Dowód wzorów Viete`a

Dowód Faktu* 2.3.5 (wzory Viete’a)
Zachodzi równość
cn z n + cn−1 z n−1 + . . . + c1 z + c0 = cn (z − z1 ) · (z − z2 ) · . . . · (z − zn ).
Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki obu wielomianów przy kolejnych
potęgach zmiennej z są równe. Przyrównujemy zatem współczynniki obu wielomianów przy z k dla
k = 0, 1, 2, . . . , n − 1 i otrzymujemy równość
ck = cn
X
(−1)n−k zi1 zi2 · . . . · zin−k .
Sumowanie w powyższym wzorze przebiega po wszystkich ciągach (i1 , i2 , . . . , in−k!
) wskaźników,
n
gdzie i1 , i2 , . . . , in−k ∈ {1, 2, . . . , n} oraz i1 < i2 < . . . < in−k . W sumie jest
składników.
k
Stąd mamy
X
(−1)n−k ck
zi1 zi2 . . . zin−k =
.
cn
Dla k = n−1 zachodzi wzór z1 +z2 +. . .+zn = − cn−1
cn . Dla k = n−2 mamy z1 z2 +z1 z3 +. . .+zn−1 zn =
cn−2
cn ,
itd. I w końcu dla k = 0 otrzymujemy z1 z2 . . . zn =
(−1)n c0
.
cn
To kończy dowód.