WMiI - Algebra - Ćwiczenia Arkusz 4
Transkrypt
WMiI - Algebra - Ćwiczenia Arkusz 4
WMiI - Algebra - Ćwiczenia Arkusz 4 - HOMOMORFIZMY I IZOMORFIZMY GRUP Zadanie 1. Udowodnij, że obraz homomorficzny grupy cyklicznej jest grupą cykliczną. Zadanie 2. Udowodnij, że jeśli ϕ : G → F jest homomorfizmem grup oraz ϕ(a) = b i rza < ∞, to rzb | rza. Zadanie 3. Sprawdź, czy dana funkcja ϕ jest homomorfizmem grup. Jeśli tak, to wyznacz jądro i obraz tego homomorfizmu. a) ϕ : C∗ → C∗ c) e) g) ϕ : GL(n, R) → R+ ϕ:R→R ϕ : R∗ → R∗ ϕ(z) = |z| b) ϕ : R+ → R ϕ(a) = loga ϕ(A) = |detA| d) ϕ : GL(2, R) → R ϕ(A) = trA ϕ(a) = 5a √ ϕ(a) = 3 a : R∗ → R∗ f) ϕ h) ϕ : M(2, R) → R ϕ(a) = 5a ϕ(A) = detA. Zadanie 4. Udowodnij, że funkcja ϕ : G → G określona wzorem ϕ(a) = a2 jest homomorfizmem grup wtedy i tylko wtedy, gdy G jest grupą abelową. Zadanie 5. Sprawdź, że funkcja ϕ : GL(n, R) → R∗ określona wzorem ϕ(A) = detA jest epimorfizmem grup. Wyznacz kerϕ. Zadanie 6. Niech G będzie grupą, a ϕ : G × G → G funkcją daną wzorem ϕ((a, b)) = ab. Udowodnij, że φ jest homomorfizmem grup wtedy i tylko wtedy, gdy G jest grupą abelową. Zadanie 7. Udowodnij, że jeśli funkcja ϕ : G → G0 jest epimorfizmem grup, to każda podgrupa H 0 grupy G0 jest postaci ϕ(H), gdzie H jest odpowiednią podgrupą grupy G. Zadanie 8. Niech funkcja ϕ : G → G0 będzie homomorfizmem grup. Udowodnij, że jeśli H 0 jest dzielnikiem normalnym grupy G0 , to ϕ −1 (H 0 ) jest dzielnikiem normalnym grupy G. Wywnioskuj stąd, że kerϕ jest podgrupą grupy G. Zadanie 9. Udowodnij, że funkcja ϕ : Z → Z określona wzorem ϕ(x) = x−5 jest izomorfizmem grupy (Z, +) na grupę (Z, ⊕), gdzie x ⊕ y = x + y + 5 dla dowolnych x, y ∈ Z. Zadanie 10. Udowodnij, że grupy M(2, R) i R4 są izomorficzne. Zadanie 11. Udowodnij, że jeśli funkcja ϕ : G → G0 jest izomorfizmem grup, to funkcja ϕ −1 : G0 → G jest izomorfizmem grup. Zadanie 12. Sprawdź, że dany zbiór M macierzy tworzy grupę względem mnożenia macierzy. Wykaż, że grupa ta jest izomorficzna z grupą Z. 1 + a a) M = a −a : a ∈ Z , 1−a 4a 1 − 2a b) M = −a 1 + 2a : a ∈ Z . Zadanie 13. Sprawdź, że funkcja ϕ : Z → M określona wzorem a a (−1) : a ∈ Z ϕ(a) = 0 (−1)a a (−1) jest izomorfizmem grupy (Z, ⊕), gdzie a⊕b = (−1)a b+(−1)b a na grupę (M, ·), gdzie M = 0 Zadanie 14. Udowodnij, że dana grupa nie jest izomorficzna z grupą Q: 1 : a ∈ Z . a (−1) a WMiI - Algebra - Ćwiczenia b) Q∗ a) Z Zadanie 15. Korzystając z twierdzenia o izomorfizmie grup wykaż, że: a) R∗ /{−1, 1} R+ , b) R∗ /R+ {−1, 1}, c) C/R R, d) C∗ /C1 R+ . 2