Równania dwukwadratowe - just-math

Równania dwukwadratowe, to równania, które sprowadza sie¾ do równań
kwadratowych. Nie ma za bardzo co pisać. Rozwia¾z·e¾ przyk÷ady.
Przyk÷
ad 1:
Rozwia¾z· rónanie: 4x4 + 7x2 2 = 0:
2
Aby wiecej
¾ zauwaz·yć zapiszmy to w postaci: 4 x2 + 7x2 2 = 0:
x2 wystepuje
¾
w równaniu dwukrotnie. Pozbedziemy
¾
sie¾ tego robiac
¾ podstawienie x2 = t: Jako, z·e x 2 R , to x2 bedzie
¾
zawsze wiekszy
¾
lub róny zero.
Poniewaz· dowolna liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu da liczbe¾ wieksz
¾ a¾
od zera, a zero do kwadratu da zero. Zatem
t 0:
Wstawiamy do naszego równania i otzrymujemy: 4t2 + 7t 2 = 0: Czyli
mamy do czynienia z równaniem kwadratowym.
a = 4; b = 7; c = 2:
Aby rozwiazać
¾ to równanie liczymy delte:
¾
= b2 4ac = 72 4 4 ( 2) =
49 + 32 = 81:
Mamy wipec
¾ dwa rozwiazania:
¾
7 9
b
t1 = 2a = 8 = 816 = 2
p
= 7+9
= 28 = 41
t2 = b+
2a
8
Na podstawie naszych za÷oz·eń t 0: Stad
¾ interesuje nas tylko t2 :
Wracajac
¾ do podstawienia otrzymujemy:
x2 = t
x2 = 41
x = 12 lub x = 12 :
Tego rodzaju sztuczki stosuje sie¾ równiez· w równaniach typu:
Przyk÷
ad 2
Rozwia¾z· rónanie: x6 9x3 + 8 = 0:
2
Zapiszemy je nastepuj
¾ aco:
¾
x3
9x3 + 8 = 0:
3
Teraz robimy podstawienie x = t:
Tym razem t 2 R: POniewaz· x3 oznacza dowolna¾ liczbe¾ rzeczywista¾ podniesiona¾ do potegi
¾ trzeciej. Zatem moz·emy uzyskać i liczbe¾ dodatnia¾ i ujemna¾
i zero.
Podstawiamy:
t2 9t + 8 = 0:
Ponownie otrzymujemy równanie kwadratowe:
a = 1; b = 9; c = 8
2
= b2 4ac = ( 9)
4 1 8 = 81 31 = 49
Mamy wipec
¾ dwa rozwiazania:
¾
t1 = b 2a = 9 2 7 = 22 = 1
p
16
t2 = b+
= 9+7
2a
2 = 2 = 8:
Wracajac
¾ do podstawienia otrzymujemy:
1
x3 = t
x3 = 1 lub x3 = 8
x = 1 lub x = 2
Jaśniej troche¾ :) ?
2