1. Równania i nierówności liniowe

Wydział Technologii Żywności
Zadania
1. Równania i nierówności liniowe
1. Wykonać działanie:
√3
1+x
+
√
1−x :
√ 3
1−x2
+1 .
2. Rozwiązać równanie:
a)
b)
5x−11
− 5x+3
= 50−22x
2
5
10
2
6(x + x + 1) = (x + 1)3
c) x −
20x−(10−3x)
156
=
26x−51
52
− (x − 1)3
−
2(1−3x)
13
3. Rozwiązać równanie:
a) x + |2 − 3x| = 4
b) 2|x| − |x + 1| = 2
c) |x − 4| + x = 4
4. Rozwiązać nierówność:
a)
b)
3x+2
3
x2 +
>
3x+2
2
16 > (x + 4)2
5. Rozwiązać nierówność: |4 − 2x| < |x|.
6. Sporządzić wykres funkcji: y = ||x + 1| − 2|.
Odpowiedzi do zadań
1.
√
1 − x.
3b. x = −1, x = 3.
2a. x = 3.
3c. x ∈ (−∞, 4].
2b. x = − 23 .
4a. x 6 − 23 .
2c. x = 11.
4b. x < 0.
3a. x = −1, x = 32 .
5. x ∈ ( 43 , 4).
1
Wydział Technologii Żywności
Zadania
2. Układy równań liniowych, funkcja kwadratowa
7. Rozwiązać nierówność, podać interpretację geometryczną:
a) |x + 5| < |2x − 1|,
b) |x + 2| + 1 > x.
8. Rozwiązać nierówność:
a) |x − 1| < 5,
b) |x + 1| − |x| > 0,
c) |x − 2| − |x − 1| > |x + 1| − 5.
9. Rozwiązać układ nierówności: −3 6
|x|
x
10. Dla jakich wartości parametru a układ
+
|x−1|
x−1
(
ax + 2y = 10
+
|x−2|
x−2
3x + ay = 0
6 3.
ma dokładnie jedno rozwiązanie?
11. (
Zaznaczyć na płaszczyźnie zbiór punktów, których współrzędne x, y spełniają układ równań:
x+y >1
3x − 2y 6 6
12. Dla jakich wartości parametru (parametrów) układ równań o niewiadomych x, y ma: dokładnie
jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań, nie ma rozwiązań?
(
a)
(
x−y =m
b)
x+y =5
x+y =a
mx + ky = 0
13. Rozwiązać układ równań:
(
a)
5x − 2y = 9
b)
−15x + 6y = 10



1
x
3
x
+
−
1
y
5
y
=5
= −9
14. Znaleźć najmniejszą wartość trójmianu kwadratowego y = 2x2 + x + 1.
15. Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f : [−3, 2] 3 f (x) = x2 + 4x − 2.
16. Wyznaczyć współrzędne wierzchołka paraboli y = 2x2 − x − 3.
17. Sprowadzić do postaci kanonicznej trójmian kwadratowy:
a) y = 2x2 + 3x + 1,
b) y = 2x2 − 8x + 7.
18. Naszkicować wykresy funkcji:
a) y = 2x2 + 3x + 1,
d) y = x2 − 5.
b) y = x2 − 5x.
e) y = x2 + x + 1,
c) y = 2x2 − 8x + 7,
f) y = − 12 x2 + 12.
19. Naszkicować wykresy funkcji:
a) y = |x2 − 3|,
c) y = x2 − 2|x| − 3.
b) y = x2 + 2|x| + 1,
20. Rozwiązać równanie:
18y+7
y 3 −1
=
30
y 2 −1
−
13
y 2 +y+1 .
21. Rozwiązać nierówność:
2
Wydział Technologii Żywności
Zadania
a) x2 − 3x + 2 > 0
c)
5−x
3−x
b) x2 + x + 1 > 0
d)
1−2x
1+x
<
−
3x−1
2−x
1+x
1+2x
>1
Odpowiedzi do zadań
7a. x ∈ (−∞, 43 ) ∪ (6, +∞).
13b. x = 12 , y = 13 .
7b. x ∈ R.
14.
8a. x ∈ (−4, 6).
15. Wartość najmniejsza wynosi −6, wartość największa wynosi 10.
8b. x ∈
(− 12 , +∞).
7
4.
8c. x ∈ [−7, 3].
16. W ( 14 , − 25
8 ).
9. x ∈ R \ {0, 1, 2}.
√ √
10. a ∈ R \ {− 6, 6}.
17a. y = 2(x + 34 )2 − 81 .
12a. Dokładnie jedno rozwiązanie dla m ∈ R.
20. y = −4, y = 9.
17b. y = 2(x − 2)2 − 1.
12b. Dokładnie jedno rozwiązanie dla k 6= m 6= 0. 21a. x ∈ (−∞, 1) ∪ (2, +∞).
Nieskończenie wiele rozwiązań dla k = m = 0,
21b. x ∈ R.
a ∈ R lub k = m, a = 0. Układ sprzeczny dla
21c. x ∈ (1, 2) ∪ (3, 13
k = m 6= 0, a 6= 0.
4 ).
13a. Układ sprzeczny.
21d. x ∈ (−1, − 12 ).
3
Wydział Technologii Żywności
Zadania
3. Wielomiany
22. Rozwiązać nierówność x2 − 3x > 2(x − 1)2 − 4.
23. Dla jakich wartości parametru k nierówność
x2 +2x+2k
x2 +x+2−k2
> 0 jest spełniona dla każdego x?
24. Naszkicować wykresy funkcji:
a) y = |x2 − 7x + 10|,
b) y = |x2 − x| + 1.
25. Rozwiązać równania:
a) x4 − 2x3 + 2x − 1 = 0,
c) x8 − 16 = 0.
b) x4 − 2x3 + 4x2 − 6x + 3 = 0,
26. Wykonać dzielenie wielomianów (wypisać otrzymany wyniki z dzielenia i reszty):
a) (x6 + x4 + 3x2 + 2) : (x3 + x + 1)
b) (x30 + 2x20 + 3x10 + 1) : (2x10 + 3x5 + 1)
c) (4x4 + 3x3 + 2x2 + x + 3) : (x2 + 2x + 4)
d) (x3 + 2x + 7) : (x − 1)
e) (4x5 + 7x4 + 5x3 + 2x2 + 7x + 1) : (2x + 7)
f) (2x7 + 5x3 + 2x + 1) : (x2 + 5x + 1)
g) (x5 + 2x4 + 3x3 + 4x2 + 5x + 6) : (x − 2)
27. Dla jakiej wartości parametru k reszta z dzielenia wielomianu W (x) = x3 + 2x2 + k 2 x − 8 przez
dwumian x + 1 wynosi −11?
28. Dla jakich wartości parametrów a, b wielomian W (x) = 3x3 + ax2 + bx − 4 jest podzielny przez
dwumian x2 − 1?
29. Dla jakich wartości parametrów a, b wielomian W (x) = 2x4 + ax3 − bx2 + 2x − 2 jest podzielny
przez trójmian x2 − x − 2?
Odpowiedzi do zadań
22. x ∈ [−1, 2].
√
23. k ∈ ( 12 , 12 7).
25a. x = −1, x = 1 – pierwiastek potrójny.
25b. x = 1 – pierwiastek podwójny.
√
√
25c. x = − 2, x = 2.
26d. x3 + 2x + 7 = (x − 1)(x2 + x + 3) + 10.
5
4
3
2
26e.
h 4x + 7x + 5x + 2x + 7x + 1 = i (2x +
1
(32x4 − 56x3 + 236x3 − 810x + 2891)
−
7) 16
20221
16 .
26f. 2x7 +5x3 +2x+1 = (x2 +5x+1)(2x5 −10x4 +
3
2
26a. x6 + x4 + 3x2 + 2 = (x3 + x + 1)(x3 − 1) + 48x − 230x + 1107x − 5305) + 25420x + 5306.
3x2 + x + 3.
26g. x5 + 2x4 + 3x3 + 4x2 + 5x + 6 = (x − 2)(x4 +
30
20
10
10
5
4x3 + 11x2 + 26x + 57) + 120.
26b.
h x + 2x + 3x + 1 = (2x + i3x +
1
1) 32
(16x20 − 24x15 + 60x10 − 78x5 − 135)
− 27. k = −2 lub k = 2.
1
5
32 (327x + 103).
28. a = 4, b = −3.
26c. 4x4 + 3x3 + 2x2 + x + 3 = (x2 + 2x + 4)(4x2 −
5x − 4) + 29x + 19.
29. a = −3, 5, b = 1, 5.
4
Wydział Technologii Żywności
Zadania
4. Równania i nierówności wielomianowe i wymierne
30. Dla jakich wartości parametru a wielomian W (x) = x3 + 4a x2 − 11x − 12 jest podzielny przez
dwumian x+1? Podać wszystkie pierwiastki tego wielomianu dla wyznaczonej wartości parametru.
31. Dla jakich parametrów a, b wielomian W (x) = x4 − 3x3 + 6x2 + ax + b jest podzielny przez
dwumian x2 − 1?
32. Sporządzić wykres funkcji:
1
,
a) y = |x−1|
x
b) y = | x−1
|.
33. Dana jest funkcja f (x) = x2 + 2x. Rozwiązać nierówność f [f (x)] − [f (x)]2 > 6x.
34. Dana jest funkcja f (x) =
1
x
+ x. Rozwiązać nierówność f (x) > f (2 − x).
35. Dla jakich wartości parametru a równanie cos 2x =
a2 −4a+1
a2 −1 ma
rozwiązania?
36. Udowodnić, że dla każdego x prawdziwa jest nierówność x12 − x9 + x4 − x + 1 > 0?
37. Rozwiązać nierówność
2 (2x−1)(5−3x)2
a) (x−3)(3−2x)(5−x)
6 0,
b)
(3−x)(8x−2)(3−5x)
(2x+5)(3−2x)
> 0,
c)
(8x−5)(x−2)2 (4−x)
(3x−5)(2x+7)
6 0,
d)
2x6 +x4 +3x2 +1
x8 −16
e)
x4
10+x8
6 51 ,
x2 +3x−1
4−x2
< 1,
2x2 −7x−29
x2 −2x−15
< 2,
f) −1 6
g) 1 <
6 0,
h) x2 + x + 7 6 2x2 + 1 6 8x + 1.
Odpowiedzi do zadań
30. a = 12 , x1 = −1, x2 = −4, x3 = 3.
37c. x ∈ −∞, − 72 ∪
31. a = 3, b = −7.
√ √
37d. x ∈ (− 2, 2).
33. x ∈ (0, 1).
h
5 5
8, 3
34. x ∈ (0, 1) ∪ (2, +∞).
37e. x ∈ R.
35. a ∈ [0, 12 ] ∪ [2, +∞).
37f. x ∈ (−∞, − 52 ] ∪ [−1, 1].
i
37a. x ∈ −∞, 21 ∪
3
2, 5
37b. x ∈ −∞, − 52 ∪
h
37g. x ∈ (−2, 13 ) ∪ (7, +∞).
.
1 3
4, 5
∪ {2} ∪ [4, +∞).
i
∪
i
3
2, 3
.
37h. x ∈ [3, 4].
5
Wydział Technologii Żywności
Zadania
5. Funkcja wykładnicza, równania i nierówności wykładnicze
38. Sporządzić wykres funkcji: y = |1 − 2x |.
39. Rozwiązać równanie:
a) 42x+1 = 65 · 4x−1 − 1
b) 49x − 6 · 7x + 5 = 0
√
c) 2 2
x+3
1
√
2 x
r
√ 2
x−1
=4
1
d) 16 (0, 25)5− 4 x =
√
2x−1
√
e) 2x + 2x−1 + 2x−2 + · · · = 2 3 · 2x + 4
f) 3x + 32x + 33x + · · · =
1
2
40. Rozwiązać nierówność:
a) 9x − 36 > 3x+2
b)
c)
d)
e)
1
2x2
· 4x+1 <
x
1
2
−
1
64 .
−1−x
1
2
√x6 −2x3 +1
1
2
3
6x+3
x2
q
>
27
<
>1
1−x
1
2
3x+1
x
Odpowiedzi do zadań
39a. x = −2, x = 1.
39b. x = 0, x =
39c. x = 9.
log 5
log 7 .
40a. x ∈ (log3 12, +∞).
40b. x ∈ (−∞, −2) ∪ (4, +∞).
40c. x ∈ (−∞, −1].
39d. x = −2.
39e. x = 2.
39f. x = −1.
40d. x ∈ (−∞, −1) ∪ (0, 1) ∪ (1, +∞).
40e. x ∈
√
3− 33
,
0
6
√
∪ 0, 3+6 33 .
6
Wydział Technologii Żywności
Zadania
6. Funkcja logarytmiczna, równania i nierówności logarytmiczne
41. Obliczyć:
a) log3√3 27,
b)
c)
√
2log2
2
√ 1
5 log5 3
3
9
15
,
.
42. Wyznaczyć dziedzinę funkcji: f (x) =
q
log 1
2
x
x2 −1 .
43. Sporządzić wykres funkcji:
a) y =
2 log2,5 x
5
2
,
b) y = log3 |x − 1|.
44. Rozwiązać równanie:
a) log33 m − 2 log3 m2 + 3 = 0,
5
+ 3−log
x = 3,
√
c) log x = −x2 − 3x − 2.
b)
1
1+log x
45. Rozwiązać nierówność:
x−8
5
a) log 5
2
6 −1,
d) logx (2 − x) < 2,
e) log2 (x − 1) − 2 log(x − 1) > 0,
√
√
f) log 1 x + 1 < 1 + log 1 4 − x2 .
b) log 1 (3 + 2x ) > −2,
2
c) log √1 (4x+1 − 16x ) > −8x,
3
3
2
Odpowiedzi do zadań
44c. x ∈ ∅.
41a. 2.
√
41b. 3 225.
√
41c. 15 25.
42. x ∈
h
45a. x ∈ (8, 10].
45b. x ∈ (−∞, 0).
√
1− 5
2 ,0
∪
44a. m = 3, m = 3
44b. x = 10, x =
h
√
1+ 5
2 , +∞
√
−1− 13
2
1
√
.
3
10
45c. x ∈ [ 12 , 1, ).
.
,m=3
√
−1+ 13
2
45d. x ∈ (0, 1) ∪ (1, 2).
.
45e. x ∈ (1, 2) ∪ (101, +∞).
45f. x ∈
√
61−9
,2
2
.
7
Wydział Technologii Żywności
Zadania
7. Funkcja logarytmiczna, równania i nierówności logarytmiczne, cd.
46. Uprościć wyrażenie:
log 5
a) log2 (log 100),
b)
5 log 25 .
47. Wyznaczyć dziedzinę funkcji:
a) f (x) =
1
1+log2 x
b) f (x) =
q
+
1
3−log2 x
√
+ 5,
log 1 (25 − x2 ) + 4,
2
c) f (x) =
log(x2 −3x+3)
,
x
d) f (x) = log2 1 − log 1 (x2 − 5x + 6) .
2
48. Rozwiązać równanie:
a)
b)
√
√
x − 7 · log(x − 3) = 2 x − 7
log2 (x−1)
log2 (x−3)
c)
√
− log x =
√
−x3 + 3x + 2,
d) 4(log2 cos x)2 + log2 (1 + cos 2x) = 3.
= 2,
49. Rozwiązać nierówność:
a) log 5 (2 − x) 6 −2,
e) logx (2 − x) < 2,
b) log 1 x + 2 log3 x < 3,
f) logx−4 (2x2 − 9x + 4) > 1,
c) log8 x + log28 x + log38 + · · · 6 12 ,
g) log 1 (3 + 2x ) > −2,
d) log 2 x 6 log 2 (6 − x),
h) log2 (9 − 2x ) > 3 − x.
8
3
3
2
3
Odpowiedzi do zadań
46a. 1.
√
46b. 5.
48d. x =
π
3
+ 2kπ, x = − π3 + 2kπ.
i
49a. x ∈ −∞, 14
25 .
47a. x ∈ 0, 12 ∪
1
2, 8
∪ (8, +∞).
47b. x ∈ (−5, −3] ∪ [3, 5).
49c. x ∈
47c. x ∈ (−∞, 0) ∪ (0, 1] ∪ [2, +∞).
47d. x ∈ −∞,
√ 5− 3
2
∪
49b. x ∈ (0, 27).
√
5+ 3
2 , +∞ .
1
8, 2
i
.
49d. x ∈ [3, 6).
49e. x ∈ (0, 1) ∪ (1, 2).
48a. x = 103, x = 7.
49f. x ∈ (5, +∞).
48b. x = 5.
49g. x ∈ (−∞, 0).
48c. x = 1.
49h. x ∈ x ∈ [0, 3].
8
Wydział Technologii Żywności
Zadania
8. Funkcja wykładnicza i logarytmiczna, cd.2
50. Sporządzić wykres funkcji:
a) y = 1 + 12 log2 x2 ,
b) y = log2 (1 − x2 ).
51. Obliczyć: log6 16, jeżeli log12 27 = a.
52. Rozwiązać równanie:
√ x+12
x
a)
3 3−x = 19 ,
b) 21 · 22 · 23 · . . . · 2x = 328−x ,
c) log3 x + log√3 x + log 1 x = 6.
3
53. Rozwiązać nierówność:
a) 32x > 3x + 2,
b) log(x2 −7x+13) 5 > log(x2 −7x+13) 3,
c) log 9 4x
2 +4x
+ 2x
2 +4x−1
−
2
1
2
< 0,
d) log0,5 (2x + 1) < log2 (2 − 3x),
e) log2 (x + 1) + logx+1 2 6 52 ,
f) log 1 (x4 − 5x2 + 4) < −2.
2
Odpowiedzi do zadań
4(3−a)
3+a .
52a. x = − 34 , x = 4.
53b. x ∈ (−∞, 3) ∪ (4, +∞).
√
√
53c. x ∈ (−4, −2 − 3) ∪ (−2 + 3, 0).
52b. x = 5.
53d. x ∈ (− 31 , 12 ).
51.
52c. x = 27.
53a. x > log3 2.
√
53e. x ∈ (−1, 0) ∪ [ 2 − 1, 3].
√
√
53f. x ∈ (−∞, − 5) ∪ ( 5, +∞).
9
Wydział Technologii Żywności
Zadania
9. Funkcje trygonometryczne
54. Obliczyć:
a) tg x wiedząc, że cos x =
3
5
i x ∈ (0, π2 ),
b) sin x wiedząc, że ctg x = 2 i x ∈ (π, 23 π),
c) cos x, wiedząc, że sin x = − 35 i x ∈ ( 32 π, 2π).
d) cos x2 , wiedząc, że cos x = − 23 i x ∈ (π, 2π).
e) tg x2 , wiedząc, że sin x =
3
4
i x ∈ ( π2 , π).
55. Zbadać, które z podanych funkcji są parzyste, a które nieparzyste:
a) y = sin3 x,
b) y = | sin 2x|.
56. Narysować wykres funkcji:
a) y = 2 − sin x,
b) y = 2 sin x2 − 1,
c) y = sin |x|.
57. Udowodnić tożsamość::
a) sin 2x − tg x = cos 2x · tg x,
b) 4 sin4 x + sin2x = 4 sin2 x,
c)
d)
sin 3x
cos 3x
sin x − cos x = 2,
1+tg x
π
1−tg x = tg( 4 + x).
Odpowiedzi do zadań
54a.
4
3.
54b. −
54c.
54d.
4
5,
4
5,
54e.
√
5
5 .
√
4+ 7
3
55a. nieparzysta
55b. parzysta
10
Wydział Technologii Żywności
Zadania
10. Równania i nierówności trygonometryczne
58. Rozwiązać równanie:
√
3
2 ,
a) cos 6x = −
b) cos x (2 cos x + 1) = 1,
1
3
c) cos 2x =
1
9
+
+
1
27
+ ···,
d) tg x + tg3 x + tg5 x + · · · =
2
e) 4cos
x
+2·
sin2 x
1
2
√
3
2 .
= 6,
59. Znaleźć wszystkie wartości x, dla których funkcja y = sin x−cos2 x−1 osiąga wartość najmniejszą.
60. Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji y = sin2 x − sin x + 2.
61. Dla jakich x prawdziwa jest równość: 1 + tg x + tg2 x + · · · =
1
1−tg x ?
62. Rozwiązać nierówność:
a) cos2 x − 5 cos x < 0,
b) cos2 x < 12 ,
c)
2− sin 3x + 4− sin 3x + 8− sin 3x + · · · ¬ 1,
√
d) | sin x| >
3
2 .
63. W przedziale [0, 2π] rozwiązać nierówność:
√
a) 3 tg x − 1 < 0,
√
2
2 ,
cos3 x
b) | cos x| <
c) cos2 x +
+ cos4 x + · · · < 1 + cos x.
Odpowiedzi do zadań
5
+ 13 kπ, x =
58a. x = − 36
5
36
+ 13 kπ, k ∈ Z.
62a. x ∈ − 12 π + 2kπ, 12 π + 2kπ , k ∈ Z.
58b. x = π + 2kπ, x = − 31 π + 2kπ, x = 31 π + 2kπ,
1
3
62b.
x
∈
π
+
kπ,
π
+
kπ
, k ∈ Z.
4
4
k ∈ Z.
58c. x = − 61 π + kπ, x = 16 π + kπ, k ∈ Z.
62c. x = 16 π + 32 kπ, k ∈ Z.
58d. x = 16 π + kπ, k ∈ Z.
62d. x ∈
58e. x = kπ, k ∈ Z.
59. x =
− 16 π
+ 2kπ, x =
7
6π
+ 2kπ, k ∈ Z.
60. Wartość najmniejsza wynosi
większa 4.
7
4,
wartość naj-
61. x ∈ − 14 π + kπ, 14 π + kπ , k ∈ Z.
h
1
3π
+ kπ, 23 π + kπ .
63a. x ∈ 0, 16 π ∪
63b. x ∈
63c. x ∈
1
7
2 π, 6 π
∪
∪
1
3
4 π, 4 π
1
2
3 π, 3 π
.
5
7
4 π, 4 π
4
5
3 π, 3 π
.
.
11
Wydział Technologii Żywności
Zadania
11. Geometria analityczna
√
64. Znaleźć pole oraz kąty trójkąta o wierzchołkach: A = (0, 1), B = (2 3, 1), C = (0, 3).
65. Obliczyć odległość punktu A = (1, 2) od prostej przechodzącej przez punkty B = (4, −2) oraz
C = (1, −6).
66. Znaleźć odległość punktu A = (1, −3) od prostej 3x − 4y + 5 = 0.
67. Dane są wierzchołki trójkąta: A = (1, 2), B = (3, 0), C = (−1, 6). Napisać:
a) równania boków tego trójkąta,
b) równania symetralnych jego boków,
c) równania środkowych,
d) równania wysokości.
68. Obliczyć długości wszystkich wysokości trójkąta o wierzchołkach: A = (2, 1), B = (0, 3), C =
(−2, 2).
69. Dane są równania ramion trójkąta równoramiennego: x − 7y + 4 = 0, x − y − 2 = 0. Znaleźć
wierzchołki trójkąta wiedząc, że punkt P = (1, 2) należy do jego podstawy.
70. Znaleźć punkt symetryczny do punktu A = (1, 2) względem prostej x + y + 3 = 0.
Odpowiedzi do zadań
√
64. S = 2 3, 30◦ , 60◦ , 90◦ .
65. d =
12
5 .
66. d = 4.
67a. x + y − 3 = 0, 3x + 2y − 9 = 0, 2x + y − 4 = 0.
67b. x − y − 1 = 0, 2x − 3y + 7 = 0, x − 2y + 8 = 0.
67c. 5x + 3y − 13 = 0, x − 1 = 0, 4x + 3y − 12 = 0.
67d. x − y + 7 = 0, 2x − 3y + 4 = 0, x − 2y − 3 = 0.
√
√
√
6
68. hA = 25 5, hB = 17
17, hC = 32 2.
69. A1 = (3, 1), B1 = (2, 0), C1 =
4 8
5, 5
1
lub A1 = (3, 1), B1 = (7, 5), C1 = − 13
5 ,5 .
70. A0 = (−5, −4).
12
Wydział Technologii Żywności
Zadania
12. Ciągi
71. Drugi wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 7, zaś szósty 27. Wyznaczyć trzydziesty wyraz tego
ciągu.
72. Obliczyć sumę wszystkich liczb naturalnych mniejszych od 100, które nie są podzielne przez 3.
73. W ciągu arytmetycznym dane są: a1 = 1, S9 = 369, (n = 9). W ciągu geometrycznym zawierającym 9 wyrazów wyraz pierwszy i ostatni są identyczne jak w ciągu arytmetycznym. Znaleźć
siódmy wyraz ciągu geometrycznego
74. Podać definicję ciągu geometrycznego. Zamienić ułamek 3, 2(35) na zwykły.
75. Wyznaczyć ciąg arytmetyczny, w którym suma trzech pierwszych wyrazów wynosi 27, a suma
kwadratów tych wyrazów jest równa 275.
76. Znaleźć sumę wszystkich liczb dwucyfrowych, które przy dzieleniu przez 4 dają resztę równą 1.
77. Rozwiązać równanie:
a) (x + 1) + (x + 4) + (x + 7) + . . . + (x + 28) = 155.
b) x +
x2
2
+
x3
4
+ ... =
3x+1
3 ,
c) log8 x + (log8 x)2 + (log8 x)3 + . . . = 12 ,
e) 31 · 32 · 33 · . . . · 3x =
√
3
2 ,
x−2
3
1
.
27
d) tg x + tg2 x + tg3 x + . . . =
Odpowiedzi do zadań
71. a30 = 147.
77a. x = 1.
72. S = 3267.
77b. x1 = −1, x2 = 23 .
73. a7 = 27.
74.
3203
990 .
77c. x = 2.
75. 5, 9, 13, . . . lub 13, 9, 5, . . . .
77d. x = 16 π + kπ, k ∈ Z.
76. 1210.
77e. x = 1.
13