
LABORATORIUM Z DYNAMIKI DRGA UKŁADÓW MECHANICZNYCH
Opracował: Jacek BOMBA & Mirosław BOCIAN
20.11.2005
WICZENIE NR 3
ANALIZA MODELI LINIOWYCH O WIELU STOPNIACH SWOBODY Z TŁUMIENIEM
ZAKRES ZADANIA:
Celem wiczenia jest zapoznanie si z mo liwo ciami symulacji zagadnie z zakresu dynamiki drga przy
wykorzystaniu wymusze drga układów w postaci generatorów losowych w pakiecie MATLAB z modułem
SIMULINK. W szczególno ci nale y:
• zasymulowa układ o dwóch stopniach swobody z dwoma wymuszeniami losowymi i okre li jego
cz sto ci rezonansowe,
• wyznaczy charakterystyk A = f(ω) przy wykorzystaniu bloku "Scope",
•
ZADANIE DODATKOWE: wyznaczy transmitancj układu i na jej podstawie wykre li zale no A = f(ω).
MODELOWANY UKŁAD
Układ zło ony jest z dwóch mas skupionych m1 i m2 poł czonych szeregowo spr ynami o sztywno ciach c1
i c2 z równolegle działaj cymi tłumikami wiskotycznymi o stałych tłumienia k1 i k2. Przyjmuj c, e
w elemencie spr ystym tego układu działa siła Fs zale na liniowo od przemieszczenia Fs(x) = c x , a
•
 
w tłumiku za siła FT zale na liniowo od pr dko ci FT  x  = k x , otrzymamy równania ró niczkowe ruchu:
•
- dla masy m1
••
•
•
m1 x1 + k1 x1 + c1 x1 − k 2 x2 − c2 x2 = f1 (t )
(1)
- dla masy m2
m2  x1 + x2  + k 2 x2 + c2 x2 = f 2 (t )


••
••
•
(2)
w którym stałe m1, k1, c1 oraz m2, k2, c2 s nieujemne.
W układzie SI:
[F] = [N] = [kgm/s2],
[m] = [kg],
[k] = [Ns/m] = [kg/s],
[c] = [N/m] = [kg/s2].
c1
k1
m1
x1
f1(t)
c2
k2
m2
x2
f2(t)
Rys.4 Model obiektu o dwóch stopniach swobody
Rys.5. Schemat symulacyjny układu z wymuszeniami
losowymi Band-Limited White Noise ("biały szum")