Microsoft Word Viewer 97 - 4 Wyk³ad_Uk³ady równań i met

METODY KOMPUTEROWE
1
UKŁADY RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH, METODY WIELOKROKOWE
Michał PŁOTKOWIAK, Adam ŁODYGOWSKI
Konsultacje naukowe dr inz. Witold Kąkol
Poznań 2002/2003
METODY KOMPUTEROWE 4
UKŁADY RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH
Układ równań różniczkowych zapiszemy w postaci:
dy1
= f 1 (x, y1 , y 2 ,..., y n )
dx
.......................................
.......................................
(4.1)
dy n
= f n (x, y1 , y 2 ,..., y n )
dx
Rozwiązanie takiego układu polega na zastosowaniu jednej z poznanych
metod rozwiązywania równań różniczkowych dla każdego równania.
Przykład:
 dy1
 dx = −0,5 y1
Rozwiąż układ równań: 
 dy 2 = 4 − 0,3 y − 0,1 y
2
1
 dx
Warunek początkowy:
y1 (0) = 4
y 2 (0) = 6
krok h = 0,5
Stosując metodę Eulera mamy:
y1 (0,5) = 4 + [− 0,5 ⋅ 4]⋅ 0,5 = 3
y 2 (0,5) = 6 + [4 − 0,3 ⋅ (6) − 0,1 ⋅ (4)]⋅ 0,5 = 6,9
Politechnika Poznańska ®
Michał Płotkowiak, Adam Łodygowski
2
METODY KOMPUTEROWE
UKŁADY RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH, METODY WIELOKROKOWE
METODA POŁOWIENIA PRZEDZIAŁU
Dzięki takiemu zabiegowi otrzymujemy zbieżność metody wyższego rzędu, a co za tym
idzie, większą dokładność rozwiązania i mniejszy błąd.
h
2 ⋅ 0,5h
(y1 )
(y 2 )
∆ = y 2 − y1
Przykład:
y ' = 4 ⋅ e 0,8⋅ x − 0,5 ⋅ y





Rozwiązanie y 2 ← y 2 +
∆
15
Rozwiąż równanie w przedziale od x=0 do x=2
Warunek początkowy: y(0)=2
Krok całkowania: h=1
Rozwiązanie dokładne:
y (2) = 14,84392
korzystając z metody połowienia przedziału mamy:
dla h
1
[3 + 2 ⋅ (6,40216 + 4,70108) + 14,11105]⋅ 2 = 15,10584
6
1
y (1) = 2 + [3 + 2 ⋅ (4,2173 + 3,91297 ) + 5,94568 ⋅ 1]⋅ 1 = 6,20104
6
1
y (2) = 6,20104 + [5,8164 + 2 ⋅ (8,72954 + 7,99756 ) + 12,71283]⋅ 1 = 14,86249
6
y (2) = 2 +
Błąd:
14,56249 − 15,10584
= 0,01622
15
E k = 14,84392 − 14,86249 = −0,01857
E=
y (2) = 14,86249 − 0,01622 = 14,84627
Politechnika Poznańska ®
Michał Płotkowiak, Adam Łodygowski
3
METODY KOMPUTEROWE
UKŁADY RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH, METODY WIELOKROKOWE
METODY WIELOKROKOWE:
Oznaczmy przez :
Ax = b
uklad równań algebraicznych. Rozwiązanie ukladu zapiszemy formalnie w postaci :
x = A −1b
Gdy det A ≈ 0 to rozwiązanie jest wrażliwe na niedokladności zaokrągleń.
Jeżeli dla układu równań różniczkowych y = f ( x, y ) stosunek największej wartości
'
 df 
 do najmniejszej wartości własnej jest
 dy 
własnej co do modułu macierzy Jacobiego 
>>1, to taki układ nazywamy typu stiff.
Np.
y' = A ⋅ y
A=
− 667 333
666 − 334
λ1 = −1
λ 2 = −1000
 y1 ( x) = e − x − e −1000 x

 y 2 ( x) = 2e − x − e −1000 x
y 
y = 1
 y2 
Przykład:
dy
= −1000 y + 3000 − 2000e −t
dt
−1000t
Rozwiązanie: y = 3 − 0,998e
− 2,002e −t
dy
= ay
y (0) = y 0
dt
y = y 0 e at
y (0) = 0
Rozpatrzmy rozwiązanie metodą Eulera:
dy i
⋅h
dt
= y i + ay i ⋅ h
y i +1 = y i +
y i +1
y i +1 = y i (1 − a ⋅ h )
Politechnika Poznańska ®
Michał Płotkowiak, Adam Łodygowski
METODY KOMPUTEROWE
UKŁADY RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH, METODY WIELOKROKOWE
Rozwiązanie zależy od wielkości kroku h
Aby rozwiązanie było stabilne to musi być spełniony warunek:
1− a ⋅ h < 1
.
h <
2
a
=
2
1000
= 0,002
METODA EXPLICIT (metoda jawna)
Metoda ta polega na wyznaczaniu rozwiązania przez wykonywanie operacji i
otrzymywaniu rozwiązania wprost. Bardzo prosta w użyciu ale ograniczona przez
wielkość kroku całkowania.
METODA NIEJAWNA (metoda backword lub implicit Eulera)
W metodzie tej stosujemy algorytm:
dy i +1
⋅h
dt
= y i + ay i +1 ⋅ h
y i +1 = y i +
y i +1
y i +1 =
Metoda ta jest bezwarunkowo stabilna.
yi
⇒ yi → 0 ⇒ i → ∞
1+ a ⋅ h
Przykład:
y (0) = 0
dy
= −1000 y + 3000 − 2000e −t
dt
Rozwiążemy to równanie metodą:
1) explicit Eulera dla h=0,0005 i h=0,0015, dla przedziału t=0 i t=0,006
2) implicit dla h=0,05 w przedziale 0<t<0,4
(
+ (− 1000 y
1) y i +1 = y i + − 1000 y i + 3000 − 2000e
2) y i +1 = y i
y i +1 =
i +1
− t i +1
+ 3000 − 2000e
)⋅ h
)⋅ h
− t i +1
y i + 3000h − 2000he −ti +1
1 + 1000h
Politechnika Poznańska ®
Michał Płotkowiak, Adam Łodygowski
4
METODY KOMPUTEROWE
UKŁADY RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH, METODY WIELOKROKOWE
Rys. 1. Porównanie rozwiązań metod a) explicit i b) implicit
Politechnika Poznańska ®
Michał Płotkowiak, Adam Łodygowski
5