Lista 3

Lista 3
Zad.1. Pewien człowiek ma n kluczy, z których tylko jeden pasuje do zamka. Z przyczyn, których
możemy się tylko domyślać, nie pamięta, który to klucz, więc wyciąga kolejno klucze i próbuje
nimi otworzyć drzwi. Niepasujący klucz odkłada i bierze następny. Obliczyć prawdopodobieństwo
tego, że trafi na właściwy klucz za k-tym razem. Wsk. Narysować odpowiednie drzewo.
Zad.2. W puszce są trzy rodzaje losów. Wygrywających jest p, przegrywających q, jest też r losów
„graj dalej”. Po wyciągnieciu takiego losu, wrzucamy go do puszki i dokonujemy ponownego
losowania. Losujemy do momentu wyciągnięcia losu wygrywającego albo przegrywajacego. Jakie
jest prawdopodobieństwo wygranej?
Zad.3. W zbiorze 100 monet jest 99 prawdziwych, a jedna ma po obu stronach orły. Wybraliśmy
losowo jedną monetę i rzucili nią 5 razy, otrzymując 5 orłów.
a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to moneta z orłami po obu stronach?
b) Jakie jest to prawdopodobieństwo, gdy dodatkowo rzucimy 15 razy tą monetą i otrzymamy
15 orłów?
Zad.4. Pewną bakterią zarażone jest 5% populacji. Test do badania jej obecności wykrywa rzeczywistą obecność bakterii w 99 przypadkach na 100, natomiast w przypadku jej braku stwierdza
jednak jej obecność w 5 przypadkach na 100. Wylosowano jedną osobę i test stwierdził u niej
obecność tej bakterii. Obliczyć prawdopodobieństwo, że tak jest naprawdę, tzn. wylosowana osoba jest zarażona tą bakterią.
Zad.5. Telegraficzne przekazywanie informacji polegało na przesyłaniu alfabetem Morse’a „kropek” lub „kresek”. Zauważmy, że jest to dokładnie ten sam sposób, z którego korzystamy dziś w
informatyce: „kropka” to 0, a „kreska” to 1.
Załóżmy, że przy wysłaniu sygnału „kropka” następuje przekłamanie w 2 przypadkach na 15
(to znaczy wysłano kropkę, a odczytano to jako kreskę), a przy wysłaniu „kreski” przekłamanie
następuje w jednym przypadku na 10. Wiemy też, że stosunek liczby wysyłanych „kropek” do
„kresek” wynosi 5 do 3.
Odbiorca otrzymał „kropkę”. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzeczywiście wysłano „kropkę”.
***************
Poniższe zadanie jest nieco trudniejsze, ale bardzo ciekawe, bo istnieją teleturnieje oparte na tej
zasadzie.
Zad.6. Pewien teleturniej polega na wybieraniu bramy, za którą jest nagroda. Są trzy bramy,
z numerami 1, 2 i 3, ale nagroda jest tylko za jedną, za pozostałymi dwiema bramami nie
ma nic. Prowadzący oczywiście wie, za którą bramą jest nagroda. Uczestnik wybrał już bramę
numer 2. Ponieważ nie mamy żadnej informacji, a nagroda może być za każdą z bram, więc
prawdopodobieństwo, że za bramą numer 2 jest nagroda wynosi 13 . Następnie prowadzący otwiera
jedną bramę — jedną z tych, za którymi nie ma nic. Dla ustalenia uwagi powiedzmy, że jest to
brama numer 1. Po otwarciu tej bramy prowadzący pyta gracza, czy chce zmienić swój wybór i
wybrać teraz bramę numer 3.
Co powinien zrobić gracz tzn. pozostać przy wyborze bramy numer 2, czy wybrać bramę numer
3? Innymi słowy: jakie jest teraz (po otwarciu bramy numer 1) prawdopodobieństwo, że nagroda
jest za wybraną bramą numer 2?