Lista piąta

In»ynierskie zastosowania statystyki ¢wiczenia
Tydzie« 5: Estymacja parametrów rozkªadu metod¡ momentów
Poni»ej opisano u»ywane poj¦cia i zebrano charakterystyczne dla tego tematu typy zada«.
Tam gdzie nie jest to jawnie napisane, ale wynika to z tre±ci zadania, rozwa»amy prób¦ losow¡
X = (X1 , . . . , Xn )
niezale»nych zmiennych losowych o tym samym rozkªadzie podanym w zadaniu.
Zadania
1. Metod¡ momentów wyznaczy¢ estymatory:
(a) parametru
p ∈ [0, 1]
w rozkªadzie geometrycznym
P (X = k) = (1 − p)k−1 p,
(b) parametru
(c) parametru
λ > 0 w rozkªadzie wykªadniczym
λ2 > 0 w rozkªadzie Poissona
P (X = k) =
dla k ∈ N+
o funkcji g¦sto±ci
e−λ λk
,
k!
dla k ∈ N
2. Metod¡ momentów wyznaczy¢ estymator wektora parametru
(a)
Θ = (µ, σ)
w rozkªadzie normalnym
µ ∈ R, σ ∈ R+ , ∀x ∈ R : f (x) =
(b)
p
Θ:
N (µ, σ 2 )
√1 e−
σ 2π
(x−µ)2
2σ 2
Θ = (n, p), w rozkªadzie Bernouliego.
n ∈ N, p ∈ [0, 1], ∀k ∈ {0, . . . , n} : P (k = X) =
3. Oblicz estymator parametru
f (x) = λe−λx 1(0,∞) (x)
n k
k p (1
− p)n−k
metod¡ momentów dla próby losowej
X = (X1 , . . . , Xn )
nieza-
le»nych zmiennych losowych o tym samym rozkªadzie dyskretnym danym przez



P (X = 0) = p,
P (X = 1) = 1 − 2p,


P (X = 2) = p,
4. Wyznacz (metod¡ momentów) estymator parametru
k
dla próby losowej
X = (X1 , . . . , Xn )
niezale»nych zmiennych losowych o tym samym trzypunktowym rozkªadzie dyskretnym danym
przez nast¦puj¡ce prawdopodobie«stwa

1

P (X = −1) = 2k2

1
P (X = 0) = 1 − k2


P (X = 1) = 1
2k2
.
5. Metod¡ momentów wyznacz estymator parametru
k
dla próby losowej
X = (X1 , . . . , Xn )
niezale»nych zmiennych losowych o tym samym rozkªadzie o g¦sto±ci prawdopodobie«stwa
fk (x) =
xk2
2
1[0, 2 ] (x).
k
6. Poka», »e korzystaj¡c z metody momentów dla zmiennych losowych
kªadu jednostajnego
U(−θ, θ)
mo»na otrzyma¢ estymator
v
u
n
u3 X
θ̂ = t
Xi2 .
n
i=1
Xi
pochodz¡cych z roz-
Teoria
Metoda momentów jest jedn¡ z metod estymacji parametrów opart¡ na idei podstawienia. W metodzie tej zakªada si¦, »e naturalnymi estymatorami momentów rozkªadów prawdopoodobie«stwa s¡
odpowiednie momenty z próby losowej
E(X k )
(X1 , X2 , . . . , Xn )
1
(momenty empiryczne). Odpowiednikiem
Pn
k
moment z próby n
i=1 Xi . Estymatory wyznaczone metod¡
momentów w ogólno±ci nie s¡ wyznaczone jednoznacznie, to znaczy, »e mo»e istnie¢ wi¦cej ni» jeden
momentu rozkªadu
jest
k -ty
estymator wyznaczony metod¡ momentów danego parametru.
Ogólny algorytm post¦powania, aby obliczy¢ estymator metod¡ momentów:
1. Znale¹¢ funkcj¦ momentów teoretycznych równ¡ nieznanemu parametrowi, który estymujemy
2. Zast¡pi¢ momenty teoretyczne momentami empirycznymi, np. Zamiast warto±ci oczekiwanej
EX podstawi¢ ±redni¡ z próby
x̄ =
1
n
Pn
i=1 Xi .
Przykªadowe zadanie:
Wyznacz estymator momentów parametru
a
w rozkªadzie ci¡gªym o funkcji g¦sto±ci danej wzorem
fa (x) = a1[−0.5,0] (x) + 1[0,0.5] (x) + (1 − a)1[0.5,1] (x)
Rozwi¡zanie przykªadowego zadania:
Obliczmy pierwszy moment:
Z∞
EX =
−∞
xdx+
xadx+
xf (x)dx =
−0.5
Z1
Z0.5
Z0
0
0.5
0
0.5
1
ax2 x2 (1 − a)x2 1−a
x(1−a)dx =
+ +
.
=
2 −0.5 2 0
2
2
0.5
Mamy st¡d równanie na nieznany parametr:
a = 1 − 2EX .
Zast¦puj¡c EX ±redni¡ z próby otrzymujemy estymator
mentów:
â = 1 −
n
2X
Xi
n i=1
â
parametru
a
uzyskany metod¡ mo-