Błędy weryfikacyjne c.d. Weryfikacja hipotez jednoparametrycznych

IV rok matematyki, specjalność zastosowania
Statystyka II (2 )
Błędy weryfikacyjne c.d.
Zadanie 1. Korzystając z lematu Neymana-Pearsona podaj postać jednostajnie najmocniejszego testu na poziomie istotności α = 0, 02 do weryfikacji hipotezy H0 : p = 0, 3 przy
alternatywie H1 : p = 0, 2, jeśli (X1 , X2 , . . . , X20 ) jest próbą prostą z rozkładu Bernoulliego z parametrami n = 1, p. Wyznacz rozmiar tego testu.
Weryfikacja hipotez jednoparametrycznych
Zadanie 2. Badając czas dojazdu do pracy wśród pracowników pewnego przedsiębiorstwa podjęto próbę sprawdzenia, czy czas ten przekracza 45 minut. W próbie 100
wylosowanych niezależnie pracowników otrzymano następujący rozkład czasu dojazdu:
Czas dojazdu w min.
Procent pracowników
0-20 20-40 40-60 60-80 80-100
9
26
30
21
14
Z prawdopodobieństwem błędu pierwszego rodzaju równym 0,05 zweryfikuj hipotezę,
że czas dojazdu jest istotnie dłuższy niż 45 minut.
Zadanie 3. Dostawca sałaty do sieci restauracji gwarantował, że średnia zawartość
ołowiu w jego sałacie nie przekracza 0, 10ppm (1ppm = 10−6 ). Kupujący polecił sprawdzić
16 losowo i niezależnie pobranych próbek sałaty (10 g suchej masy każda) i otrzymał w
nich średnią zawartość ołowiu wynoszącą 0,11 ppm, z odchyleniem standardowym 0,02
ppm. Przy założeniu, że zawartość ołowiu w sałacie przy tych stężeniach ma rozkład
normalny, ustal, na typowym poziomie istotności, czy ta gwarancja jest uczciwa.
Zadanie 4. Następujące liczby informują o trzyletnich zyskach (w procentach) uzyskiwanych z ulokowania pieniędzy w losowo wybranych funduszach powierniczych:28,6; 32,9;
35,0; 44,8; 36,5; 42,8; 30,7; 27,4; 39,1; 35,8; 25,9; 30,9; 23,0; 39,1; 27,9; 42,1; 31,6; 33,5; 44,1;
38,2; 41,0; 37,8; 36,5; 28,3; 8,8; 40,8; 37,1; 27,5; 16,3; 29,3; 37,4; 57,3; 9,4; 26,9; 34,8; 61,6;
19,4; 45,2. Wykorzystaj te dane do sprawdzenia następującej wypowiedzi ajenta jednego z
funduszy:”Nasz trzyletni zysk jest wyższy od przeciętnego zysku funduszy powierniczych,
który wynosi tylko 35%.”
Zadanie 5. Badania nad personelem dyrektorskim wykazały, że 45% dyrektorów przeżywa w takiej lub innej formie kryzys wieku średniego po kilku latach zawodowych sukcesów. W celu zmniejszenia liczby osób przeżywających ten kryzys założono klinikę udzielającą konsultacji dyrektorom firm. W losowej próbie 125 dyrektorów, którzy korzystali z
konsultacji, tylko u 39% z nich wystąpiły oznaki kryzysu wieku średniego. Czy przypuszczasz, że konsultacje są korzystne i pozwalają na zmniejszenie frakcji dyrektorów, którzy
przeżywają kryzys wieku średniego?
Zadanie 6. Uznano, że w bankach powinno pracować co najmniej 18% pracowników
z wykształceniem wyższym. Pobrano próbę 80 pracowników i stwierdzono, że 16, 5% ma
wyższe wykształcenie. Na typowym poziomie istotności zweryfikuj hipotezę o istotnej
różnicy pomiędzy zakładanym i zaobserwowanym procentem pracowników z wyższym
wykształceniem.
IV rok matematyki, specjalność zastosowania
Statystyka II (2 )
Zadanie 7. Producent jajek ogłosił, że jajka pochodzące z jego ferm zawierają tylko 2, 5% cholesterolu. Organizacja zdrowia chce się przekonać, czy to zapewnienie jest
prawdziwe, ponieważ podejrzewa, że w jajkach tych jest przeciętnie więcej cholesterolu.
W losowej próbie 100 jajek stwierdzono przeciętnie 5, 2% cholesterolu, przy odchyleniu
standardowym 2, 8%. Czy organizacja zdrowia powinna podjąć jakieś działania?
Zadanie 8. Maszyna wytwarza drobne metalowe płytki wchodzące w skład baterii.
Średnica płytki jest zmienną losową o średniej 5mm. Jeśli odchylenie standardowe nie
przekracza 1mm, to uważa się, że proces produkcyjny jest pod kontrolą i płytki mają
dopuszczalne wymiary. Jeśli odchylenie przekracza 1mm, maszynę trzeba wyregulować.
Kontroler jakości pobrał losowo 31 płytek i stwierdził, że ŝ = 1, 27. Czy maszyna wymaga
wyregulowania?