Równania ró˙zniczkowe czastkowe rzedu pierwszego
Transkrypt
Równania ró˙zniczkowe czastkowe rzedu pierwszego
Równania różniczkowe cza̧stkowe rzȩdu pierwszego 1 Równania liniowe jednorodne Rozważmy równanie a1 (x1 , . . . , xn ) ∂u ∂u + . . . + an (x1 , . . . , xn ) = 0, ∂x1 ∂xn (1) gdzie ai , i = 1, . . . , n sa̧ dane, a funkcja u = u(x1 , . . . , xn ) jest nieznana. Wprowadzaja̧c oznaczenie X = (x1 , . . . , xn ) równanie można zapisać w postaci n X ai (X) i=1 ∂u = 0. ∂xi W przypadku n = 2 równanie (1) można zapisać a(x, y) ∂u ∂u + b(x, y) = 0, ∂x ∂y (2) gdzie a, b - dane funkcje, a u = u(x, y) - funkcja niewiadoma. W przypadku n = 3 równanie (1) można zapisać a(x, y, z) ∂u ∂u ∂u + b(x, y, z) + c(x, y, z) = 0, ∂x ∂y ∂z (3) gdzie a, b, c - dane funkcje, a u = u(x, y, z) - funkcja niewiadoma. Jeżeli u(X) jest rozwia̧zaniem równania (1) w pewnym obszarze D ⊂ Rn , to powierzchniȩ o równaniu u = u(X) nazywamy powierzchnia̧ calkowa̧ tego równania w obszarze Ω ⊂ Rn+1 . Uklad równań różniczkowych zwyczajnych dx2 dxn dx1 = = ... = a1 (X) a2 (X) an (X) (4) nazywamy ukladem równań w postaci symetrycznej odpowiadaja̧cemu równaniu (1). Równania (4) nazywamy równaniami charakterystycznymi równania (1), a ich rozwia̧zania charakterystykami tego równania. Uklad (4) ma n − 1 niezależnych rozwia̧zań ψ1 (X) = C1 , ψ2 (X) = C2 , . . . , ψn−1 (X) = Cn−1 . Funkcje ψj = ψj (X), j = 1, 2, . . . , n − 1 nazywamy calkami pierwszymi ukladu (4). Tak wiȩc uklad ten ma n − 1 niezależnych calek ψ1 = ψ1 (X), ψ2 = ψ2 (X), . . . , ψn−1 = ψn−1 (X). 1 (5) Równość u = F (ψ1 , ψ2 , . . . , ψn−1 ), gdzie F jest dowolna̧ funkcja̧ klasy C 1 , nazywamy rozwia̧zaniem ogólnym równania (1). W przypadku równania (2) uklad (4) redukuje siȩ do jednego równania dy dx = . a(x, y) b(x, y) Jeżeli ψ(x, y) jest calka̧ tego równania, to rozwia̧zaniem ogólnym równania (2) jest u = F (ψ(x, y)), gdzie F jest dowolna̧ funkcja̧ klasy C 1 . Przyklad Znaleźć rozwia̧zanie ogólne równania y ∂u ∂u +x = 0. ∂x ∂y Mamy dy dx = , y x ska̧d znajdujemy x2 − y 2 = C, ψ = x2 − y 2 , czyli rozwia̧zaniem ogólnym danego równania jest u = F (x2 − y 2 ). W przypadku równania (3) uklad (4) jest postaci dy dz dx = = . a(x, y, z) b(x, y, z) c(x, y, z) Jeżeli ψ1 (x, y, z) i ψ2 (x, y, z) sa̧ calkami tego ukladu, to rozwia̧zaniem ogólnym równania (3) jest u = F (ψ1 (x, y, z), ψ2 (x, y, z)), gdzie F jest dowolna̧ funkcja̧ klasy C 1 . Przyklad Znaleźć rozwia̧zanie ogólne równania x ∂u ∂u z ∂u +y + = 0. ∂x ∂y 2 ∂z Mamy dx dy dz = = 1 , x y z 2 ska̧d znajdujemy z2 = C2 , x x = C1 , y wobec czego uklad ma dwie niezależne calki ψ1 = y , x ψ2 = 2 z2 , x tak wiȩc rozwia̧zaniem ogólnym danego rówania jest y z2 , . u=F x x Zagadnienie Cauchy’ego dla równania (1) polega na wyznaczeniu rozwia̧zania tego równania spelniaja̧cego warunek pocza̧tkowy u = ϕ(x2 , . . . , xn ), x1 = x01 , (6) gdzie x01 ∈ R. Aby rozwia̧zać zagadnienie Cauchy’ego postȩpujemy wedlug schematu: • do ukladu calek pierwszych (5) podstawiamy x1 = x01 i otrzymane funkcje oznaczamy przez ψ j , j = 1, 2, . . . , n − 1, czyli otrzymujemy uklad równań ψ1 (x01 , x2 , . . . , xn ) = ψ 1 ψ2 (x01 , x2 , . . . , xn ) = ψ 2 ........................... ψn−1 (x01 , x2 , . . . , xn ) = ψ n−1 • rozwia̧zujemy powyższy uklad wzglȩdem xi , i = 2, 3, . . . , n x = ω ψ , ψ , . . . , ψ 2 2 1 2 n−1 x3 = ω3 ψ 1 , ψ 2 , . . . , ψ n−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xn = ωn ψ 1 , ψ 2 , . . . , ψ n−1 • podstawiamy do równości (6) zamiast xi funkcje ωi , zastȩpuja̧c ψ j przez ψj , otrzymujemy u = ϕ (ω2 (ψ1 , . . . , ψn−1 ), . . . , ωn (ψ1 , . . . , ψn−1 )) , co daje szukane rozwia̧zanie zagadnienia Cauchy’ego. W przypadku n = 2 warunek (6) można zapisać w postaci u = ϕ(y), x = x0 , a w przypadku n = 3 w postaci u = ϕ(y, z), gdzie x0 ∈ R. Przyklad x = x0 , Znaleźć rozwia̧zanie zagadnienia Cauchy’ego y ∂u ∂u +x = 0, ∂x ∂y y > 0, u = 2y, x = 0. Calka pierwsza tego równania ma postać ψ = x2 − y 2 . Na rozwia̧zanie zagadnienia Cauchy’ego otrzymujemy wiȩc równanie −y 2 = ψ, 3 ska̧d q −ψ. y= Zatem poszukiwane rozwia̧zanie jest postaci p u = 2 −ψ lub p u(x, y) = 2 y 2 − x2 . Przyklad Znaleźć rozwia̧zanie zagadnienia Cauchy’ego x ∂u z ∂u ∂u +y + = 0, ∂x ∂y 2 ∂z u = y + z2, x = 1. Calkami pierwszymi tego równania sa̧ ψ1 = y , x ψ2 = z2 . x Na rozwia̧zanie zagadnienia Cauchy’ego otrzymujemy wiȩc uklad równań y = ψ1 z2 = ψ2 q ska̧d y = ψ 1 , z = ± ψ 2 . Tak wiȩc poszukiwanym rozwia̧zaniem jest u = ψ1 + ψ2 lub u(x, y, z) = 2 y + z2 . x Równanie quasi-liniowe Rozważmy równanie a1 (x1 , . . . , xn , u) ∂u ∂u + . . . + an (x1 , . . . , xn , u) = f (x1 , . . . , xn , u), ∂x1 ∂xn (7) gdzie ai , i = 1, . . . , n i f sa̧ dane, a funkcja u = u(x1 , . . . , xn ) jest nieznana. Wprowadzaja̧c oznaczenie X = (x1 , . . . , xn ) równanie można zapisać w postaci n X i=1 ai (X, u) ∂u = f (X, u). ∂xi W przypadku n = 2 równanie (7) można zapisać a(x, y, u) ∂u ∂u + b(x, y, u) = f (x, y, u), ∂x ∂y gdzie a, b, f - dane funkcje, a u = u(x, y) - funkcja niewiadoma. 4 (8) W przypadku n = 3 równanie (7) można zapisać a(x, y, z, u) ∂u ∂u ∂u + b(x, y, z, u) + c(x, y, z, u) = f (x, y, z, u), ∂x ∂y ∂z (9) gdzie a, b, c, f - dane funkcje, a u = u(x, y, z) - funkcja niewiadoma. Jeżeli u(X) jest rozwia̧zaniem równania (7) w pewnym obszarze D ⊂ Rn , to powierzchniȩ o równaniu u = u(X) nazywamy powierzchnia̧ calkowa̧ tego równania w obszarze Ω ⊂ Rn+1 . Uklad równań różniczkowych zwyczajnych dx1 dx2 dxn du = = ... = = a1 (X, u) a2 (X, u) an (X, u) f (X, u) (10) nazywamy ukladem równań w postaci symetrycznej odpowiadaja̧cemu równaniu (7). Równania (10) nazywamy równaniami charakterystycznymi równania (7), a ich rozwia̧zania charakterystykami tego równania. Uklad (9) ma n niezależnych rozwia̧zań ψ1 (X, u) = C1 , ψ2 (X, u) = C2 , . . . , ψn (X, u) = Cn . Funkcje ψj = ψj (X, u), j = 1, 2, . . . , n nazywamy calkami pierwszymi ukladu (10). Tak wiȩc uklad ten ma n niezależnych calek ψ1 = ψ1 (X, u), ψ2 = ψ2 (X, u), . . . , ψn = ψn (X, u). (11) Równość Ψ(ψ1 , ψ2 , . . . , ψn ) = 0, gdzie Ψ jest dowolna̧ funkcja̧ klasy C 1 , nazywamy rozwia̧zaniem ogólnym równania (7) w postaci uwiklanej. Rozwia̧zuja̧c je wzglȩdem u otrzymamy rozwia̧zanie w postaci jawnej. Przyklad Znaleźć rozwia̧zanie ogólne równania x ∂u ∂u −u = 0. ∂x ∂y Mamy dx dy du = = , x −u 0 ska̧d du = 0, u = C1 , dx dy y = , ln x = − + C2 , x −C1 C1 wobec czego calkami pierwszymi tego równania sa̧ ψ1 = u, y ψ2 = ln x + , u czyli rozwia̧zaniem ogólnym danego równania jest y Ψ u, ln x + = 0. u Przyklad Znaleźć rozwia̧zanie ogólne równania x ln x + ∂u ∂u + (y + x2 ) = u. ∂x ∂y 5 y = C2 , u Mamy dy dx du = , = x y + x2 u ska̧d dx dy = , x y + x2 y − x2 = C1 , x y = x(C1 + x), dx du u = , = C2 , x u x wobec czego calkami pierwszymi tego równania sa̧ ψ1 = y − x2 , x u = C2 , x ψ2 = u , x czyli rozwia̧zaniem ogólnym danego równania jest y − x2 u Ψ , = 0. x x Zagadnienie Cauchy’ego dla równania (7) polega na wyznaczeniu rozwia̧zania tego równania spelniaja̧cego warunek pocza̧tkowy u = ϕ(x2 , . . . , xn ), x1 = x01 , (12) gdzie x01 ∈ R. Aby rozwia̧zać zagadnienie Cauchy’ego postȩpujemy wedlug schematu: • do ukladu calek pierwszych (11) podstawiamy x1 = x01 i otrzymane funkcje oznaczamy przez ψ j , j = 1, 2, . . . , n − 1, czyli otrzymujemy uklad równań ψ1 (x01 , x2 , . . . , xn , u) = ψ 1 ψ2 (x01 , x2 , . . . , xn , u) = ψ 2 ......................... ψn (x01 , x2 , . . . , xn , u) = ψ n • rozwia̧zujemy powyższy uklad wzglȩdem xi , i = 2, 3, . . . , n i u x2 = ω2 ψ 1 , ψ 2 , . . . , ψ n x3 = ω3 ψ 1 , ψ 2 , . . . , ψ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x = ωn ψ 1 , ψ 2 , . . . , ψ n n u = ω ψ1, ψ2, . . . , ψn • podstawiamy do równości (12) zamiast xi funkcje ωi , a zamiast u funkcjȩ ω, zastȩpuja̧c ψ j przez ψj , otrzymujemy ω = ϕ (ω2 (ψ1 , . . . , ψn ), . . . , ωn (ψ1 , . . . , ψn )) , co daje szukane rozwia̧zanie zagadnienia Cauchy’ego. Przyklad Znaleźć rozwia̧zanie zagadnienia Cauchy’ego x ∂u ∂u + (y + x2 ) = u, ∂x ∂y u(y) = y − 4, 6 x = 2. Calkami pierwszymi tego równania sa̧ ψ1 = y − x2 , x ψ2 = u . x Na rozwia̧zanie zagadnienia Cauchy’ego otrzymujemy wiȩc uklad równań y−4 = ψ1, 2 u = ψ2 2 ska̧d y = 2ψ 1 + 4, u = 2ψ 2 . Podstawiaja̧c wartości y i u do wzoru u = y − 4 otrzymamy 2ψ2 = 2ψ1 + 4 − 4, u y − x2 = , x x ψ2 = ψ1 , wobec czego poszukiwanym rozwia̧zaniem jest u(x, y) = y − x2 . Zagadnienie Cauchy’ego można też stawiać na krzywej określonej parametrycznie. Pokażemy to w przypadku n = 2 i równania (8). Niech dana krzywa l0 ma równanie wektorowe ~r(t) = [x0 (t), y0 (t), u0 (t)], gdzie x0 (t), y0 (t), u0 (t) ∈ C 1 dla t ∈ [α; β] ⊂ R. Zagadnienie Cauchy’ego polega na wyznaczeniu rozwia̧zania równania (9), które spelnia warunek t ∈ [α; β]. u(x0 (t), y0 (t)) = u0 (t), Przyklad Znaleźć rozwia̧zanie zagadnienia Cauchy’ego ∂u ∂u + 2x = u, ∂x ∂y ~r(t) = [0, t2 , t], t ∈ R. Równania charakterystyczne maja̧ postać dx = dy du = , 2x u a wiȩc calki pierwsze sa̧ postaci ue−x = C2 . x2 − y = C1 , Przyjmuja̧c x = 0, y = t2 , u = t, obliczamy C1 = −t2 , C2 = t, zatem x2 − y = −t2 , ue−x = t. Eliminuja̧c parametr t otrzymujemy równanie szukanej powierzchni x2 − y = −u2 e−2x , czyli rozwia̧zanie postawionego zagadnienia. 7 (13)