( v,u) (u,u)

Iloczyn skalarny (powt.)
DEFINICJA:
M
Niech V będzie przestrzenią wektorową. Iloczyn skalarny w V to dowolna
funkcja h. . . , . . .i : V × V → R spełniająca warunki:
• (niezerowość) hv, vi > 0 dla v 6= O,
• (symetria) hu, vi = hv, ui,
• (addytywność) hu + w, vi = hu, vi + hw, vi,
• (multyplikatywność) hau, vi = a · hu, vi.
Nasz główny przykład: iloczyn skalarny w Rn :
def
h (x1 , x2 , . . . , xn ) , (y1 , y2 , . . . , yn ) i =
n
X
i=1
xi · y i
DEFINICJA:
M
Przestrzeń Rn z iloczynem skalarnym zdefiniowanym jak wyżej nazywamy
przestrzenią euklidesową i oznaczamy En .
Wykład 11, 6 I 2009, str. 2
Iloczyn skalarny — interpretacja geometryczna (powt.)
Fakt: Iloczyn skalarny vektorów na płaszczyźnie jest równy iloczynowi
ich długości i kosinusa kąta między nimi.
u
1v
α
........
......
....
...
...
...
...
..
.
hu, vi = |u| · |v| · cos(α − β)
...
...
...
..
..
..
β
Iloczyn skalarny — interpretacja geometryczna (powt.)
Fakt:
M
Ostatni fakt uogólnia się na wektory w dowolnej En ; to znaczy iloczyn
skalarny dwóch wektorów w En jest równy iloczynowi ich długości i
kosinusa kąta między nimi.
Wniosek:
M
Dwa wektory u i v są prostopadłe wtedy i tylko wtedy gdy hu, vi = 0.
Niech u = (u1 , u2 , . . . , un ) ∈ En r {O}. Wtedy hiperpłaszczyzna prostopadła do u przechodząca przez O określona jest wzorem
n
o
x ∈ E hu, xi = 0 =
n
n
=
o
(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ E u1 x1 + u2 x2 + . . . + un xn = 0
n
Wykład 11, 6 I 2009, str. 4
Iloczyn skalarny — interpretacja geometryczna (powt.)
Dla n = 2 (czyli na płaszczyźnie):
L⊥u =
n
x ∈ E2 hu, xi = 0
oznacza prostą:
o
=
n
(x1 , x2 ) ∈ En u1 x1 + u2 x2 = 0
u
HH
HH
HH
HH
HH
HH
HH
⊥u
HLH
HH
H
o
Iloczyn skalarny — interpretacja geometryczna (powt.)
Fakt:
M
Długość wektora v = (v1 , v2 , . . . , vn ) ∈ En wynosi
v
u n
q
uX
2
t
|v| =
vi = hv, vi
i=1
Fakt:
1
M
Jeśli u ∈ En r {O}, to
· u jest wektorem jednostkowym (czyli o
|u|
długości 1) współliniowym z u.
Wykład 11, 6 I 2009, str. 6
Równania hiperpłaszczyzn
Sposoby opisu hiperpłaszczyzny w Rn :
• Równanie normalne:
Jako jądro przekształcenia liniowego Rn → R:
n
o
o
n
n
x ∈ R f (x) = 0 = x ∈ R ha, xi = 0
n
gdzie f : Rn → R jest jakimś przekształceniem liniowym;
a ∈ Rn jest jakimś wektorem.
• Równanie parametryczne:
Jako obraz przekształcenia liniowego Rk → Rn :
n
o
n
o
k
k
g(x) x ∈ R
= B × xx ∈ R
gdzie g : Rk → Rn jest jakimś przekształceniem liniowym;
B jest jakąś macierzą o wymiarach n × k.
Równanie normalne
Równanie normalne prostej w E2 prostopadłej do
wektora n 6= O, przechodzącej przez punkt p:
n
o
x ∈ E hx − p, ni = 0
(
)
(x − p )n +
1
1
= (x1 , x2 ) ∈ E2 1
(x2 − p2 )n2 = 0
2
p
n
*
xU
Równanie normalne płaszczyzny w E3 prostopadłej do wektora n 6= O,
przechodzącej przez punkt p:
n
o
x ∈ E hx − p, ni = 0
o
n
3
= (x1 , x2 , x3 ) ∈ E (x1 − p1 )n1 + (x2 − p2 )n2 + (x3 − p3 )n3 = 0
3
Wykład 11, 6 I 2009, str. 8
Równanie parametryczne
Równanie parametryczne prostej w Ek (dowolne k) o wektorze kierunkowym n 6= O, przechodzącej przez punkt p:
n
p + t · nt ∈ R
o
p
n
*
Równanie parametryczne płaszczyzny w En o wektorach kierunkowych
n1 6= O i n2 6= O, przechodzącej przez punkt p:
n
o
p + t · n1 + u · n2 t, u ∈ R
Równania hiperpłaszczyzn
W E2 : równanie
n1 x1 + n2 x2 + r = 0 gdzie (n1 , n2 ) 6= (0, 0)
przedstawia prostą. Ta prosta jest prostopadła do wektora n = (n1 , n2 ).
W E3 : równanie
n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 + r = 0 gdzie (n1 , n2 , n3 ) 6= (0, 0, 0)
przedstawia płaszczyznę. Ta płaszczyzna jest prostopadła do wektora
n = (n1 , n2 , n3 ).
Wykład 11, 6 I 2009, str. 10
Równania hiperpłaszczyzn
Równanie prostej w E2 przechodzącej przez dwa różne punkty
p = (p1 , p2 ) i q = (q1 , q2 ):
x
1
p1
q1
x2
p2
q2
x2
p2
q2
r2
1 1 = 0
1 Równanie płaszczyzny w E3 przechodzącej przez trzy niewspółlniowe punkty
p = (p1 , p2 , p3 ), q = (q1 , q2 , q3 ) i r = (r1 , r2 , r3 ):
x1
p1
q1
r1
x3
p3
q3
r3
1
1
1
1
=0
Rzutowanie
TWIERDZENIE:
M
Niech u, v ∈ En przy czym u 6= O. Wtedy
• rzut wektora v na prostą wyznaczoną przez wektor u:
hv, ui
·u
vku def
=
hu, ui
• rzut wektora v na hiperpłaszczyznę prostopadłą do wektora u:
hv, ui
·u
v⊥u def
= v−
hu, ui
vku
7ZZ
Z
Zv
*
u
7
.... α
...
Z
..
Z
Z
Z
Z
Z
Z
v~
⊥u
Z
Z
hv, ui
·u
hu, ui
=
|v| · cos α
|v| · |u| · cos α
·
u
=
·u
|u|2
|u|
= |vku | ·
1
· u = vku
|u|
Wykład 11, 6 I 2009, str. 12
Odległość punktu od hiperpłaszczyzny
Rzut wektora v na hiperpłaszczyznę prostopadłą do wektora u:
hv, ui
v⊥u def
·u
= v−
hu, ui
Wyliczenie odległości r vektora v od hiperpłaszczyzny wyznaczonej przez
wektor u:
r2 =
= hv − v⊥u , v − v⊥u i
=
*
hv, ui
hv, ui
· u,
·u
hu, ui
hu, ui
hv, ui2
· hu, ui
=
hu, ui2
=
+
hv, ui2
hu, ui
Odległość punktu od prostej na płaszczyźnie
Prosta: L =
n
o
n
o
(x, y) ax + by = 0 = (x, y) h(a, b), (x, y)i = 0 .
Odległość punktu (p, q) od tej prostej:
r =
v
u
u h(a, b), (p, q)i2
= t
h(a, b), (a, b)i
| h(a, b), (p, q)i |
= q
h(a, b), (a, b)i
|ap + bq|
= √ 2
a + b2
Wykład 11, 6 I 2009, str. 14
3
Odległość punktu od płaszczyzny w R
Płaszczyzna:
n
o
L = (x, y, z) ax + by + cz = 0
n
o
= (x, y, z) h(a, b, c), (x, y, z)i = 0
Odległość punktu (p, q, r) od tej płaszczyzny:
r =
v
u
u h(a, b, c) , (p, q, r)i2
= t
h(a, b, c) , (a, b, c)i
| h(a, b, c) , (p, q, r)i |
= q
h(a, b, c) , (a, b, c)i
=
|ap + bq + cr|
√
a2 + b2 + c2