KLASA I zestaw 3

KLASA I
zestaw 3
Za każde z poniższych zadań można uzyskać 10 punktów.
Rozwiązania należy oddać do 4.02.2011 r.
1. Wykaż, że dla a ∈ (2, 3) zachodzi równość:
√
√
a2 − 6a + 9
a2 − 4a + 4
+
= 2.
3−a
a−2
2. Rozłożono 100 cukierków na 5 talerzach. Na 1 i 2 talerzu znalazły się łącznie 52 cukierki, na 2 i 3
talerzu - 43 cukierki, na 3 i 4 talerzu - 34 cukierki, a na 4 i 5 talerzu - 30 cukierków. Ile cukierków
znajdowało się na każdym talerzu?
3. Podaj ostatnią cyfrę liczby 32011 . Odpowiedź uzasadnij.
4. Suma cyfr liczby trzycyfrowej wynosi 15. Jeżeli zamienimy cyfrę setek i cyfrę jednostek, to otrzymamy liczbę o 396 większą. Znajdź tę liczbę, jeżeli wiadomo, że cyfra środkowa jest średnią
arytmetyczną cyfr skrajnych.
5. Zn oznacza zbiór wszystkich możliwych reszt z dzielenia liczb całkowitych przez ustaloną liczbę
naturalną n 6= 0. Np.:
Z2 = {0, 1} , Z3 = {0, 1, 2} , Z4 = {0, 1, 2, 3} .
Jeśli dany jest zbiór Zn , to można w nim określić dwa działania zwane dodawaniem modulo n
(⊕n ) i mnożeniem modulo n (n ). Działania te określamy następująco:
• a ⊕n b = reszta z dzielenia (a + b) przez n;
• a n b = reszta z dzielenia (a · b) przez n.
Znajdź wszystkie elementy x ze zbioru Z8 , dla których prawdziwa jest równość:
5 ⊕8 3 = 4 8 x .
6. Mając dany odcinek jednostkowy,
za pomocą cyrkla i linijki znajdź na osi liczbowej punkt odpo√
wiadający liczbie 1 + 5.
7. Znajdź dziedzinę funkcji:
f (x) =
√
x+
√
1
x+1+ √
.
2 x−2
8. Uzasadnij na podstawie definicji, że funkcja:
f (x) = |x − 1|
jest malejąca na zbiorze R− .
9. Naszkicuj wykres funkcji f : < −5, 5 >−→ (−2, 4), która ma następujące własności:
a) Df =< −5, 5 > i ZWf = (−2, 4);
b) f ma 5 miejc zerowych;
c) f (−5) = 1.
10. Wyznacz miejsce zerowe funkcji:
f (x) =
2(x + 21 )(x − 6)
q
.
2 − 13 x