Treść wykładu

Transkrypt

Treść wykładu

Pierścienie wielomianów
Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa
Pierścienie ilorazowe wielomianów
Treść wykładu
Pierścienie wielomianów.
Definicja
Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o
współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f0 , f1 , f2 , . . .),
gdzie wyrazy ciągu f są prawie wszystkie równe 0 (tzn. istnieje
takie n, że fm = 0 dla m > n).
Definicja
W zbiorze wielomianów wprowadzamy działania:
f +g = (f0 , f1 , f2 , . . .)+(g0 , g1 , g2 , . . .) = (f0 +g0 , f1 +g1 , f2 +g2 , . . .)
Definicja
W zbiorze wielomianów wprowadzamy działania:
f +g = (f0 , f1 , f2 , . . .)+(g0 , g1 , g2 , . . .) = (f0 +g0 , f1 +g1 , f2 +g2 , . . .)
fg = (f0 g0 , f0 g1 + f1 g0 , f0 g2 + f1 g1 + f2 g0 , . . .)
Po wprowadzeniu oznaczeń:
(0, 0, 0, . . .) = 0, (1, 0, 0, . . .) = 1, (0, 1, 0, . . .) = X
(0, 0, 0, . . .) = 0, (1, 0, 0, . . .) = 1, (0, 1, 0, . . .) = X
widzimy, że
(0, 0, 1, 0, . . .) = X 2 , (0, 0, 0, 1, 0, . . .) = X 3 itd.
(0, 0, 0, . . .) = 0, (1, 0, 0, . . .) = 1, (0, 1, 0, . . .) = X
widzimy, że
(0, 0, 1, 0, . . .) = X 2 , (0, 0, 0, 1, 0, . . .) = X 3 itd.
Możemy wobec tego napisać:
f = (f0 , f1 , f2 , . . . , fn ) = f0 + f1 X + f2 X 2 + . . . + fn X n
i wtedy działania na wielomianach można wykonywać ”normalnie”.
(0, 0, 0, . . .) = 0, (1, 0, 0, . . .) = 1, (0, 1, 0, . . .) = X
widzimy, że
(0, 0, 1, 0, . . .) = X 2 , (0, 0, 0, 1, 0, . . .) = X 3 itd.
Przykład. Niech P = Z6 . Znaleźć sumę i iloczyn wielomianów
f = 2X 2 + 3X + 2, g = X 4 + 4X 3 + 2X 2 + 5X + 1.
(0, 0, 0, . . .) = 0, (1, 0, 0, . . .) = 1, (0, 1, 0, . . .) = X
widzimy, że
(0, 0, 1, 0, . . .) = X 2 , (0, 0, 0, 1, 0, . . .) = X 3 itd.
Przykład. Niech P = Z6 . Znaleźć sumę i iloczyn wielomianów
f = 2X 2 + 3X + 2, g = X 4 + 4X 3 + 2X 2 + 5X + 1.
(Odp. f + g = X 4 + 4X 3 + 4X 2 + 2X + 3;
fg = 2X 6 + 5X 5 + 3X 2 + X + 2).
Zmienna X , która pojawia się w zapisie, pełni rolę czysto formalną
— ułatwia zapis wielomianu i wykonywanie działań na
wielomianach.
wielomianach.
Jeśli w miejsce X będziemy podstawiać elementy pierścienia P, to
po wykonaniu działań otrzymamy element pierścienia P.
wielomianach.
A więc każdemu wielomianowi o współczynnikach z P można
przyporządkować funkcję wielomianową f : P −→ P :
P 3 a −→ f0 + f1 a + . . . + fn an ∈ P.
wielomianach.
A więc każdemu wielomianowi o współczynnikach z P można
przyporządkować funkcję wielomianową f : P −→ P :
P 3 a −→ f0 + f1 a + . . . + fn an ∈ P.
Element f0 + f1 a + · · · + fn an nazywać będziemy wartością
wielomianu w punkcie a ∈ P.
Rozróżnienie między wielomianami a funkcjami wielomianowymi
nie jest tylko formalizmem. Często dwa różne wielomiany określają
tę samą funkcję.
tę samą funkcję.
Np. w pierścieniu Z3 wielomiany 1 + X oraz 1 + X 3 wyznaczają tę
samą funkcję: 0 −→ 1, 1 −→ 2, 2 −→ 0.
tę samą funkcję.
Np. w pierścieniu Z3 wielomiany 1 + X oraz 1 + X 3 wyznaczają tę
samą funkcję: 0 −→ 1, 1 −→ 2, 2 −→ 0.
Przy odpowiednich założeniach o pierścieniu P odpowiedniość:
wielomian −→ funkcja wielomianowa
jest wzajemnie jednoznaczna.
Twierdzenie
Zbiór wszystkich wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach z
P z działaniami + i · oraz wyróżnionymi wielomianami 0 i 1 jest
pierścieniem.
Oznaczamy go przez P[X ].
Stopień wielomianu f , tzn. największą z liczb n, dla których fn 6= 0,
będziemy oznaczali przez deg f . Przyjmujemy, że deg 0 = −∞.
Łatwo zauważyć, że
deg(f + g ) ¬ max(deg f , deg g ),
deg(fg ) ¬ deg f + deg g .
Zadanie. Na przykładzie odpowiednio dobranych wielomianów z
pierścienia Z6 [X ] wykazać, że stopień iloczynu wielomianów może
być mniejszy od sumy stopni czynników.
(Odp. np. (2X 2 )(3X 5 ) = 0).
(Odp. np. (2X 2 )(3X 5 ) = 0).
Jeżeli najwyższy współczynnik wielomianu f (lub wielomianu g )
nie jest dzielnikiem zera, to deg(fg ) = deg f + deg g .
Twierdzenie
Niech P będzie pierścieniem, a f wielomianem z P[X ], którego
najwyższy współczynnik nie jest dzielnikiem zera. Wówczas f nie
jest dzielnikiem zera w P[X ]. Jeżeli P jest dziedziną całkowitości,
to i P[X ] jest dziedziną całkowitości.
Twierdzenie
Niech P będzie pierścieniem, a f wielomianem z P[X ], którego
najwyższy współczynnik nie jest dzielnikiem zera. Wówczas f nie
jest dzielnikiem zera w P[X ]. Jeżeli P jest dziedziną całkowitości,
to i P[X ] jest dziedziną całkowitości.
D o w ó d. Niech fg = 0. Wówczas deg f + deg g = −∞. Ponieważ
deg f > 0, więc deg g = −∞, a stąd g = 0. Pierścienie wielomianów
Dzielenie wielomianów
Definicja
Niech f , g ∈ P[X ]. Mówimy, że w P[X ] jest wykonalne dzielenie
z resztą wielomianu g przez wielomian f , gdy istnieją takie
wielomiany q, r ∈ P[X ], że g = fq + r , przy czym deg r < deg f .
Definicja
Wielomian f nazywamy unormowanym, jeżeli f 6= 0 i jego
najwyższy współczynnik jest równy 1.
Definicja
Wielomian f nazywamy unormowanym, jeżeli f 6= 0 i jego
najwyższy współczynnik jest równy 1.
Twierdzenie
Jeżeli f ∈ P[X ] jest wielomianem unormowanym, a g ∈ P[X ]
dowolnym wielomianem, to w P[X ] jest wykonalne dzielenie z
resztą g przez f .
D o w ó d. Twierdzenie jest prawdziwe gdy deg g < deg f (wtedy
q = 0, r = g ).
q = 0, r = g ).
Niech m = deg g , m n, n = deg f . Załóżmy, że twierdzenie jest
prawdziwe dla wielomianu g stopnia mniejszego niż m.
q = 0, r = g ).
Niech teraz deg g = m i niech g − gm X m−n f = h.
q = 0, r = g ).
W wielomianie h współczynnik przy X m jest równy 0. Stąd
deg h < m.
q = 0, r = g ).
deg h < m.
Na mocy założenia indukcyjnego istnieją takie q, r ∈ P[X ],
deg r < n, że h = fq + r .
q = 0, r = g ).
deg h < m.
Na mocy założenia indukcyjnego istnieją takie q, r ∈ P[X ],
deg r < n, że h = fq + r .
Wobec tego
g = gm X m−n f + h = gm X m−n f + fq + r = (gm X m−n + q)f + r ,
co należało wykazać. Pierścienie wielomianów
Z twierdzenia 3 wynika, że dzielenie dwóch wielomianów jest
wykonalne, gdy dzielnik można unormować. Tak więc w pierścieniu
wielomianów nad ciałem wykonalne jest dzielenie dowolnych dwu
wielomianów; jeśli natomiast pierścień współczynników nie jest
ciałem, to dzielenie nie zawsze będzie możliwe.
Z twierdzenia 3 wynika, że dzielenie dwóch wielomianów jest
wykonalne, gdy dzielnik można unormować. Tak więc w pierścieniu
wielomianów nad ciałem wykonalne jest dzielenie dowolnych dwu
wielomianów; jeśli natomiast pierścień współczynników nie jest
ciałem, to dzielenie nie zawsze będzie możliwe.
Przykład. W pierścieniu Z5 [X ] wykonać dzielenie
(X 3 + 2X 2 + 4X + 3) : (3X 2 + 2). Uwaga : 3 jest odwracalne w Z5
i 3−1 = 2. (Odp.: 2X + 4).
Niech P = Z lub P = K [x] (K – ciało), i niech a, b będą
dowolnymi elementami pierścienia P. Algorytm Euklidesa
znajdowania największego wspólnego dzielnika nwd(a, b) polega na
wykonywaniu kolejnych dzieleń:
a
=
bq1 + r1
a
=
bq1 + r1
b
=
r1 q2 + r2
a
=
bq1 + r1
b
=
r1 q2 + r2
r1
=
r2 q3 + r3
a
=
bq1 + r1
b
=
r1 q2 + r2
r1
=
r2 q3 + r3
... ... ...
a
=
bq1 + r1
b
=
r1 q2 + r2
r1
=
r2 q3 + r3
... ... ...
rn−2
=
rn−1 qn + rn
a
=
bq1 + r1
b
=
r1 q2 + r2
r1
=
r2 q3 + r3
... ... ...
rn−2
=
rn−1 qn + rn
rn−1
=
rn qn+1
dopóki nie uzyskamy reszty 0.
a
=
bq1 + r1
b
=
r1 q2 + r2
r1
=
r2 q3 + r3
... ... ...
rn−2
=
rn−1 qn + rn
rn−1
=
rn qn+1
dopóki nie uzyskamy reszty 0.
Ostatnia niezerowa reszta to właśnie nwd(a, b).
Ten sam algorytm może służyć do przedstawienia nwd(a, b)
explicite przez kombinację sa + tb.
Przykład. Wyznaczyć w pierścieniu R[X ] największy wspólny
dzielnik d(X ) wielomianów
f (X ) = X 5 + X 4 + X 3 + X 2 + X + 1
g (X ) = X 4 + X 3 + 2X 2 + X + 1
i przedstawić go w postaci d(X ) = a(X )f (X ) + b(X )g (X ).
Przykład. Wyznaczyć w pierścieniu R[X ] największy wspólny
dzielnik d(X ) wielomianów
f (X ) = X 5 + X 4 + X 3 + X 2 + X + 1
g (X ) = X 4 + X 3 + 2X 2 + X + 1
i przedstawić go w postaci d(X ) = a(X )f (X ) + b(X )g (X ).
Odp.
d(X ) = 2(X 2 + X + 1)
d(X ) = (X + 1)f (X ) + (−X 2 − X + 1)g (X ).
Obliczanie wartości wielomianów
Niech f ∈ P[X ], f (X ) = an X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0 . Aby
obliczyć wartość f (x) dla jakiegoś x ∈ P, można obliczać każdy
człon osobno i potem dodać. Wymaga to j mnożeń do obliczenia
j–tego składnika, czyli 1 + 2 + · · · + n = n(n + 1)/2 mnożeń oraz n
dodawań.
dodawań.
Poprawimy efektywność, jeśli będziemy wykorzystywać już
obliczone wartości licząc x j+1 = xx j . Wtedy wymaga to 2n − 1
mnożeń oraz n dodawań.
dodawań.
Jednak najbardziej efektywny sposób znajdziemy pisząc wielomian
w postaci zagnieżdżonej:
f (x) = (· · · ((an x + an−1 )x + an−2 ) x + · · · ) x + a0 .
dodawań.
Jednak najbardziej efektywny sposób znajdziemy pisząc wielomian
w postaci zagnieżdżonej:
f (x) = (· · · ((an x + an−1 )x + an−2 ) x + · · · ) x + a0 .
Ten schemat postępowania (schemat Hornera) wymaga tylko n
Schemat Hornera zapisujemy następująco:
an
an−1 an−2
· · · a1
a0
xbn
xbn−1 · · · xb2 xb1
x bn = an bn−1 bn−2
· · · b1
b0 = f (x)
Liczby pojawiające się po drodze mają interesującą interpretację.
Okazuje się bowiem, że
f (X ) = (bn X n−1 + bn−1 X n−2 + · · · + b2 X + b1 )(X − x) + b0 .
Liczby pojawiające się po drodze mają interesującą interpretację.
Okazuje się bowiem, że
f (X ) = (bn X n−1 + bn−1 X n−2 + · · · + b2 X + b1 )(X − x) + b0 .
Sprawdzenie. Porównując współczynniki po lewej i prawej stronie
otrzymujemy układ równości:
bn = an
bn−1 − bn a = an−1
.. .. ..
. . .
b2 − b3 a = a2
b1 − b2 a = a1
b0 − b1 a = a0 ,
czyli:
bn = an
bn−1 = bn a + an−1
.. .. ..
. . .
b2 = b3 a + a2
b1 = b2 a + a1
b0 = b1 a + a0 .
czyli:
bn = an
bn−1 = bn a + an−1
.. .. ..
. . .
b2 = b3 a + a2
b1 = b2 a + a1
b0 = b1 a + a0 .
A więc wielomian q = bn X n−1 + bn−1 X n−2 + · · · + b2 X + b1 jest
ilorazem z dzielenia f (X ) przez X − x.
Niech P będzie pierścieniem, a I jego ideałem.
Jeżeli I C P, to I jest dzielnikiem normalnym grupy (P, +). Można
więc utworzyć grupę ilorazową P/I . Jej elementami są warstwy
względem podgrupy I . Warstwę zawierającą element a oznaczamy
a + I . W grupie ilorazowej określimy mnożenie wzorem:
(a + I )(b + I ) = ab + I .
Grupa P/I po wprowadzeniu w niej mnożenia uzyskuje strukturę
pierścienia. Pierścień ten nazywamy pierścieniem ilorazowym.
Jeżeli ideał jest generowany przez zbiór jednoelementowy, to
nazywamy go głównym. Pierścień całkowity, którego każdy ideał
jest główny, nazywamy pierścieniem ideałów głównych.
Wniosek
Ideał główny (a) generowany przez element a ∈ P jest zbiorem
elementów postaci ab, gdzie b ∈ P.
Twierdzenie
Każdy ideał pierścienia liczb całkowitych Z jest główny.
Opis pierścienia ilorazowego wielomianów
Rozważmy pierścień K [X ] wielomianów nad ciałem K .
Twierdzenie
Każdy ideał pierścienia K [X ] jest główny.
Zatem każdy ideał P pierścienia K [X ] jest generowany przez
pewien wielomian p(X ), tj. składa się ze wszystkich wielomianów
podzielnych przez p(X ).
Wobec tego elementami pierścienia ilorazowego K [X ]/P są klasy
równoważności relacji na K [X ] określonej warunkiem
f (X ) = g (X ) mod (p(X ))
wtedy i tylko wtedy, gdy
f (X ) − g (X ) ∈ (p(X ))
Lemat
f (X ) = g (X ) mod (p(X )) wtedy i tylko wtedy, gdy f (X ) i g (X )
dają tę samą resztę przy dzieleniu przez p(X ).
Zatem każda warstwa [f (X )] zawiera resztę z dzielenia f (X ) przez
p(X ). Z poniższego twierdzenia wynika, że ta reszta jest
jednoznacznie określona.
Twierdzenie
Niech K [X ] będzie ciałem K i niech P oznacza ideał generowany
przez wielomian p(X ) stopnia n > 0. Każdy element pierścienia
ilorazowego K [X ]/P jest postaci
P + a0 + a1 X + · · · + an−1 X n−1 ,
gdzie a0 , a1 , . . . , an−1 ∈ K , przy czym różnym ciągom
a0 , a1 , . . . , an−1 odpowiadają różne elementy.
Przykład. Napisać tabelki operacji w pierścieniu
Z2 [X ]/(X 2 + X + 1).
Możliwe reszty z dzielenia przez X 2 + X + 1 to 0, 1, X , X + 1. Są
więc 4 warstwy:
P, P + 1, P + X , P + X + 1.
Tabelka dodawania:
+
P
P +1
P +X
P +X +1
P
P
P +1
P +X
P +X +1
P
P
P
P
P
+1
+1
+X +1
+X
P
P
P
P
P
+X
+X
+X +1
+1
P
P
P
P
P
+X +1
+X +1
+X
+1
Tabelka mnożenia:
·
P
P +1
P +X
P +X +1
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
+1
+1
+X
+X +1
P
P
P
P
P
+X
+X
+X +1
+1
P
P
P
P
P
+X +1
+X +1
+1
+X
Przy obliczaniu iloczynów uwzględniamy fakt, że
P + X 2 + X + 1 = P (czyli praktycznie X 2 + X + 1 = 0, bądź
równoważnie X 2 = X + 1).
Elementy pierścienia ilorazowego można oznaczać: [f (X )] lub
P + f (X ), ale najpraktyczniej jest oznaczać je po prostu jako
a0 + a1 X + · · · + an−1 X n−1 , bo taki wielomian określa warstwę
jednoznacznie.
Jeżeli P = (p(X )) oraz deg p(X ) = n, to elementami pierścienia
ilorazowego są wszystkie wielomiany stopnia mniejszego od n. Ilość
tych wielomianów zależy od ciała K .
Przykład. Niech p(X ) = X 2 + 1. Wtedy pierścień ilorazowy składa
się z wielomianów postaci a1 X + a0 , gdzie a0 , a1 ∈ K . Zatem
1
jeśli K = R, to jest nieskończenie wiele takich wielomianów;
2
jeśli K = Z2 , to są 4 takie wielomiany;
3
jeśli K = Z3 , to jest 9 takich wielomianów;
4
jeśli K = Z5 , to jest 25 takich wielomianów;
Mnożenie warstw (czyli wielomianów) wykonujemy w tym
pierścieniu modulo X 2 + 1, co praktycznie oznacza, że X 2
zastępujemy przez −1.
Zatem
1
jeśli K = R, to (a + bX )(c + dX ) =
ac + (ad + bc)X + bdX 2 = (ac − bd) + (ad + bc)X ;
2
jeśli K = Z2 , to np. (X + 1)2 = X 2 + 1 = 0;
3
jeśli K = Z3 , to np. (X + 2)2 = X 2 + X + 1 = 2X ;
4
jeśli K = Z5 , to np.
(X + 2)2 = X 2 + 4X + 4 = −1 + 4X + 4 = 4X .
Należy pamiętać, że elementami pierścienia ilorazowego są warstwy
względem ideału (p(X )), czyli zbiory wielomianów. Warstwa
zawiera tylko jeden wielomian stopnia mniejszego niż deg p(X ),
i ten wielomian jest jej reprezentantem.

Treść wykładu

Transkrypt

Podobne dokumenty

Zadania z matematyki IE, I rok, studia dzienne. Lista nr 10 1. Niech

Uwagi bibliograficzne do mojego referatu ”Pewien - PL

Dowód wzorów Viete`a

Projekt 1 -Interpolacja-Aproksymacja

Księgarnia PWN: Jerzy Rutkowski – Algebra abstrakcyjna w

n2n2 ·xn2 ((2n)!)

Definicja wielomianów

Regionalne Koło Matematyczne

dr inż. Witold Tomaszewski

teoria