ZADANIA przygotowujące do kolokwium 1

Zadanie 1
Zmienna losowa X ma rozkład:
x
p
-2
0,2
0
0,5
1
0,3
Wyznaczyć i narysować dystrybuantę tej zmiennej losowej.
Odp.
Zadanie 2
Zmienna losowa X ma rozkład:
X
P
-10
0,2
0
0,5
10
0,2
40
0,1
Podać wartość dystrybuanty tej zmiennej w punkcie 5. Odp. F(5)=0,7
Zadanie 3
Wyznaczyć EX oraz D2X zmiennej losowej X o rozkładzie:
x
-10
0
1
p
0,1
0,5
0,3
Podać wartość dystrybuanty tej zmiennej losowej w punkcie 1.
2
0,1
Odp. EX= - 0,5, EX2=10,7, D2X=10,45, F(1)=0,9.
Zadanie 4
Wyznaczyć EX oraz D2X zmiennej losowej X o rozkładzie:
x
-5
0
p
0,2
0,4
1
0,1
5
0,3
Odp. EX= 0,6, EX2=12,6, D2X=12,24
Zadanie 5
a) Jacek bierze udział w następującej grze: rzuca kostką do gry, gdy wypadnie liczba
parzysta Jacek dostaje 10 zł; gdy wypadnie 3 lub 5 Jacek nic nie dostaje, ale też nic
nie płaci; gdy wypadnie 1 Jacek płaci 20 zł. Podać rozkład zmiennej losowej X, którą
definiujemy jako wygrana Jacka.
Odp.
x
p
-20
1/6
0
2/6
10
3/6
Zadanie 6
W urnie znajduje się pięć kul białych oraz dwie czarne. Z urny losujemy dwie kule. Niech X
oznacza zmienną losową oznaczającą liczbę wylosowanych kul białych. a) Wyznaczyć
rozkład zmiennej losowej X gdy losowanie odbywa się bez zwracania b) wyznaczyć rozkład
zmiennej losowej X gdy losowanie odbywa się ze zwracaniem. c) Niech Y oznacza zmienną
losową równą 0, gdy wylosowaliśmy dwie kule o różnych kolorach i równą 1, gdy
wylosowaliśmy dwie kule o tych samych kolorach. Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Y
gdy losujemy bez zwracania
Odp. a)
xk
pk
0
2/42
1
20/42
2
20/42
0
4/49
1
20/49
2
25/49
b)
xk
pk
c)
yk
pk
0
20/42
1
22/42
Zadanie 7
Niech X i Y będą niezależnymi zm. losowymi takimi, że EX = 4, EY = 2,
Obliczyć
=
=
=
Odp. 15; 11; 19; 19
Zadanie 8
W urnie jest 1 kula biała i 4 czerwone. Z urny losujemy 3 kule bez zwracania. Niech X będzie zmienną
losową oznaczającą wyciągniętą liczbę kul czerwonych. Podać rozkład zmiennej losowej X.
Odp.
x
p
2
3/5
3
2/5
Zadanie 9
W urnie są 2 kule białe i 2 czerwone. Z urny losujemy 3 kule bez zwracania. Niech X będzie zmienną
losową oznaczającą wyciągniętą liczbę kul białych. Podać rozkład zmiennej losowej X.
Odp.
x
p
1
½
2
1/2
Zadanie 10
Kasyno proponuje następującą grę losową. Rzucamy symetryczną kostką 3 razy. Jeśli za
każdym razem wypadnie szóstka, kasyno płaci klientowi 1000 zł, jeśli za każdym razem
wypadnie ta sama liczba oczek (ale nie 3 szóstki) kasyno płaci klientowi 100 zł, jeśli choć raz
wypadnie inna liczba oczek, kasyno nic nie płaci. Udział w grze kosztuje tylko 10 zł. Czy gra
jest opłacalna dla kasyna? Wskazówka: Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej X, gdzie X jest
„wygraną” kasyna, a następnie obliczyć jej wartość oczekiwaną.
Odp.
xk
pk
-1000
1/216
-100
5/216
10
210/216
EX=600/216=2,77778 (
Wartość oczekiwana zmiennej losowej X, czyli „wygranej” kasyna jest dodatnia, czyli gra
jest dla kasyna opłacalna.
Uwaga: zadanie można było odczytać na dwa sposoby. Jeśli ktoś uzyskał tabelę poniżej
również otrzymuje wszystkie punkty:
xk
pk
-990
1/216
-90
5/216
10
210/216
Zadanie 11
W zamrażalniku znajduje się 5 lodów, w tym 3 waniliowe i 2 czekoladowe. Do zamrażalnika
podchodzi dziecko, które nie znosi lodów czekoladowych a uwielbia waniliowe. Dziecko
wkłada rękę do zamrażalnika i losowo wyciąga jednego loda. Jeśli jest to lód czekoladowy
denerwuje się, odkłada go i więcej lodów nie wyciąga. Jeśli jest to lód waniliowy zjada go i
sięga po następnego. Całą zabawę kontynuuje w analogiczny sposób. To znaczy, gdy natrafi
na loda waniliowego, zjada go i sięga po następnego. Gdy natrafi na loda czekoladowego
denerwuje się, odkłada go i więcej po lody nie sięga. Zabawa kończy się dla dziecka dopiero
w chwili natrafienia na loda czekoladowego. Niech X oznacza liczbę zjedzonych lodów. a)
Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej X. b) Wyznaczyć EX c) Wyznaczyć D2X. d)
Wyznaczyć odchylenie standardowe zmiennej losowej X
Odp.
xk
pk
0
0,4
1
0,3
2
0,2
3
0,1
b) EX=1, c) D2X=1 d) 1
Zadanie 12
Ze zbioru liczb 1,2,…,100 losujemy n=5 razy niezależnie od siebie po 1 liczbie. Obliczyć
prawdopodobieństwo tego, że:
a) Dokładnie 2 razy wylosujemy liczbę parzystą, a 3 razy nieparzystą
b) Liczb parzystych wylosujemy mniej niż nieparzystych
Odp. a) 10/32 b) 0,5
Zadanie 13
Ze zbioru liczb 1,2,…,9 losujemy n=6 razy niezależnie od siebie po 1 liczbie. Obliczyć
prawdopodobieństwo tego, że:
a) Dokładnie 1 raz wylosujemy liczbę podzielną przez 2
b) Liczbę podzielną przez 2 wylosujemy co najmniej 2 razy
a) 0,14113
b) 0,829473
Zadanie 14
Pracownik pewnej firmy mieszka w okolicy, w której odbywają się częste awantury i w
związku z tym, nie ze swojej winy, spóźnia się do pracy. Na podstawie obserwacji oszacował,
że w przeciągu kilku ostatnich miesięcy spóźniał się przeciętnie 2 razy na 10 dni roboczych.
W całym najbliższym tygodniu (5 dni roboczych) ma być przeprowadzona kontrola. Obliczyć
prawdopodobieństwo tego, że
a) pracownik w każdym dniu kontrolowanym spóźni się do pracy
b) pracownik spóźni się przynajmniej raz podczas kontrolowanego tygodnia
Wskazówka: skorzystać z rozkładu dwumianowego
Odp. a) 0,00032 b) 0,67232
Zadanie 15
Firma ma do wyboru kupno systemu zabezpieczeń dwóch producentów. Producent I
proponuje system składający się z trzech niezależnie od siebie pracujących czujników, z
których każdy wykrywa intruza z prawdopodobieństwem 0,90. Producent II proponuje system
składający się z 10 niezależnie od siebie pracujących czujników, z których każdy wykrywa
intruza z prawdopodobieństwem 0,5. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że
a) dokładnie dwa czujniki wykryją intruza w przypadku systemu I producenta
b) dokładnie trzy czujniki wykryją intruza w przypadku systemu II producenta
c) intruz zostanie wykryty w przypadku systemu I producenta
d) intruz zostanie wykryty w przypadku systemu II producenta
Odp. a) 0,243 b) 120/1024 c) 0,999 d) 0,9990232
Zadanie 16
Firma medyczna, chcąc zaoszczędzić, po konsultacji z analitykiem, świadomie zakupiła
cztery wybrakowane (ale dużo tańsze!) urządzenia do badań. Wszystkie urządzenia
zachowują się podczas pojedynczego dnia pracy identycznie, tzn. ulegają awarii z
prawdopodobieństwem 0,1. Urządzenia pracują niezależnie od siebie. Obliczyć
prawdopodobieństwo tego, że podczas pojedynczego dnia pracy a) popsują się dokładnie trzy
urządzenia b) popsują się wszystkie cztery urządzenia c) przynajmniej jedno z urządzeń nie
popsuje się.
Odp. a) 0,0036 b) 0,0,0001 c) 0,9999
Zadanie 17
Pracownik pewnej firmy mieszka w okolicy, w której odbywają się częste awantury i w
związku z tym, nie ze swojej winy, spóźnia się do pracy. Na podstawie obserwacji oszacował,
że w przeciągu kilku ostatnich miesięcy spóźniał się przeciętnie 3 razy na 10 dni roboczych.
W całym najbliższym tygodniu (5 dni roboczych) ma być przeprowadzona kontrola. Obliczyć
prawdopodobieństwo tego, że
a) pracownikowi uda się nie spóźnić ani razu podczas kontrolowanego tygodnia
b) pracownik spóźni się więcej niż jeden raz podczas kontrolowanego tygodnia
Wskazówka: skorzystać z rozkładu dwumianowego
Odp. a) 0,16807
b) 0,47178
Zadanie 18
Firma ma do wyboru kupno systemu zabezpieczeń dwóch producentów. Producent I
proponuje system składający się z trzech niezależnie od siebie pracujących czujników, z
których każdy wykrywa intruza z prawdopodobieństwem 0,90. Producent II proponuje system
składający się z 10 niezależnie od siebie pracujących czujników, z których każdy wykrywa
intruza z prawdopodobieństwem 0,5. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że
a) dokładnie dwa czujniki wykryją intruza w przypadku systemu I producenta
b) dokładnie trzy czujniki wykryją intruza w przypadku systemu II producenta
c) intruz zostanie wykryty w przypadku systemu I producenta
d) intruz zostanie wykryty w przypadku systemu II producenta
Odp. a) 0,243 b) 120/1024 c) 0,999 d) 0,9990232
Zadanie 19
Profesor ma na swoim wykładzie aż 250 studentów, wobec czego zdecydował się na egzamin
testowy. Mało ambitny student postanowił podejść do egzaminu testowego w sposób czysto
losowy, tzn. udzielając odpowiedzi TAK/NIE z prawd. ½ . Egzamin składa się z 10 pytań
testowych z odpowiedziami TAK lub NIE. Egzamin zalicza udzielenie co najmniej 8
poprawnych odpowiedzi.
a) Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że student przynajmniej na jedno pytanie
odpowie źle.
b) Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że student zda egzamin.
c) Jeśli założymy hipotetycznie, że każdy z 250 studentów profesora podejdzie do
egzaminu w sposób losowy, to oczekujemy, że ilu z nich nie zda egzaminu?
d) Niech X będzie zmienną losową oznaczającą liczbę egzaminów prowadzącą do
zdania, przy założeniu, że wszystkie odpowiedzi udzielane są w sposób losowy.
Obliczyć EX.
Odp. a) 0,999023
b) 56/1024 = 0,0547 c) około 236 studentów d) EX=18,29
Zadanie 20
Rzucamy czterema monetami tak długo, aż wyrzucimy w jednym rzucie cztery jednakowe
wyniki, tj. cztery orły lub cztery reszki. Obliczyć wartość oczekiwaną liczby rzutów Obliczyć
prawdopodobieństwo zdarzenia, że wykonamy liczbę rzutów większą niż 2. Odp. EX=8;
prawd. 0,766.
Zadanie 21
Pewien nieszczęsny hazardzista postanowił grać w dużego lotka tak długo, aż w końcu trafi
szóstkę. Ponieważ znał się tez na statystyce postanowił najpierw policzyć oczekiwaną liczbę
losowań wiodącą do pierwszej szóstki w dużego lotka. Odp. 13 983 816
Zadanie 22
Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem
. Obliczyć
Odp. a) 0,406 b) 0,594
Zadanie 23
a)Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem
. Obliczyć
b) Firma ubezpieczeniowa modeluje liczbę zgłoszonych szkód
rozkładem Poissona. W grupie kierowców z pewnego miasta posiadających prawo jazdy nie
dłużej niż rok zaobserwowano 42 zgłoszone szkody na 100 kierowców. Oszacować na tej
podstawie prawdopodobieństwo tego, że losowy kierowca z takiej grupy zgłosi przynajmniej
jedną szkodę.
Odpowiedzi:
a) 0,368; 0,368; 0,264
b) 0,343
Zadanie 24
Zmienna losowa ma rozkład Poissona z parametrem . Dla jakich wartości parametru
spełniony jest warunek
Odp.
Zadanie 25
Wzrost dziewcząt osiemnastoletnich ma rozkład normalny
populacji dziewcząt o wzroście ponad 170 cm. Odp. 0,2119
. Obliczyć udział w
Zadanie 26
Niech X1,..., X4 będzie prostą próbą losową z rozkładu N(2,10). Obliczyć a)
b)
Zadanie 27
Niech
. a) Obliczyć
z rozkładu
. Obliczyć
Odp. a) 0,4013 b) 0,383
Zadanie 28
Niech
. a) Obliczyć
z rozkładu
. Obliczyć
Odp. a) 0,3707 b) 0,1974
będzie prostą próbą losową
b) Niech
.
Zadanie 29
Niech
będzie prostą próbą losową z rozkładu
c)
Odp. a) 0,1170
b) 0,7852
Zadanie 30
Niech X1,...,
Xn
będzie
będzie prostą próbą losową
b) Niech
.
. Obliczyć a)
b)
c) 0,6682
prostą
próbą
losową
z
rozkładu
N(11,4).
Obliczyć
prawdopodobieństwo tego, że średnia z 4-elementowej próby jest mniejsza od 7.
Odp. 0,0228
Zadanie 31
Niech X1,..., Xn będzie prostą próbą losową z rozkładu N(5,3). Obliczyć prawdopodobieństwo
tego, że średnia z 9-elementowej próby jest większa od 7.
Odp. 0,0228
Zadanie 32
Niech X1,..., Xn będzie prostą próbą losową z rozkładu N(20,3). Obliczyć
prawdopodobieństwo tego, że średnia z n-elementowej próby jest większa od 15. Przyjąć
n=16.
Odp.
P
Zadanie 33
Zawartość witaminy P w torebce suplementu diety z suszonych owoców aronii pewnej firmy,
ze względu na specyficzne metody suszenia, charakteryzuje się dużą zmiennością, a
konkretnie jest zmienną losową o rozkładzie
.
a) Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że zawartość witaminy P w losowo kupionej
torebce będzie większa niż 2000 mg
b) Obliczyć udział procentowy saszetek tej firmy, które zawierają mniej niż 500 mg
witaminy P.
c) Klient pragnie zakupić 25 takich saszetek. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że
średnia zawartość witaminy P w 25 zakupionych saszetkach (średnia z próby) mieścić
się będzie w przedziale od 1200 do 1800 mg
Odp. a)
0,3085
b)
. Ok. 15,87% c) 0,8664
Zadanie 34
Zawartość toksycznej substancji w 100g ryby złowionej w pewnym obszarze Pacyfiku ma
rozkład N(20,4). a) Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że zawartość toksycznej substancji w
losowo przyjętej porcji 100g ryby złowionej w tym obszarze Pacyfiku będzie zawierać się w
przedziale od 19 do 21, tj. policzyć
, gdzie
. b) Obliczyć
prawdopodobieństwo tego, średnia tygodniowa dawka (zakładając, że porcję 100g takiej ryby
jemy codziennie) przyjmowanej substancji toksycznej jest większa od 18,5, tj. policzyć
prawdopodobieństwo tego, że średnia z 7-elementowej próby prostej z rozkładu
jest
większa od 18,5.
Odpowiedzi:
a) 0,1974
b) 0,8389
Zadanie 35
Dla zmiennej losowej X o rozkładzie jednostajnym na przedziale (0,1),
. Odp. 1.
obliczyć
Zadanie 36
Autobus kursuje regularnie co 20 minut. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że przychodząc
na przystanek w sposób losowy będziemy czekać dłużej niż 15 minut. Odp. 0,25
Zadanie 37
Zmienna losowa ma rozkład wykładniczy o funkcji gęstości
Wyznaczyć: a) EX b) DX c)
c) 1/e
d) 1- (1/
0,95
d)
.
) Odp. a) EX=1 b) DX=1,
Zadanie 38
Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie
a) zero-jedynkowym z parametrem p=0,6
b) dwumianowym z parametrami n=4, p=0,3
c) geometrycznym z parametrem p=0,5
d) Poissona z parametrem
e) jednostajnym na przedziale (2,4)
f) normalnym N(5,2)
g) wykładniczym z parametrem
Obliczyć w każdym z przypadków
Odp. a) 0,6 b) 0,3483 c) 0,25 d) 0,2642 e) 0,5 f) 0,5 g) 0,3679