Dimensional analysis

Warsztaty metod fizyki teoretycznej
Zestaw 1
Analiza wymiarowa
Michał Heller, Jan Kaczmarczyk, Marcin Abram
27.02.2014
Co to jest analiza wymiarowa?
Analiza wymiarowa to sztuka wyodrębniania informacji o zależnościach między wymiarowymi
wielkościami fizycznymi opisującymi problem. Teoretycy wykorzystują ją właściwie na każdym
kroku, chociaż (prawie) nikt nie uczy jej na studiach. Aby zrozumieć jak działa analiza wymiarowa należy odpowiedzieć sobie na pytanie co to znaczy, że wielkość ma wymiar? Powiedzmy,
że chcemy zmierzyć szerokość naszego biurka. Co w tym celu robimy? Najprostsze wyjście to
wziąć linijkę, przyłożyć ją wzdłuż krawędzi biurka i odczytać wynik z podziałki w milimetrach.
Załóżmy, że dostaliśmy 1120 mm. Oznacza to, że przykładając linijkę do biurka mierzymy stosunek długości biurka do długości wyznaczonej przez tajmniczo brzmiący wzorzec milimetra.
Teraz, powiedzmy, bierzemy inną linjkę, na której skala podstawowa to 1 cm. Mierzymy szerokość biurka i dostajemy l1 = 112 cm. Wynik się zmienił ponieważ użyliśmy innego wzorca.
Wielkości, które zmieniają się gdy przeskalujemy nasz układ jednostek (nasze wzorce) nazywamy wielkościami wymiarowymi. Powiedzmy, że dla odmiany zmierzymy też długość stołu i
dostajemy l2 = 224 cm. Okazuje się, że stosunek l2 do l1 nie zależy od wyboru jednostek w których zmierzymy długości l1 i l2 . Taką wielkość nazywamy bezwymiarową. Rozważmy kolejny,
ciekawszy przykład - wahadło matematyczne.
Przykład I: wahadło matematyczne
Wahadło matematyczne to masa punktowa m zawieszona na sznurku o zadanej długości l i
umieszczona w jednorodnym polu grawitacyjnym o przyspieszeniu g. Załóżmy, że nie znamy
teorii (zasad dynamiki Newtona), za to jesteśmy zręcznymi eksperymentatorami. Odchylając
wahadło od położenia równowagi o kąt θ stwierdzamy, że wykonuje ono drgania z okresem τ .
Zadaniem fizyka jest dostarczenie informacji o zależności okresu od masy m, długości wahadła l,
przyspieszenia ziemskiego g i wychylenia θ. Będziemy używać abstrakcyjnego układu jednostek
M L T, w którym mamy tylko
- jednostkę masy M ,
- jednostkę długości L,
- jednostkę czasu T.
1
W tym układzie jednostek parametry opisujące zagadnienie mają natępujące wymiary
- długość wahadła [l] = L,
- masa ciała [m] = M ,
- przyspieszenie ziemskie [g] = M L T −2 ,
- wychylenie początkowe wahadła [θ] = 1,
- okres drgań [τ ] = T .
Zastanówmy się, czy z powyższych parametrów możemy stworzyć wielkość bezwymiarową C
zdefiniowaną jako
C = lα mβ g γ τ δ .
(1)
Spójrzmy na jednostki
1 = [C] = Lα M β L T −2
γ
T δ.
(2)
Ponieważ chcemy dostać coś bezwymiarowego, wszystkie jednostki muszą się poskracać. Stąd
dostajemy układ równań
α + γ = 0,
β = 0,
−2γ + δ = 0.
(3)
Ostatecznie dostajemy, że wielkością bezwymiarową jest
r
C(0) = τ
g
,
l
(4)
albo jej dowolna funkcja. W problemie istnieje jeden parametr bezwymiarowy, jest nim kąt
wychylenia wahadała od pionu θ. Ponieważ jest to wielkość bezwymiarowa dostajemy, że
C(0) = f (θ) ,
(5)
gdzie f (θ) to dowolna funkcja wychylenia początkowego. Przekształcając ten wzór dostajemy
s
l
f (θ) .
(6)
g
Otrzymaliśmy więc wzór na okres wahadła matematycznego z dokładnością do nieznanej funkcji
zmiennej bezwymiarowej θ. Zauważmy, że okres nie zależy od masy cząstki i jest to wynik
całkowicie oparty na analizie wymiarów wszystkich wielkości. Analiza wymiarowa nie dostarczy
nam już żadnych nowych informacji o problemie. Z teorii oscylatora harmonicznego wynika, że
dla małych kątów f (θ) → 2π. Wynik ten możemy potwierdzić doświadczalnie.
τ=
Przyjrzyjmy się jeszcze raz całej procedurze. Na początku analizy problemu dokonujemy przybliżenia decydując przez jakie wielkości fizyczne jest on opisywany. To, czy analiza wymiarowa
dostarcza nam przydatnych wyników, zależy od liczby niezależnych wielkości bezwymiarowych,
które możemy utworzyć. Tutaj mamy dwie takie wielkości: wychylenie od położenia równowagi
θ oraz bezwymiarowy nietrywialny iloczyn wielkości wymiarowych τ , g i l. Po odwikłaniu okresu otrzymujemy nieznaną funkcję parametru bezwymiarowego θ. W takim przypadku analiza
wymiarowa jest skuteczna (daje nam oszacowanie rzędu wielkości, a także zależność funkcyjną
okresu od długości i masy).
2
Przykład II: skala Plancka
Załóżmy, że chcemy skonstruować teorię kwantowej grawitacji i mamy już pewne doświadczenie w konstruowaniu teorii fizycznych. Zacznijmy od teorii grawitacji Newtona. Wzór na siłę
oddziaływania dwóch ciał punktowych przyjmuje postać
GN m1 m2
,
(7)
r2
gdzie GN to stała wymiarowa. Gdy GN → 0, ciała nie oddziałują. Rozważmy teraz dla odmiany szczególną teorię względności. W teorii tej także występuje stała wymiarowa – prędkość
światła w próżni c. Z konieczności uogólnienia szczególnej teorii względności i teorii grawitacji
Newtona powstała ogólna teoria względności. W tej teorii występują dwie fundamentalne stałe
wymiarowe - prędkość światła c i stała Newtona GN .
F =
W latach 20. i 30. XX wieku odkryto mechanikę kwantową, która wprowadza kolejną fundamentalną stałą – h (stała Plancka). Kwantowa teoria pola to relatywistyczna mechanika kwantowa
układu o nieskończonej liczbie stopni swobody. Teoria ta zawiera dwie stałe fundamentalne –
h oraz c. Kwantowa teoria grawitacji powinna w takim razie uwzględniać w pewien sposób
wszystkie stałe fundamentalne. Pokażemy, że prowadzi to do fundamentalnej skali odległości
nazywanej skalą Plancka. Potrzebne wartości stałych fizycznych to
- GN = 6.674 × 10−11 m3 kg −1 s−2 ,
- h̄ = 1.054 × 10−34 J s,
- c = 2.998 × 108 m s−1 .
Wielkości podane są z dokładnościa do 3 cyfr po przecinku za amerykańskim National Institutes
of Standards and Technology. Wszystko robimy analogicznie jak w przypadku wahadła. Na
początku wypisujemy wymiary wszystkich wielkości występujących w problemie
- stała Newtona - [GN ] = M −1 L3 T −2 ,
- kreślona stała Plancka - [h̄] = M L2 T −1 ,
- prędkość światła - [c] = L T −1 .
Zakładając, że są to jedyne wielkości wymiarowe opisujące kwantową grawitację (żadnych dodatkowych wymiarów itp.), rozważmy ich iloczyn w postaci
F = GαN h̄β cγ .
(8)
Okazuje się, że gdy wybierzemy
- α = 1/2, β = 1/2, γ = −3/2 to otrzymamy długość Plancka lP = 1.6 × 10−35 m
- α = 1/2, β = 1/2, γ = −5/2 to otrzymamy czas Plancka tP = 5.4 × 10−44 s,
- α = −1/2, β = 1/2, γ = 1/2 to otrzymamy masę Plancka mP = 2.2 × 10−8 kg.
Żeby uświadomić sobie jak mała jest długość Plancka, wystarczy małe porównanie. Skala charakterystyczna dla zjawisk zachądzących w jądrze atomowym to 10−16 m. Oznacza to, że do
skali jądra atomowego mamy ”bliżej” na wykresie logarytmicznym niż od skali QCD do długości Plancka. Zauważmy jak mało wspólnego ma fizyka klasyczna ze zjawiskami opisywanymi
kwantową teorią pola. Sugeruje to, że mówienie o kwantowej grawitacji może być nadużyciem
z punktu widzenia dotychczasowej drogi fizyki.
3
Rysunek 1: Kula ognia powstała po detonacji pierwszej bomby atomowej. Z tych rysunków
można oszacować energię eksplozji. Jako pierwszy dokonał tego angielski fizyk Sir Geoffrey
Ingram Taylor [1].
Zadania
Zad. 1. Odszukaj na zdjęciu ściśle tajną informację
16 lipca 1945 r. na pustyni w stanie Nowy Meksyk została zdetonowana pierwsza bomba atomowa na świecie o nazwie „The Gadget”. Cała operacja nosiła nazwę „Trinity” i była ściśle
tajna. Szczegóły techniczne użytej bomby (a także energię jej detonacji, szacowaną na 20-22
kilotony TNT) trzymano w ścisłej tajemnicy. Mimo tego, po zniszczeniu Hiroshimy i Nagasaki,
12 sierpnia 1945 r., opublikowano raport („The Smyth Report”) o roli projektu Manhatan w
wytworzeniu broni atomowej. Umieszczono tam zdjęcia z pierwszej próby, tj. detonacji „The
Gadget”. Zdjęcia (i fragmenty raportu) zostały następnie przedrukowane w takich gazetach
jak np. New York Times. Okazało się jednak, że nieopatrznie zostawiono na niektórych zdjęciach pewne informacje, które mogły posłużyć oszacowaniu energii sfotografowanej eksplozji
(nie podanej w raporcie, jako że była to ściśle tajna informacja).
Korzystając z fotografii przedstawionych na rysunku 1 oszacuj energię bomby „The Gadget”.
Potrzebne dane to:
• gęstość suchego powietrza na poziomie morza: ρ0 = 1, 2
kg
m3
,
• 1 tona TNT odpowiada energii 4, 6 · 109 (J).
Uwaga: pomiń wpływ ciśnienia atmosferycznego. Wynik przelicz na kilotony trotylu (1 tona
TNT ≈ 4.6 × 109 J).
Zad. 2. Oxford vs. Cambridge
Co roku kajakarze dwóch najlepszych angielskich uniwersytetów biorą udział w prestiżowych
zawodach wioślarskich. Osady wioślarskie mogą pomieścić 2, 4, 6 albo 8 wioślarzy. Oblicz, jak
skaluje się prędkość osady wioślarskiej z ilością n wioślarzy. Problem ten rozwiązał jako pierwszy
McMahon w 1971 roku [2]. Pomocne są następujące założenia:
• w przeliczeniu na wioślarza przypada w przybliżeniu stała powierzchnia styku łodzi z
wodą (łódki z różną liczbą wioślarzy są do siebie geometrycznie podobne)
4
• każdy wioślarz dysponuje taką samą mocą mięśni
• objętość wypartej przez łódkę wody jest proporcjonalna do liczby wioślarzy
Zad. 3. Ruch kuli w ośrodku
Rozważmy kulę o promieniu r, poruszającą się z dużą prędkością v w ośrodku o gęstości ρ.
Oszacuj wartość siły oporu działającej na kulę.
Wynik można następnie porównać ze wzorami na opór areodynamiczny ze strony:
http://en.wikipedia.org/wiki/Drag (physics)
Zad. 4 Cylindryczne naczynie
[zadanie zostało zaczerpnięte ze strony domowej dr hab. Janusza Typka z Instytutu Fizyki ZUT
w Szczecinie www.typjan.ps.pl]
W cylindrycznym naczyniu o polu przekroju poprzecznego S1 znajduje się ciecz nielepka o gęstości ρ, wypełniająca naczynie do wysokości h. W dnie naczynia znajduje się otwór o powierzchni
S2 , przez który ciecz wypływa. Oszacuj czas wypływu cieczy z naczynia.
Uwaga: Uwzględnij, że układ jest w polu grawitacyjnym. Spotykając się z układem równań z
większą liczbą niewiadomych niż samych równań, poczyń dodatkowe założenia co do sposobu
wypływu cieczy z pojemnika.
Zad. 5. Ucieczka z Planety Ziemia
Przyjmijmy, że promień planety jest α-razy mniejszy od promienia Ziemi, a jej masa β-razy
mniejsza. Ile razy w stosunku do ziemskich mniejsze są na tej planecie przyspieszenie siły
grawitacyjnej, a także pierwsza i druga prędkość kosmiczna?
Zad. 6: Model helikoptera
[zadanie zostało zaczerpnięte z książki “50 lat Olimpiady Fizycznej”]
Śmigłowiec i jego model w skali 1 : 10 wykonane są z tych samych materiałów. Jaką moc
musi mieć silnik zdolny utrzymać w powietrzu śmigłowiec, jeżeli model utrzymywany jest w
powietrzu przez silnik o mocy Pm = 10 (W )?
Uwaga: Helikopter unosi się w powietrzu przekazując pęd ∆p cząsteczkom powietrza, które są
.
„wypychane” w dół za pomocą śmigieł. Siła nośna generowana w ten sposób jest równa F = ∆p
∆t
Literatura
[1] Geoffrey Taylor. The Formation of a Blast Wave by a Very Intense Explosion. II. The Atomic
Explosion of 1945. Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and
Physical Sciences, 201(1065):175–186, 1950.
[2] Thomas A. McMahon. Rowing: A similarity analysis. 173(3994):349–351, 1971.
5