Zbieznosc martyngałów Procesy Stochastyczne, wykład 12, T

Zbieżność martyngałów
Procesy Stochastyczne, wykład 12, T. Byczkowski,
Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka
MAP1126
7-14 maj, 2012
Teoria martyngałów
Moment zatrzymania (”stopping time”)
Przykład. {Xn }n≥1 - ciąg niezal. zm. los. o jedn. rozkładzie,
np.
P
P(Xn = 1) = P(Xn = −1) = 1/2. Niech Y0 = 0, Yn = ni=1 Xi .
Definiujemy τa = inf{n ≥ 1; Yn ≥ a}, inf ∅ = ∞. Zachodzi
{τa > k} = {Yn < a; n ≤ k} ∈ Fk , gdzie Fn = σ{Xi ; i ≤ n}.
Definicja. (Ω, Σ, P) - przestrzeń prob., Ωτ ⊆ Ω, T - odcinek Z
lub R; {Ft ; t ∈ T } - rosnąca rodzina podσ-algebr Σ.
τ : Ωτ −→ T - moment zatrzymania, gdy {τ ≤ t} ∈ Ft , t ∈ T
Definiujemy ponadto
Fτ := {A ⊆ Ωτ ; A ∩ {τ ≤ t} ∈ Ft , dla każdego t ∈ T }.
Uwagi. 1. Gdy τ przyjmuje przeliczalnie wiele wartości to pow.
definicja jest równoważna następującej:
τ jest momentem zatrzymania wzgl. {Fn } jeśli dla każdego n
zachodzi {τ = n} ∈ Fn .
2. Fτ jest σ-algebrą ⊆ Ωτ ∩ Σ.
3. τ : (Ωτ , Fτ ) −→ (T , BT ) jest mierzalne.
Teoria martyngałów
Momenty zatrzymania c.d.
4. Porządek: τ1 ≤ τ2 , gdy Ωτ1 ⊇ Ωτ2 i τ1 (ω) ≤ τ2 (ω) dla ω ∈ Ωτ2 .
Dla ustalonego t0 ∈ T def. τ ∧ t0 = τ na zbiorze Ωτ ∩ {τ ≤ t0 }
oraz τ ∧ t0 = t0 na Ωcτ ∪ {τ > t0 }.
Dalej, {Xt ; t ∈ T } będzie oznaczać ustalony submartyngał
względem {Ft ; t ∈ T }. Pokażemy, że dla momentów zatrzymania
σ, τ zachodzi, przy dość ogólnych założeniach:
σ ≤ τ =⇒ Xσ ≤ E[Xτ |Fσ ] .
Lemat. Mierzalność Xτ (ω) = X (τ (ω), ω)
Niech Xt będzie Ft -adaptowana, t ∈ T . Gdy τ : Ωτ −→ T jest
momentem zatrzymania o skończonej liczbie wartości lub, gdy
trajektorie X są prawostr. cg. to τ : (Ωτ , Fτ ) −→ (R, BR ) jest
mierzalne.
Dowód Lematu. Druga część tezy wynika z pierwszej przez
aproksymację. Dla dowodu pierwszej,
S zauważmy, że dla B ∈ BR
zachodzi {Xτ ∈ B} ∩ {τ ≤ t} = s≤t {Xs ∈ B} ∩ {τ = s} ∈ Ft .
Teoria martyngałów
Stopowanie submartyngału
Tw. 1. (Doob - stopowanie submartyngału)
Niech τ1 ≤ τ2 , oraz τi przyjmują skończ. wiele wartości. Wtedy
Xτ1 ≤ E[Xτ2 |Fτ1 ] .
Dowód. Niech t0 < t1 <R· · · < tp - zbiór
R wartości τ1 , τ2 . Teza jest
równoważna nierówności A Xτ1 dP ≤ A Xτ2 dP dla A ∈ Fτ1 , tzn.
takich,
S że A ∩ {τ1 = tm } ∈ Ftm , dla m = 0, 1, . . . , p. Ponieważ
A
R = m A ∩ R{τ1 = tm } więc wystarczy pokazać, że
B Xtm dP ≤ B Xτ2 dP dla B ⊆ {τ1 = tm }, B ∈ Ftm . Ponieważ
Rτ2 ∧ tm = tm na B oraz τ2 ∧ tp = τ2 , więc wystarczy wykazać, że
B Xτ2 ∧tn dP jest niemalejącą funkcją n, dla m ≤ n ≤ p. Jednakże
B
R ∩ {τ > tn } ∈RFtn dla m ≤ n ≤ p Rwięc z wł. submartyngału
X
dP = B∩{τ2 ≤tn } Xτ2 dP + B∩{τ2 >tn } Xtn dP ≤
RB τ2 ∧tn
R
R
B∩{τ2 ≤tn } Xτ2 dP + B∩{τ2 >tn } Xtn+1 dP = B Xτ2 ∧tn+1 dP.
Teoria martyngałów
Nierówność maksymalna
Tw. 2. (Nierówność maksymalna)
Niech {Xt ; t ∈ T } będzie submartyngałem ośrodkowym. Dla dow.
c > 0 zachodzi
cP(sup Xt > c) ≤ sup EXt+ .
T
T
Gdy {Xt ; t ∈ T } - martyngał, to
cP(sup |Xt | > c) ≤ sup E|Xt | .
T
T
i=p
Dowód. Niech T = {ti }i=0
, gdzie t0 < t1 < . . . < tp . Niech
τ = inf{ti ; Xti > c}. τ - moment zatrzymania o wart. w T ,
określony na Ωτ = {supi Xti > c}. Stosujemy Tw. 1. do τ ∧ tp i
tp . Zachodzi:
R Xτ > c naR Ωτ oraz Ωτ ∈ RFτ ∧tp . Mamy
cP(Ωτ ) ≤ Ωτ Xτ dP = Ωτ Xτ ∧tp dP ≤ Ωτ Xtp dP ≤ EXt+p .
Ponieważ Xt+ - submartyngał, wiec EXt+p = supT EXt+ .
Teoria martyngałów
Nierówność maksymalna c.d.
Gdy T = {s0 , s1 , . . . , } jest zbiorem przeliczalnym to
supT Xt = limn (supm≤n Xsm ) więc z udowodnionej części
twierdzenia cP(supT Xt > c) = cP(supm≤n Xsm > c) ≤
limn supm≤n EXs+m = supT EXt+ . Ogólny przypadek wynika z
analogicznych argumentów zastosowanych do procesu rozważanego
na zbiorze ośrodkowości. Gdy Xt jest martyngałem, to |Xt | submartyngał i teza wynika z Tw. 2. zastosowanego do |Xt |.
Teoria martyngałów
Brak nieciągłości II-go rodzaju
Definicja.
Niech f : T → R. Liczbą przecięć γa,b (f ) przedziału (a, b) ⊆ R
przez f nazywamy supremum takich m, że dla s1 < s2 < . . . < s2m
zachodzi f (s1 ) > b, f (s2 ) < a, f (s3 ) > b, . . . , f (s2m ) < a.
Brak nieciągłości II-go rodzaju na T dla f oznacza istnienie
granic jednostronnych f na T = T ∪ {tl , tr }.
Lemat.
Funkcja f nie posiada nieciągłości drugiego rodzaju na T ⇐⇒
γa,b (f ) < ∞ dla dowolnej pary a, b ∈ R, a < b.
Dowód. Załóżmy, że istnieje t ∈ T takie, że α = lim inf s→t f (s)
< lim sups→t f (s) = β. Niech a, b ∈ R takie, że α < a < b < β.
Istnieje ciąg nieskończony (rosnący lub malejący) taki, że
f (s2i+1 ) > b, f (s2i ) < a, więc γa,b (f ) = ∞.
Teoria martyngałów
Brak nieciągłości II-go rodzaju c.d.
Gdy f nie posiada nieciągłości II-go rodzaju na T , to dla dow.
ε > 0 i dow. t ∈ T istnieje odcinek otwarty Ut taki, że na
Ut ∩ (−∞, t) i Ut ∩ (t, ∞) funkcja f ma oscylację mniejszą niz ε.
Skończona ilość takich przedziałów pokrywa T więc istnieje
skończony ciąg {ti }, tl = t1 < t2 < · · · < tn = tr taki, że
Osc(ti ,ti+1 ) f < ε. Gdy n jest ilością przedziałów (ti , ti+1 )
pokrywających T to przyjmując 2ε < b − a otrzymujemy, że
γa,b (f ) ≤ n + 1.
Tw. 3. Zachodzi (b − a)Eγa,b ≤ supT E[(Xt − b)+ ]
dla submartyngału {Xt ; Ft ; t ∈ T }, gdzie γa,b (ω) oznacza ilość
przecięć przedziału (a, b) przez trajektorie Xt (ω).
Dowód. Niech T = {ti }, t0 < t1 < . . . < tp . Definiujemy τ1
równe pierwszemu tq , dla którego Xtq > b, 0 ≤ q ≤ p. τm jest
równe pierwszemu ti > τm−1 (o ile takie istnieje), dla którego
Xti < a, dla m parzystych i Xti > b, dla m nieparzystych.
Teoria martyngałów
Liczba przecięć przedziału
Ciąg Ωm = Ωτm ⊆ Ω dziedzin momentów zatrzymania τm jest
malejący oraz t0 ≤ τ1 < τ2 < . . . < τm < . . . ≤ tp . Niech
γa,b (t0 , . . . , tp ; ω) oznacza liczbę przecięć przedziału (a, b) ciągiem
{Xt0 (ω), . . . , Xtp (ω)}. Wtedy
Ω2m = {γa,b (t0 , . . . , tp ) ≥ m}
więc γa,b (t0 , . . . , tp ) jest zmienną losową. Dalej, zauważmy, że
Xτ2m−1 > b na Ω2m−1 , Xτ2m < a na Ω2m . Zachodzi τ2m−1 ∧ tp
≤ τ2m ∧ tp oraz Ω2m−1 ∈ Fτ2m−1 ∧tp . Stosując Tw. 1 do momentów
zatrzymania
τ2m−1 ∧ tp i τ2m R∧ tp otrzymujemy:
R
0 ≤ Ω2m−1 (Xτ2m−1 − b)dP ≤ Ω2m−1 (Xτ2m ∧tp − b)dP ≤
R
(a − b)P(Ω2m ) + Ω2m−1 \Ω2m (Xtp − b)dP, bo τ2m ∧ tp = tp na
P
c . Jednak Eγ (t , . . . , t ) =
Ω
0
p
a,b
2m
m≥1 P(γa,b (t0 , . . . , tp ) ≥ m) =
P
m≥1 P(Ω2m ), więc z poprzedniego wzoru otrzymujemy tezę.
Niech teraz T = {si }∞
i=0 . Teza dla przypadku dyskretnego wynika
z wzoru γa,b (ω) = limn γa,b (s0 , . . . , sn ; ω) poprzez przejście
graniczne. Wzór dla martyngałów ośrodkowych wynika z def.
ośrodkowości zastosowanej do zbioru ośrodkowości T = {si }∞
i=0 .
Teoria martyngałów
Brak nieciągłości II-go rodzaju
Wniosek. Dla submartyngału spełniającego supT EXt+ < ∞
zachodzi inf t≥s Xt > −∞ z prawd. 1, dla dow. s ∈ T .
Dowód. Ponieważ (Xt − b)+ ≤ Xt+ + b − więc
supT E(Xt − b)+ < ∞, dla dow. b ∈ R. Z Tw. 3 otrzymujemy
1
P(γa,b > 0) ≤ Eγa,b ≤ (b−a)
supT E(Xt − b)+ . Ponieważ γa,b
maleje, gdy a → −∞ więc {γa,b > 0} maleje do zbioru o prawd. 0.
Jeśli Xs (ω) > b to γa,b = 0 pociąga za sobą inf t≥s Xt ≥ a > −∞.
Zatem inf t≥s Xt > −∞ z prawd. 1 na zbiorze {Xs > b}. Gdy
b → −∞, otrzymujemy tezę.
Tw. 4. Trajektorie submartyngału (ośrodkowego)
spełniającego supT EXt+ < ∞ nie mają nieciągłości drugiego
rodzaju na T , z prawd. 1.
Teoria martyngałów
Zbieżność martyngału
Dowód. Z Tw. 3, γa,b < ∞, dla a, b wymiernych, z prawd. 1,
czyli trajektorie nie mają nieciągłości II-go rodzaju w R. Gdyby
limt→+ ∞ Xt = ∞ na zbiorze ∆, P(∆) > 0 to z Lematu Fatou
−
dostalibyśmy
sprzeczność:
R
R
∞ = ∆ lim inf t→+ ∞ Xt+ dP ≤ lim inf ∆ Xt+ dP ≤ supT EXt+ .
−
Z poprzedniego wniosku limt→∞ Xt > −∞. Gdy limt→−∞ EXt−
< ∞ to także limt→−∞ Xt > −∞.
Tw. 5. Niech {Xt ; Ft ; t ∈ T } będzie martyngałem
ośrodkowym, T - odcinkiem prawostronnie otwartym.
Następujące warunki są równoważne:
1. limt↑tr Xt = X w L1 (P);
2. Xs = E[X |Fs ], s ∈ T , dla X ∈ L1 (P);
3. {Xt ; t ∈ T } - jednostajnie całkowalne.
Jeśli powyższe warunki są spełnione to limt↑tr Xt = X
istnieje z prawd. 1 i w L1 (P).
Teoria martyngałów
Zbieżność martyngału
Dowód. Warunkowa wartość oczekiwana jest operacją ciągłą na
L1 (P), więc jeśli limt↑tr Xt = X w L1 (P) to dla t > s zachodzi
Xs = E[Xt |Fs ] = limt↑tr E[Xt |Fs ] = E[X |Fs ], więc 1. ⇒ 2.
Jeśli zachodzi warunek 2, to oznaczając Xtr = X otrzymujemy, że
{Xt ; t ∈ T ∪ {tr }} jest martyngałem określonym na prawostronnie
domknietym odcinku T ∪ {tr }, więc jest jednostajnie całkowalny,
czyli 2. ⇒ 3.
Jeśli założymy warunek 3, to supT E|Xt | < ∞ pociąga za sobą
istnienie limt↑tr Xt = X z prawd. 1, a z jednostajnej całkowalności
w L1 (P), czyli 3. ⇒ 1.
Wniosek. Niech {Xt ; Ft ; t ∈ T } - martyngał spełniający
warunek supT E|Xt |p < ∞, dla pewnego p > 1. Wtedy
zachodzą warunki poprzedniego twierdzenia oraz
limt↑tr Xt = X istnieje w Lp (P).
Teoria martyngałów