Podróże po Imperium Liczb Część 07. Ciągi rekurencyjne

Transkrypt

Podróże po Imperium Liczb
Część 07. Ciągi
rekurencyjne
Rozdział 12
12. Całkowitość wyrazów pewnych ciągów rekurencyjnych
Andrzej Nowicki 17 maja 2012, http://www.mat.uni.torun.pl/~anow
Spis treści
12 Całkowitość wyrazów pewnych ciągów
12.1 Ciąg xn+1 = f (n)xn + g(n) . . . . . .
12.2 Ciąg xn+2 = f (n)xn+1 + g(n)xn . . .
12.3 Ciąg xn+2 = (xsn+1 + 1)/xn . . . . . .
12.4 Ciąg xn+2 = (x2n+1 + p)/xn . . . . . .
12.5 Ciąg xn+3 = (xn+1 xn+2 + p)/xn . . .
12.6 Ciągi rekurencyjne z pierwiastkami .
12.7 Różne ciągi . . . . . . . . . . . . . . .
rekurencyjnych
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
159
159
160
160
162
164
166
167
Wszystkie książki z serii ”Podróże po Imperium Liczb” napisano w edytorze LATEX.
Spisy treści tych książek oraz pewne wybrane rozdziały moża znaleźć na internetowej stronie
autora: http://www-users.mat.uni.torun.pl/~anow.
12
Całkowitość wyrazów pewnych ciągów rekurencyjnych
W rozdziałach 10 i 11 zajmowaliśmy się problemem całkowitości wyrazów pewnych jednorodnych ciągów rekurencyjnych. W tym rozdziale zajmujemy się tym samym problemem
dla innych ciągów rekurencyjnych.
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
12.1
Ciąg xn+1 = f (n)xn + g(n)
12.1.1. Niech x1 = 1 oraz
4n − 6
xn−1 .
n
dla n > 2. Wykazać, że wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami naturalnymi.
xn =
Wsk. xn+1 =
1
2n
. ([Bryn] 5.15b).
n+1 n
12.1.2. Niech x1 = 1,
([MG] 501(2000) s.533).
xn =
4n − 2
xn−1 . Wtedy x2000 jest liczbą całkowitą.
n
4n − 2
xn−1 .
n
dla n > 2. Wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami naturalnymi.
xn =
Dowód. an =
2n
. ([OM] Irlandia 1994, [Pa97], [Crux] 1998 s.458).
n
12.1.4. Niech k ∈ N i niech x1 = 1,
xn+1 =
nxn + 2(n + 1)2k
.
n+2
dla n > 1. Wszystkie wyrazy ciągu (xn ) są liczbami całkowitymi. Ponadto, xn jest nieparzyste
wtedy i tylko wtedy, gdy
n ≡ 1 (mod 4)
lub
n ≡ 2 (mod 4).
([MM] 62(3)(1989) 199, [OM] Taiwan 1992, [Pa97]).
12.1.5. Niech x1 = 0,
(n + 1)3 xn+1 = 2n2 (2n + 1)xn + 2(3n + 1)
dla n > 1. Ciąg ten posiada nieskończenie wiele wyrazów będących liczbami naturalnymi.
([OM] Serbia-Czarnogóra 2004).
159
160Andrzej Nowicki, Ciągi rekurencyjne.
12.2
Ciąg xn+2 = f (n)xn+1 + g(n)xn
12.2.1. Niech x0 = x1 = 1,
(n + 1)xn+1 = (2n + 1)xn + 3nxn−1 .
Wszystkie wyrazy ciągu (xn ) są liczbami całkowitymi.
([KoM] 1997 N149).
12.2.2. Niech x0 = x1 = 1,
(n + 3)xn+1 = (2n + 3)xn + 3nxn−1 .
Wszystkie wyrazy ciągu (xn ) są liczbami całkowitymi.
([KoM] 2000(3) A233).
U. ([KoM]) x2 = 2, x3 = 4, x4 = 9, x5 = 21, x6 = 51, x7 = 127, x8 = 323, x9 = 835, x10 = 2188.
Można wykazać, że
n
X
xn+2 = xn+1 +
xk xn−k .
k=0
Można wykazać również, że
xn =
n
X
k=0
n
k
2k
k
k+1
.
12.2.3. Niech x2 = x3 = 1, (n + 1)(n − 2)xn+1 = n(n2 − n − 1)xn − (n − 1)3 xn−1 . Wówczas
xn jest liczbą całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą pierwszą. ([Mon] 106(2)(1999) 169).
12.3
Ciąg xn+2 = (xsn+1 + 1)/xn
12.3.1. Niech s ∈ N i niech x1 = x2 = 1,
xn+2 =
własności.
xsn+1 + 1
. Ciąg ten posiada następujące
xn
(1) Wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami naturalnymi.
([Crux] 1997 s.123)
(2) Każde dwa sąsiednie wyrazy są względnie pierwsze.
(3) xn+1 jest podzielnikiem liczby xsn + 1.
(4) xn xn+1 jest podzielnikiem liczby xsn + xsn+1 + 1.
D. Liczby x3 = 2, x4 = 2s + 1 są oczywiście naturalne. Niech n > 2 i załóżmy, że wszystkie
wyrazy x1 , x2 , . . . , xn+1 , xn+2 są liczbami naturalnymi. Wtedy xn+2 xn − xsn+1 = 1 i stąd wynika, że
liczby xn i xn+1 są względnie pierwsze. Mamy wówczas:
s
xn+1 + 1 s
γn xn+1 + 1 + xsn
γn xn+1 + xn+1 xn−1
xn+1 (γn + xn−1 )
+1=
xsn+2 + 1 =
=
=
,
xn
xsn
xsn
xsn
gdzie γn jest pewną liczbą naturalną. Ponieważ liczby xn+1 i xsn są względnie pierwsze, więc xsn+2 + 1
jest podzielne przez xn+1 . Zatem xn+3 jest liczbą naturalną i stąd (na mocy indukcji) wszystkie liczby
postaci xn są naturalne. Udowodniliśmy własności (1) i (2). Z równości xn+1 xn−1 − xsn = 1 wynika
(3) i stąd dalej (4). Andrzej Nowicki, Ciągi rekurencyjne.
12.3.2. Niech s ∈ N, a ∈ Z i niech x1 = 1,
xn+2 =
x2 = a
xsn+1 + 1
.
xn
Jeśli wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami całkowitymi, to a ∈ {−2, −1, 1, 2}.
an+1 + 1
. Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą naturalną.
an
Ciąg ten jest okresowy z czystym okresem 1, 1, 2, 3, 2. Dowód. Jest to wniosek z 12.3.1.
12.3.3. Niech a1 = a2 = 1,
12.3.4. Niech a1 = a,
an+2 =
a2 = b,
an+2 =
an+1 + 1
an
gdzie a, b są danymi liczbami całkowitymi.
(1) Ciąg ten jest okresowy z czystym okresem:
a, b,
b+1 a+b+1 a+1
,
,
.
a
ab
b
(2) Jeśli a | b + 1 i b | a + 1 i przy tym a 6= −1 oraz b 6= −1, to każdy wyraz tego ciągu
jest liczbą całkowitą.
12.3.5. Niech b1 = b2 = 1,
bn+2 =
b2n+1 + 1
. Ciąg ten posiada następujące własności.
bn
(1) Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą naturalną.
(2) Nie ma wyrazu podzielnego przez 3.
(3) Ciąg (bn (mod 10)) jest okresowy z czystym okresem długości 30.
(4) b2n + b2n+1 = 3bn bn+1 − 1.
(5) bn+2 = 3bn+1 − bn .
([Crux] 1997 s.123).
(6) bn = u2(n−2)+1 , n > 2, gdzie (un ) jest ciągiem liczb Fibonacciego.
D. Własność (1) jest konsekwencją 12.3.1. Ciąg (bn (mod 3)) jest okresowy i jego okres jest równy
1, 1, 2, 2. Stąd wynika (2). Pozostałe własności sprawdzamy bez trudu. Przykłady:
n
bn
1
1
2
1
3
2
4
5
5
13
6
34
7
89
8
233
9
610
10 1597
n
bn
11
4181
12
10946
13
28657
14
75025
15
196418
16
514229
17
1346269
18
3524578
19
9227465
20 24157817
n
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
bn
63245986
165580141
433494437
1134903170
2971215073
7778742049
20365011074
53316291173
139583862445
365435296162
161
12.3.6. Niech c1 = c2 = 1,
cn+2 =
c3n+1 + 1
.
cn
(1) Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą naturalną.
(2) Każde dwa sąsiednie wyrazy są względnie pierwsze.
(3) Liczba c3n + 1 jest podzielna przez cn+1 .
(4) Liczba c3n + c3n+1 + 1 jest podzielna przez cn cn+1 .
(5) Niech xn = c2n cn+1 , yn = c2n+1 , zn = cn tn = (c3n + c3n+1 + 1)/cn cn+1 . Wówczas liczby
xn , yn , zn są względnie pierwsze oraz
xn yn
zn
+
+
= tn .
yn
zn x n
([Mat] 5/1959).
D. Własności (1) − (4) wynikają z 12.3.1. Własność (5) jest łatwa do sprawdzenia. Dowody
znajdziemy np. w [Mat] 5/1959 (zadania konkursowe 538, 539). U. Wyrazy badanego ciągu szybko rosną. Kilka przykładów:
c3 = 2,
c4 = 9,
c5 = 365,
c6 = 5403014,
c7 = 432130991537958813,
c8 = 1493516928410152587449167346326841453652359305.
bn+1 + 2
. Wyrazy tego ciągu nie muszą być liczbami
bn
całkowitymi. Przykłady: b3 = 3, b4 = 5, b5 = 7/3, b6 = 13/15, b7 = 43/35, b8 = 339/91.
12.3.7. Niech b1 = b2 = 1,
bn+2 =
12.3.8. Niech k > 2 i c > 1 będą liczbami naturalnymi. Niech x0 = 1,
x1 = 1,
xn+2 xn = cxkn+1 + 1,
dla n > 0. Wykazać, że wszystkie wyrazy ciągu (xn ) są całkowite wtedy i tylko wtedy, gdy
c = 1.
12.4
Ciąg xn+2 = (x2n+1 + p)/xn
12.4.1. Ciąg (yn ) spełnia warunki: y1 6= 0, y2 6= 0,
yn+2 =
gdzie p jest daną liczbą. Oznaczmy: b =
2
yn+1
+p
,
yn
y12 + y22 + p
.
y1 y2
(1) Każdy wyraz ciągu (yn ) jest liczbą całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy liczby y1 , y2 , b
są całkowite. ([Balk] 1986).
(2) W szczególności, jeśli y1 = y2 = 1 i p ∈ Z, to każdy wyraz ciągu (yn ) jest liczbą
całkowitą.
Andrzej Nowicki, Ciągi rekurencyjne.
(3) Załóżmy, że każdy wyraz ciągu (yn ) jest liczbą całkowitą. Czy wtedy p ∈ Z ?
(4)
2
y 2 + yn+1
+p
yn+2 + yn
= n
= b, dla wszystkich n > 1.
yn+1
yn yn+1
(5) (yn ) jest uogólnionym ciągiem Fibonacciego:
yn+2 = byn+1 − yn .
([OM] Bułgaria 1978, [Pa97]).
2
2
2
2
D. Z definicji ciągu (yn ) wynika, że yn+1 yn+3 + yn+1
= yn+2
+ p + yn+1
= yn+2
+ yn yn+2 . Stąd
otrzymujemy równości
yn+2 + yn
y3 + y1
yn+3 + yn+1
=
= ··· =
=
yn+2
yn+1
y2
y22 +p
y1
+ y1
y2
=
y12 + y22 + p
= b,
y1 y2
z których bez trudu wykażemy wszystkie własności oprócz (3). Nie znam odpowiedzi na pytanie
postawione w (3). 12.4.2. Ciąg (an ) jest określony wzorami: a1 = a2 = 1,
an+2 =
a2n+1 + 2
.
an
Ciąg ten posiada następujące własności.
(1) a3 = 3, a4 = 11, a5 = 41, a6 = 153, a7 = 571, a8 = 2131, a9 = 7953, a10 = 29681.
(2) Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą naturalną. Dowód. Wynika z 12.4.1.
([Dlt] 12/1985)
(3) Wszystkie wyrazy (an ) są liczbami nieparzystymi.
(4) Ciąg (an (mod 5)) jest okresowy z okresem 1, 1, 3.
(5) Ciąg (an (mod 100)) jest okresowy. Okres ma długość 60.
12.4.3. Ciąg (bn ) określony jest wzorami: b1 = b2 = 1,
bn+2 =
b2n+1 + 3
.
bn
Ciąg ten posiada następujące własności.
(1) b3 = 4, b4 = 19, b5 = 91, b6 = 436, b7 = 2089, b8 = 10009.
(2) Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą naturalną. Dowód. Wynika z 12.4.1.
(3) Ciąg (bn (mod 10)) jest okresowy i jego okres jest czysty i ma długość 12.
(4) Ciąg (bn (mod 100)) jest okresowy i jego okres jest czysty i ma długość 60.
12.4.4. Dany jest ciąg (an ) określony wzorami: a1 = a2 = 1,
an+2 =
Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą całkowitą.
a2n+1 + 4
.
an
(Wynika z 12.4.1).
163
12.4.5. Dany jest ciąg (an ) określony wzorami: a1 = a2 = 1,
an+2 =
a2n+1 − 2
.
an
Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą całkowitą. Dokładniej:
a2n−1 = (−1)n+1 ,
a2n = (−1)n+1 .
12.4.6. Ciąg rekurencyjny (xn ) określony jest wzorami:
x0 = 1,
x1 = 1,
xn+2 xn = x2n+1 + xn+1 + 1,
dla n > 0.
Wykazać, że wszystkie wyrazy ciągu (xn ) są całkowite oraz, że xn+2 + xn + 1 ≡ 0 (mod xn+1 )
dla n > 0.
12.4.7. Niech a, b będą niezerowymi liczbami całkowitymi takimi, że |a| 6= |b|. Ciąg (xn )
określony jest wzorami:
x1 = b,
x2 = b2 − a2 ,
xn+2 xn = x2n+1 − a2(n+1) ,
Wykazać, że wszystkie wyrazy ciągu (xn ) są całkowite.
dla n > 1.
([MM] 61(2)(1988) 115-116).
12.5
Ciąg xn+3 = (xn+1 xn+2 + p)/xn
12.5.1. Niech a1 = a2 = a3 = 1 oraz
an+3 =
an+1 an+2 + 1
an
dla n ∈ N. Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą całkowitą.
([Mon] 68(4)(1961) E1431, [Mock] 1/2004).
12.5.2. Niech a1 = a2 = a3 = 1 oraz
an+3 =
an+1 an+2 + 2
an
dla n ∈ N. Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą całkowitą.
([OM] Irlandia 2002).
D. Można łatwo sprawdzić, że an = 4an−1 − an−2 , gdy n jest parzyste oraz an = 2an−1 − an−2 ,
gdy n nieparzyste. 12.5.3. Niech a1 = a2 = 1 oraz
an+3 =
an+1 an+2 + 1989
an
dla n ∈ N. Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą naturalną.
([AnE] s.82).
Andrzej Nowicki, Ciągi rekurencyjne.
D. ([AnE]). Mamy dwie równości an+1 an−2 = an an−1 + 1989, an an−3 = an−1 an−2 + 1989.
n−1
Odejmując stronami otrzymujemy równość an−2 (an+1 + an−1 ) = an (an−1 + an−3 ), czyli an+1a+a
=
n
an−1 +an−3
. Mamy zatem:
an−2
a2n+1 + a2n−1
a2n−1 + a2n−3
a3 + a1
200
=
= ··· =
=
= 200;
a2n
a2n−2
a2
1
a2n + a2n−2
a4 + a2
2189
a2n+2 + a2n
=
= ··· =
=
= 11.
a2n+1
a2n−1
a3
199
Wykazaliśmy więc, że a2n+1 = 200a2n − a2n−1 , a2n+2 = 11a2n+1 − a2n . Stąd wynika, że każde an jest
liczbą całkowitą. Jest oczywiste, że każde an jest liczbą dodatnią; jest więc liczbą naturalną. Powtarzając powyższy dowód, otrzymujemy:
12.5.4. Niech (an ) będzie ciągiem takim, że a1 , a2 , a3 są liczbami naturalnymi oraz
an+3 =
an+1 an+2 + b
an
dla n ∈ N, gdzie b jest daną liczbą naturalną. Jeżeli liczby
naturalne, to każdy wyraz tego ciągu jest liczbą naturalną.
a2 a3 +b a1 +a3 a1 a2 +a2 a3 +b
a1 ,
a2 ,
a1 a3
są
12.5.5. Niech a1 = a2 = 1, a3 = 2 oraz
an+3 =
an+1 an+2 + 7
an
dla n ∈ N. Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą naturalną.
([OM] Niemcy 2002/2003).
12.5.6. Niech a1 = a2 = 1, a3 = u oraz
an+3 =
an+1 an+2 + p
an
dla n ∈ N, gdzie p, u są względnie pierwszymi liczbami naturalnymi. Każdy wyraz tego ciągu
jest liczbą całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy p = ru − 1, gdzie r ∈ Z. ([Mon] 68(4)(1961) s.379).
12.5.7. Niech u będzie liczbą naturalną i p liczbą pierwszą. Niech a1 = a2 = a3 = p oraz
an+3 =
an+1 an+2 + u
an
dla n ∈ N.
(1) Jeśli p > 3, to każde an jest liczbą całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy p2 | u.
(2) Jeśli p = 2, to każde an jest liczbą całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy p | u.
([MM] 61(4)(1988) 262-263).
165
12.6
Ciągi rekurencyjne z pierwiastkami
√
q
√
xn+1 = 2 xn + 3(1 + xn ).
Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą naturalną.
([OM] ZSRR 1986).
D. Łatwo sprawdzić, że x2 = 48 oraz, że xn+2 = 14xn+1 − xn + 6. 12.6.2. Niech x0 = 1 oraz
q
1
3xn + 5x2n − 4 .
2
xn+1 =
Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą naturalną.
12.6.3. Niech x1 = c,
xn+1 = cxn +
([OM] W.Brytania 2002).
q
(c2 − 1)(x2n − 1).
(1) Jeśli c jest liczbą naturalną, to wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami naturalnymi.
([Bryn] 5.9, [OM] RPA 2000).
√
√
1
(2) xn = (pn + q n ) dla n ∈ N, gdzie p = c + c2 − 1, q = c − c2 − 1.
2
12.6.4. Niech a0 = 0, an+1 = 7an +
całkowitymi. ([MG] 1966 307).
p
([Bryn] s.121).
48a2n + 1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami
12.6.5. Niech m, p, a ∈ Z i niech x0 = a oraz
xn+1 = mxn +
q
(m2 − 1)(x2n − a2 ) + p2 .
Wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami całkowitymi.
([MM] 42(1969) 111-113).
12.6.6. Niech a ∈ N i niech x0 = 0 oraz
q
xn+1 = (xn + 1)a + (a + 1)xn + 2 a(a + 1)xn (xn + 1).
Wykazać, że każde xn jest liczbą naturalną.
([IMO] Shortlist 1983, [Djmp] 166(459)).
p
12.6.7. Niech x1 = 603, x2 = 102 oraz xn+2 = xn + xn+1 + 2 xn xn+1 − 2. Wtedy:
(1)
każdy wyraz xn jest liczbą naturalną;
(2)
istnieje nieskończenie wiele wyrazów z końcówką 2003;
(3)
nie ma wyrazu z końcówką 2004.
([OM] Wietnam 2004).
F Murray S. Klamkin, Perfect squares of the form (m2 − 1)a2n + t, [MM] 42(3)(1969) 111-113.
Ciągi rekurencyjne.
12. Całkowitość wyrazów różnych ciągów rekurencyjnych
167
12.7
Różne ciągi
12.7.1. Wyznaczyć liczbę takich ciągów (xn ) liczb całkowitych, że dla dowolnej liczby naturalnej n spełnione są warunki
xn 6= −1,
xn+2 =
xn + 2006
.
xn+1 + 1
Odp. Jet 14 takich ciągów. (Czesko-Polsko-Słowackie Zaw. Mat. 2006, [Zw] 2006).
12.7.2. Niech a1 = 2, a2 = 500, a3 = 2000 oraz
an+2 + an+1
an+1
=
an+1 + an−1
an−1
dla n > 2. Wtedy:
(1) każdy wyraz ciągu (an ) jest liczbą naturalną;
(2) 22000 dzieli a2000 ;
(3) an+2 = 2an an+1 dla n ∈ N.
([OM] Słowenia 1999).
xn+2 + xn+1 + 1
, n = 0, 1, 2, . . . . Opisać
xn
wszystkie takie ciągi, których wszystkie wyrazy są liczbami naturalnymi. ([MOc] 2001 z.79).
12.7.3. Niech x0 , x1 , x2 ∈ N i niech xn+3 =
O. Istnieje pięć typów takich ciągów. Są to ciągi okresowe:
1, 1, 1, 3, 5, 9, 5, 3
1, 2, 1, 4, 3, 8, 3, 4
1, 2, 2, 5, 4, 5, 2, 2
1, 4, 1, 6, 2, 9, 2, 6
2, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 3.
Trójka (x0 , x1 , x2 ) może rozpoczynać się w każdym miejscu tych okresów. 12.7.4. Niech a0 = 2, a1 = 5 oraz an+1 an−1 − a2n = 6n−1 dla n > 2. Wykazać, że wszystkie
wyrazy tego ciągu są liczbami naturalnymi. ([OM] W.Brytania 1981).
D. Indukcyjnie wykazuje się, że an = 2n + 3n . 12.7.5. Istnieje dokładnie jeden ciąg (an ) taki, że a1 = 1, a2 > 1, an+1 an−1 = a3n + 1 i
wszystkie wyrazy są całkowite. ([OM] W.Brytania 1981).
168
Ciągi rekurencyjne.
12. Całkowitość wyrazów różnych ciągów rekurencyjnych
Literatura
[AnE] T. Andreescu, B. Enescu, Mathematical Olympiad Treasures, Birkhäuser, Boston - Basel Berlin, 2006.
[Balk] Balkan Mathematical Olympiad.
[Bryn] M. Bryński, Olimpiady Matematyczne, tom 7, 31-35, 79/80 - 83/84, WSiP, Warszawa, 1995.
[Crux] Crux Mathematicorum, Canadian Mathematical Society, popolarne matematyczne czasopismo
kanadyjskie.
[Djmp] D. Djukić, V. Janković, I. Matić, N. Petrović, The IMO Compendium. A Collection of Problems Suggested for the International Mathematical Olympiads: 1959-2004, Problem Books in
Mathematics, Springer, 2006.
[Dlt]
Delta, popularny polski miesięcznik matematyczno-fizyczno-astronomiczny.
[IMO] Międzynarodowa Olimpiada Matematyczna.
[KoM] KöMal, Kozepiskolai Matematikai Lapok, węgierskie czasopismo matematyczne, 1894-2012.
[Mat] Matematyka, polskie czasopismo dla nauczycieli.
[MG] The Mathematical Gazette, angielskie popularne czasopismo matematyczne.
[MM] Mathematics Magazine, popularne czasopismo matematyczne.
[MOc] Mathematical Olympiads’ Correspondence Program, Canada, 1997-2012.
[Mock] Mock Putnam Exam.
[Mon] The American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America.
[OM] Olimpiada Matematyczna.
[Pa97] H. Pawłowski, Zadania z Olimpiad Matematycznych z Całego Świata, Tutor, Toruń, 1997.
[Zw]
Zwardoń, Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej.

Podróże po Imperium Liczb Część 07. Ciągi rekurencyjne

Transkrypt

Podobne dokumenty

Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Jeśli do pierwszej z nich

Ciekawe ciągi - Seminarium z popularyzacji matematyki, 05.2009r.

Dany jest ciąg geometryczny określony wzorem dla . Wszystkie

Synonimy

Zestaw trzeci (do pobrania).

tutaj

Przedrostki stosowane w jednostkach miar uk³adu SI

PORADY SCRABBLOWE, CZYLI JAK WYKORZYSTYWAĆ

Ciąg arytmetyczny Ciąg geometryczny