Warsztaty metod fizyki teoretycznej Zestaw 4 Analiza wymiarowa

Warsztaty metod fizyki teoretycznej
Zestaw 4
Analiza wymiarowa czyli physics made easy :)
Michał P. Heller, Jan Kaczmarczyk
08.11.2007
I Garść Teorii
Analiza wymiarowa służy do wyodrębniania informacji o zależnościach między wymiarowymi
wielkościami fizycznymi opisującymi problem.
Pytanie: co to znaczy, że wielkość ma wymiar?
Powiedzmy, że chcemy zmierzyć szerokość naszego biurka. Co w tym celu robimy? Najprostsze
wyjście to wziąć linijke, przyłożyć ją wzdłuż krawędzi biurka i odczytać wynik z podziałki
w milimetrach. Załóżmy, że dostaliśmy 1120 mm. Oznacza to, że przykładając linijkę do
biurka mierzymy stosunek długości biurka do długości wyznaczonej przez tajmniczo brzmiący
wzorzec milimetra. Teraz powiedzmy bierzemy inną linjkę, na której skala podstawowa to 1
cm. Mierzymy szerokość biurka i dostajemy l1 = 112cm. Wynik się zmienił ponieważ użyliśmy
innego wzorca. Wielkości, które zmieniają się gdy przeskalujemy nasz układ jednostek (nasze
wzorce) nazywamy wielkościami wymiarowymi.
Powiedzmy, że dla odmiany zmierzymy też długość stołu i dostajemy l2 = 224cm. Okazuje
się, że stosunek ll12 nie zależy od doboru jednostek w których zmierzymy długości l1 i l2 . Taką
wielkość nazywamy bezwymiarową.
Rozważmy kolejny, ciekawszy przykład - wahadło matematyczne.
Przykład 1. Wahadło matematyczne
Wahadło matematyczne to masa punktowa m zawieszona na sznurku o zadanej długości l i
umieszczona w jednorodnym polu grawitacyjnym o przyspieszeniu g. Załóżmy, że nie znamy
teorii (zasad dynamiki Newtona), za to jesteśmy zręcznymi eksperymentatorami.
Odchylając wahadło od położenia równowagi o kąt θ stwierdzamy, że wykonuje ono okresowy, z okresem τ . Zadaniem fizyka jest dostarczenie informacji o zależności okresu od masy
ciała m, długości wahadła l, przyspieszenia ziemskiego g i wychylenia θ. Będziemy używać
abstrakcyjnego układu jednostek M L T , w którym mamy tylko
• jednostkę masy M ,
1
• jednostkę długości L,
• jednostkę czasu T .
Dygresja: Prawo Coulomba a układ jednostek M L T
Każdy zna prawo Coulomba (tutaj w układzie SI)
1 Q1 Q2
,
(1)
4π0 r2
gdzie Q1 oraz Q2 są ładunkami oddalonymi o r i oddziałującymi z siłą F . Jednostką ładunku
w układzie SI jest Coulomb C. Pytanie:
F =
Czy naprawdę potrzebujemy wprowadzać nową jednostkę opisującą ładunek elektryczny?
Odpowiedź brzmi oczywiście nie. Aby się o tym przekonać dokonajmy przeskalowania
1
Qi
Q̃i = √
4π0
(2)
i zobaczmy jak wygłada prawo Coulomba dla nowozdefiniowanych ładunków
Q̃1 Q̃2
.
r2
Spójrzmy na jednostki (jednostkę wielkości fizczyne G oznaczamy jako [G])
F =
(3)
• siła F ma jednostkę [F ] = M L T −2 ,
• odległość r ma jednostkę [r] = L.
Po prostym przekształceniu otrzymujemy
1
3
[Q̃] = M 2 L 2 T −1 .
(4)
Wniosek: układ M L T wystarcza do opisu zjawisk elektromagnetycznych.
Wróćmy do wahadła. W układzie M L T parametry opisujące zagadnienie mają natępujące
wymiary
• długość wahadła [l] = L,
• masa ciała [m] = M ,
• przyspieszenie ziemskie [g] = M L T −2 ,
• wychylenie początkowe wahadła [θ] = 1,
• okres drgań [τ ] = T .
2
Zastanówmy się, czy z powyższych parametrów możemy stworzyć wielkość bezwymiarową C
zdefiniowaną
C = lα mβ g γ τ δ .
(5)
Spójrzmy na jednostki
γ
1 = [C] = Lα M β L T −2 T δ .
(6)
Ponieważ chcemy dostać coś bezwymiarowego, wszystkie jednostki muszą się poskracać. Stąd
dostajemy układ równań
α + γ = 0,
β = 0,
−2γ + δ = 0.
(7)
Ostatecznie dostajemy, że wielkością bezwymiarową jest
g
,
(8)
l
albo jej dowolna funkcja. W problemie istnieje jeden parametr bezwymiarowy, jest nim kąt
wychylenia wahadała od pionu θ. Ponieważ jest to wielkość bezwymiarowa dostajemy, że
r
C(0) = τ
C(0) = f (θ),
(9)
gdzie f (θ) to dowolna funkcja wychylenia początkowego. Przekształcając ten wzór dostajemy
s
τ=
l
f (θ).
g
(10)
Otrzymaliśmy więc wzór na okres wahadła matematycznego z dokładnością do nieznanej funkcji zmiennej bezwymiarowej θ. Zauważmy, że okres nie zależy od masy cząstki i jest to wynik
całkowicie oparty na analizie wymiarów wszystkich wielkości. Analiza wymiarowa nie dostarczy nam już żadnych nowych informacji o problemie. Z teorii oscylatora harmonicznego
wynika, że dla małych kątów f (θ) = 2π. Wynik ten możemy potwierdzić doświadczalnie.
Przyjrzyjmy się jeszcze raz całej procedurze. Na początku przybliżamy problem decydując
przez jakie wielkości fizyczne jest on opisywany. To czy analiza wymiarowa dostarcza nam
przydatnych wyników zależy od liczby niezależnych wielkości bezwymiarowych, które możemy
utworzyć. Tutaj mamy 2 takie wielkości, wychylenie od
q położenia równowagi θ oraz bezwymiarowy nietrywialny iloczyn wielkości wymiarowych τ gl . Po odwikłaniu okresu otrzymujemy
nieznaną funkcję parametru bezwymiarowego θ. W takim przypadku analiza wymiarowa jest
skuteczna (daje nam oszacowanie rzędu wielkości, a także zależność funkcyjną zależności okresu od długości i masy).
3
Przykład 2. Kwantowa grawitacja
Załóżmy, że chcemy skonstruować teorię kwantowej grawitacji i mamy już pewne doświadczenie w konstruowaniu teorii fizycznych. Zacznijmy od teorii grawitacji Newtona. Wzór na siłę
oddziaływania dwóch ciał punktowych przyjmuje postać F = GN m1r2m2 , gdzie GN to stała wymiarowa. Gdy GN → 0, ciała nie oddziałują. Rozważmy teraz dla odmiany szczególną teorię
względności. W teorii tej także występuje stała wymiarowa - prędkość światła c. Z konieczności uogólnienia szczególnej teorii względności i teorii grawitacji Newtona powstała ogólna
teoria względności. W tej teorii występują dwie fundamentalne stałe wymiarowe - prędkość
światła c i stała Newtona GN .
W latach 20. i 30. XX wieku odkryto mechanikę kwantową, która wprowadza kolejną fundamentalną stałą - h (stała Plancka). Kwantowa teoria pola to relatywistyczna mechanika
kwantowa układu o nieskończonej liczbie stopni swobody. Teoria ta zawiera dwie stałe fundamentalne - h oraz c.
Kwantowa teoria grawitacji powinna w takim razie uwzględniać w jakiś sposób wszystkie stałe
fundamentalne. Pokażmy, że prowadzi to do fundamentalnej skali odległości nazywanej skalą
Plancka.
Potrzebne stałe fizyczne: GN = 6.674 × 10−11 m3 kg −1 s−2 , h̄ = 1.054 × 10−34 J s, c =
2.998 × 108 m s−1 .
Wielkości podane z dokładnościa 3 cyfr po przecinku za amerykańskim National Institutes of
Standards and Technology.
Wszystko robimy analogicznie jak w przypadku wahadła. Na początku wypisujemy wymiary
wszystkich wielkości występujących w problemie
• stała Newtona - [GN ] = M −1 L3 T −2 ,
• kreślona stała Plancka - [h̄] = M L2 T −1 ,
• prędkość światła - [c] = L T −1 .
Zakładając, że są to jedyne wielkości wymiarowe opisujące kwantową grawitację (żadnych
dodatkowych wymiarów itp.), rozważmy ich iloczyn w postaci
F = GαN h̄β cγ .
(11)
Okazuje się, że gdy wybierzemy
• α = 21 , β = 21 , γ = − 32 otrzymamy długość Plancka lP = 1.6 × 10−35 metra,
• α = 21 , β = 21 , γ = − 52 otrzymamy czas Plancka tP = 5.4 × 10−44 s,
• α = − 21 , β = 21 , γ =
1
2
otrzymamy masę Plancka mP = 2.2 × 10−8 kg.
Żeby uświadomić sobie jak mała jest długość Plancka, wystarczy małe porównanie. Skala
charakterystyczna dla zjawisk zachądzących w jądrze atomowym to 10−16 m. Oznacza to, że
do skali jądra atomowego mamy ”bliżej” niż od skali QCD do długości Plancka. Zauważmy
jak mało wspólnego ma fizyka klasyczna ze zjawiskami opisywanymi kwantowa teorią pola.
Sugeruje to, że mówienie o kwantowej grawitacji może być nadużyciem z punktu widzenia
dotychczasowej drogi fizyki.
4
II. Zadania
Zad. 1. Bomba atomowa (**)
W roku 1945 nastała era atomowa. 16 lipca na poligonie w Nowym Meksyku (USA) zdetonowano pierwszą w historii bombę atomową. Eksplozję sfilmowano, a taśmy upubliczniono
po jakimś czasie. Na poszczególnych klatkach widać skalę pozwalającą oszacować z dobrą
dokładnością promień kuli ognistej oraz czas od chwili eksplozji. Oczywiście energia wybuchu (szacowana na 20-22 kilotony TNT) była utrzymywana w tajemnicy. Proszę pokazać, że
publikacja zdjęć wybuchu to duży błąd.
Proszę oczywiście użyć analizy wymiarowej. Potrzebne dane, to
kg
• gęstość suchego powietrza (poziom morza, temperatura pokojowa) ρ0 = 1.2 m
3
• ciśnienie powietrza na poziomie morza p0 = 100 kP a
Wynik proszę przeliczyć na kilotony trotylu (1 tona TNT = 4.6 × 109 J).
Zad. 2. Oxford vs. Cambridge (**)
Co roku kajakarze dwóch najlepszych angielskich uniwersytetów biorą udział w prestiżowych
zawodach wioślarskich. Osady wioślarskie mogą pomieścić 2, 4, 6 albo 8 wioślarzy. Okazuje
się, że w przeliczeniu na wioślarza przypada w przybliżeniu stała powierzchnia styku kajaka
z wodą (łódki z różną liczbą wioślarzy są do siebie geometrycznie podobne). Zakładamy też,
każdy kajakarz dysponuje taką samą mocą mięści i że objętość wypartej przez łódkę wody jest
proporcjonalna do liczby kajakarzy.
Zad. 3. Odpychające się półkule (***)
Mamy dwie dokładnie stykające się półkule z dielektryka o równych promieniach, jednorodnie
naładowane ładunkiem elektrycznym o gęstościach ρ1 i ρ2 . Proszę obliczyć siłę oddziaływania
między półkulami.
III. Zadania domowe
Zad. 4. Ucieczka z Planety Ziemia (2 pkt.)
Przyjmijmy, że promień planety jest α razy mniejszy od promienia Ziemi, a jej masa β razy
mniejsza. Ile razy w stosunku do ziemskich mniejsze są na tej planecie przyspieszenie siły
grawitacyjnej, a także pierwsza i druga prędkość kosmiczna?
Zad. 5. Ruch kuli w ośrodku (4 pkt.)
Rozważmy kulę o promieniu R, poruszającą się z dużą prędkością U (co to znaczy?) w ośrodku
o prędkości dźwieku c oraz gęstości ρ. Proszę oszacować wartość siły oporu działającą na kule.
W tym celu
• Proszę się zastanowić skąd wynika siła oporu.
• Proszę użyc analizy wymiarowej.
5