Pobierz/Otwórz

Planimetria
Poziom podstawowy
Zad. 1 (CKE 05/2005)
Z kawałka materiału o kształcie i wymiarach czworokąta ABCD (patrz na rysunek) wycięto
okrągłą serwetkę o promieniu 3 dm. Oblicz, ile procent całego materiału stanowi jego
niewykorzystana część. Wynik podaj z dokładnością do 0,01 procenta.
Zad. 2 (CKE 01/2006)
W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary 60 0 i 30 0 ,
a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź odpowiedni rysunek i oznacz jego
elementy. Oblicz pole trapezu oraz długości jego podstaw.
Zad. 3 (CKE 11/2006)
Z prostokąta o szerokości 60cm wycina się detale w kształcie półkola o promieniu 60cm.
Sposób wycinania detali ilustruje poniższy rysunek.
Oblicz najmniejszą długość prostokąta potrzebnego do wycięcia dwóch takich detali. Wynik
zaokrąglij do pełnego centymetra.
Zad. 4 (CKE 05/2008)
Liczba przekątnych wielokąta wypukłego, w którym jest n boków i n ≥ 3 wyraża się wzorem
n(n − 3)
P (n ) =
.
2
Wykorzystując ten wzór:
a) oblicz liczbę przekątnych w dwudziestokącie wypukłym,
b) oblicz, ile boków ma wielokąt wypukły, w którym liczba przekątnych jest pięć razy
większa od liczby boków,
c) sprawdź, czy prawdziwe jest następujące stwierdzenie: Każdy wielokąt wypukły o
parzystej liczbie boków ma parzystą liczbę przekątnych. Odpowiedź uzasadnij.
Zad. 5 (CKE 05/2008)
Dany jest trapez, w którym podstawy mają długość 4cm i 10 cm oraz ramiona tworzą
z dłuższą podstawą kąty o miarach 30 0 i 45 0 . Oblicz wysokość tego trapezu.
Zad. 6 (CKE 11/2009)
Dane są punkty A=(-2,3) oraz B=(4,6). Oblicz długość odcinka AB.
Zad. 7 (CKE 11/2009)
2
Wyznacz promień okręgu o równaniu ( x − 1) + y 2 = 16 .
Zad. 8 (CKE 11/2009)
Trójkąty ABC i CDE są równoboczne. Punkty A, C i E leżą na jednej prostej. Punkty K, L
i M są środkami odcinków AC, CE i BD (zobacz rysunek). Wykaż, że punkty K, L i M są
wierzchołkami trójkąta równobocznego.
Zad. 9 (CKE 11/2009)
Punkty A=(2,0) i B=(12,0) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego ABC
o przeciwprostokątnej AB. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y=x. Oblicz
współrzędne punktu C.
Zad. 10 (CKE 05/2010)
Okrąg opisany na kwadracie ma promień 4. Oblicz długość boku tego kwadratu.
Zad. 11 (CKE 05/2010)
Punkty A, B, C leżące na okręgu o środku S są wierzchołkami trójkąta równobocznego.
Oblicz miarę zaznaczonego na rysunku kąta środkowego ASB
Zad. 12 (CKE 11/2010)
Punkty A, B i C leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek). Oblicz miarę zaznaczonego kąta
wpisanego ACB.
Zad. 13 (CKE 11/2010)
Wyznacz równanie okręgu o środku w punkcie S=(2,1), przechodzącego przez punkt
M=(6,4).
Zad. 14 (CKE 11/2010)
Dany jest prostokąt ABCD. Okręgi o średnicach AB i AD przecinają się w punktach A i P
(zobacz rysunek). Wykaż, że punkty B, P i D leżą na jednej prostej.
Zad. 15 (CKE 11/2010)
Punkty A=(1,5), B=(14,31), C=(4,31) są wierzchołkami trójkąta. Prosta zawierająca
wysokość tego trójkąta poprowadzona z wierzchołka C przecina prostą AB w punkcie D.
Oblicz długość odcinka BD.
Zad. 16 (CKE 05/2011)
Punkt O jest środkiem okręgu. Znajdź miarę kąta wpisanego α .
Zad. 17 (CKE 05/2011)
Dany jest czworokąt ABCD, w którym AB||CD. Na boku BC wybrano taki punkt E, że
EC = CD i EB = BA . Wykaż, że kąt AED jest prosty.
Zad. 18 (CKE 05/2011)
Okrąg o środku w punkcie S=(3,7) jest styczny do prostej o równaniu y=2x-3. Oblicz
współrzędne punktu styczności.
Zad. 19 (CKE 05/2012)
Oblicz pole kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu 5.
Zad. 20 (CKE 05/2012)
Punkty A, B, C, D dzielą okrąg na 4 równe łuki. Oblicz miarę zaznaczonego na rysunku kąta
wpisanego ACD.
Zad. 21 (CKE 05/2012)
2
2
Sprawdź, czy punkt A=(-2,5) leży na okręgu ( x − 2 ) + ( y + 7 ) = 4 .
Zad. 22 (CKE 05/2012)
Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach A=(-2,2) i B=(2,10).
Zad. 23 (CKE 06/2012)
Punkt O jest środkiem okręgu. Znajdź miarę kąta wpisanego BAD.
Zad. 24 (CKE 06/2012)
Punkt S = (2,7 ) jest środkiem odcinka AB, w którym A = (− 1,3) . Wyznacz współrzędne
punktu B.
Zad. 25 (CKE 06/2012)
Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 6 i 10 oraz tangens jego kąta ostrego jest
równy 3. oblicz Pole tego trapezu.
Poziom rozszerzony
Zad. 1 (CKE 05/2005)
− 4 x 2 + y 2 + 2 y + 1 = 0
są współrzędnymi
Para liczb (x,y) spełniająca układ równań:  2
− x + y + 4 = 0
wierzchołków czworokąta wypukłego ABCD.
a) Wyznacz współrzędne punktów A, B, C, D.
b) Wykaż, że czworokąt ABCD jest trapezem równoramiennym.
c) Wyznacz równanie okręgu opisanego na czworokącie ABCD.
Zad. 2 (CKE 12/2005)
Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu R = 5 2 ,
wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma długość 10, zaś iloczyn sinusów
3
wszystkich jego kątów wewnętrznych równa się .
8
Zad. 3 (CKE 01/2006)
Punkty A=(7,8) i B=(-1,2) są wierzchołkami trójkąta ABC, w którym ∠BCA = 90 0 .
a) Wyznacz współrzędne wierzchołka C, wiedząc, że leży on na osi OX.
b) Napisz równanie obrazu okręgu opisanego na trójkącie ABC w jednokładności o
środku w punkcie P=(1,0) i skali k=-2.
Zad. 4 (CKE 05/2006)
Obiekty A i B leżą po dwóch stronach jeziora. W terenie dokonano pomiarów odpowiednich
kątów i ich wyniki przedstawiono na rysunku. Odległość między obiektami B i C jest równa
400m. Oblicz odległość w linii prostej między obiektami A i B i podaj wynik, zaokrąglając go
do jednego metra.
Zad. 5 (CKE 05/2006)
Na okręgu o promieniu r opisano trapez równoramienny ABCD o dłuższej podstawie AB
CS 2
= .
i krótszej CD. Punkt styczności S dzieli ramię BC tak, że
SB 5
a) Wyznacz długość ramienia tego trapezu.
b) Oblicz cosinus ∠CBD .
Zad. 6 (CKE 11/2006)
Trójkąt prostokątny ABC, w którym ∠BCA = 90 0 i ∠CAB = 30 0 , jest opisany na okręgu
o promieniu 3 . Oblicz odległość wierzchołka C trójkąta od punktu styczności tego okręgu
z przeciwprostokątną. Wykonaj odpowiedni rysunek.
Zad. 7 (CKE 11/2006)
Podstawa AB trapezu ABCD jest zawarta w osi Ox, wierzchołek D jest punktem przecięcia
1
paraboli o równaniu y = − x 2 + x + 6 z osią Oy. Pozostałe wierzchołki trapezu również leżą
3
na tej paraboli (patrz rysunek). Oblicz pole tego trapezu.
Zad. 8 (CKE 11/2006)
Dwa okręgi, każdy o promieniu 8, są styczne zewnętrznie. Ze środka jednego z nich
poprowadzono styczne do drugiego okręgu. Oblicz pole zacieniowanej figury (patrz rysunek).
Zad. 9 (CKE 05/2007)
3
Dany jest trójkąt o bokach długości 1, , 2 . Oblicz cosinus i sinus kąta leżącego naprzeciw
2
najkrótszego boku tego trójkąta.
Zad. 10 (CKE 05/2007)
π 3
. Wyznacz miarę
Na kole opisany jest romb. Stosunek pola koła do pola rombu wynosi
8
kąta ostrego rombu.
Zad. 11 (CKE 05/2008)
Wyznacz współrzędne środka jednokładności, w której obrazem okręgu o równaniu
(x − 16)2 + y 2 = 4 jest okrąg o równaniu (x − 6)2 + ( y − 4)2 = 16 , a skala tej jednokładności
jest liczbą ujemną.
Zad. 12 (CKE 05/2009)
Dwa okręgi o środkach A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest jednocześnie styczny
do ramion tego samego kąta prostego (patrz rysunek). Udowodnij, że stosunek promienia
większego z tych okręgów do promienia mniejszego jest równy 3 + 2 2 .
Zad. 13 (CKE 05/2009)
2
2
W układzie współrzędnych narysuj okrąg o równaniu ( x + 2 ) + ( y − 3) = 4 oraz zaznacz
punkt A=(0,-1). Prosta o równaniu x=0 jest jedną ze stycznych do tego okręgu
przechodzących przez punkt A. Wyznacz równanie drugiej stycznej do tego okręgu,
przechodzącej przez punkt A.
Zad. 14 (CKE 05/2010)
Punkt A=(-2,5) jest jednym z wierzchołków trójkąta równoramiennego ABC, w którym
AC = BC . Pole tego trójkąta jest równe 15. Bok BC jest zawarty w prostej o równaniu
y=x+1. Oblicz współrzędne wierzchołka C.
Zad. 15 (CKE 05/2011)
Podstawa AB trójkąta równoramiennego ABC ma długość 8 oraz ∠BAC = 30 0 . Oblicz
długość środkowej AD tego trójkąta.
Zad. 16 (CKE 05/2011)
Oblicz miarę kąta między stycznymi do okręgu x 2 + y 2 + 2 x − 2 y − 3 = 0 poprowadzonymi
przez punkt A=(2,0).
Zad. 17 (CKE 05/2011)
Dany jest czworokąt wypukły ABCD niebędący równoległobokiem. Punkty M, N są
odpowiednio środkami boków AB i CD. Punkty P, Q są odpowiednio środkami przekątnych
AC i BD. Uzasadnij, że MQ||PN.
Zad. 18 (CKE 05/2012)
5 
1
W układzie współrzędnych rozważmy wszystkie punkty P postaci: P =  m + , m  , gdzie
2 
2
2
 55 
m ∈ − 1,7 . Oblicz najmniejszą i największą wartość PQ , gdzie Q =  ,0  .
 2 
Zad. 19 (CKE 06/2012)
Okrąg jest styczny do osi układu współrzędnych w punktach A = (0,2) i B = (2,0) oraz jest
styczny do prostej l w punkcie C = (1, a ) , gdzie a>1. wyznacz równanie prostej l.
Zad. 20 (CKE 06/2012)
W czworokącie ABCD dane są długości boków: AB = 24 , CD = 15 , AD = 7 . Ponadto kąty
DAB oraz BCD są proste. Oblicz pole tego czworokąta oraz długości jego przekątnych.