log x
Transkrypt
log x
Lista pomocnicza / matematyka / L1 FiR, Z wielomiany, funkcje trygonometryczne, wykładnicze i logarytmiczne A1. Narysować wykresy funkcji: a) y = 2x - 4; b) y = |2x – 4|; e) y = |x2 – 4x + 4|; f) y = x2 – 4|x| + 4; c) y = |2x – 4| – 3; g) y = |x2 – 4| – 4; d) y = |x – 4| + |x + 4|; g) y = –(x – 4)2 + 2. A2. Sprawdzić, która z poniŜszych nierówności jest prawdziwa: b) 2 log 2 3 > 2 3 ; f) |sin3| < |sin4|. log 2 a) log10 3 10 > log102; e) sin3 < sin4; c) 2 A3. Znaleźć pierwiastki równań: b) x5 + 3 = 3x4 + x; a) x3 + 2x2 – x = 2; log 2 3 > 3log 3 2 ; d) 1 2 log 3 < 13 log 2 ; d) 2sin2x + 5sinx = –2. c) |sinx + cosx| = 1; A4. Rozwiązać równania: a) 3 5 x+2 − x −6 2 = 4 3− x ; e) 4 x −5 ⋅16 x +3 = 64 ; b) 3− x x +3 + x152 +−3xx = 0 ; f) 32 x − 2 ⋅ 3x = 3 ; d) x = 2 − − 10 x − x 2 ; x+2 = x; c) g) 4 x +1 = 64 ⋅ 2 x +1 ; h) log2(10x) + log(x) = 19. 4 A5. Przyporządkować wykresom na rysunkach obok odpowiadające im funkcje: a) log2 x; b) log 1 x ; c) log10 x; d) log 1 x ; e) 2 x ; f) 3 x ; 2 −2 g) 2 −x 3 10 2 ; h) 2sinx; i) sinx – cosx; j) sin x; k) cos2x. 2 2 π 1 1 -π π 2π -2 -1 1 2 3 -1 -1 -2 -2 A6. Narysować (na wspólnym rysunku) wykresy grupy funkcji: a) f1(x) = 2x, f2(x) = 2-x, f3(x) = 2x – 3 + 3, f4(x) = 2x-1 + 2-x+1; b) g1(x) = log2 x, g2(x) = log 1 | x | , g3(x) = log2 (x – 2)2; -3 2 c) y1(x) = sinx – 1; y2(x) = sinx + sin2x; y3(x) = x + sinx; y4(x) = xsinx, y5(x) = cos2x. B7. Rozwiązać równania (i nierówności): 1− x a) ( 12 ) | x| ≤ 1 ; b) sin(4x) = sin(3x); c) tgx tg7x = 1; d) log 2 ( 3 x − 7 ) ≤ 1 ; e) log 1 (1 − 2 x) > −1 ; f) g) 4 x + x = 12; x + 2 − 2x − 3 = 1; 3 h) 3sin 2 3x = 2 + 3cos 2 3x i) log|x|(x4 + x3 – 6x2– 7x) = 4. ; B8. Znaleźć liczbę pierwiastków równania w zaleŜności od wartości parametru t: a) (x – 1)2 – 5|x – 1| = t; b) |sinx + cosx| = t, dla x ∈ [0, π ); c) logt x = sinx; log x 2 + log y 2 = − 32 B9. Rozwiązać układy równań: a) log 2 x + log 2 y = −3 ; d) |x2- 6|x| + 8| = t. 2 log x − log y = log 9 b) y−x 1 10 = 100 . B10. Czy suma funkcji: a) okresowych b) parzystych c) nieparzystych jest funkcją a) okresową b) parzystą c) nieparzystą? Odpowiedź uzasadnić. ●◘○●◘○●◘○●◘○●◘○●◘○●◘○ funkcja wykładnicza (potęgowa) f (x) = ax, gdzie a > 0, a ≠ 1. funkcja logarytmiczna g(x) = loga x, gdzie a > 0, a ≠ 1, x > 0; ab = c ⇔ log a c = b . ax bx = (a b)x; ax + y = ax ay; ax - y = ax : ay; a0 = 1; a-x = 1 ax loga a = 1; loga 1 = 0; a = x . log10 x := log x; loge x := lnx, x n 1 n lim(1 + n ) = e ; lim(1 + n ) = e x . k–1 (x )′ = k x ; n →∞ x (a )′ = ax ln x; (loga x)′ = π ≈ 3,14159; π - 180O, π 2 - 90O, π 3 1 x ln a ; (ln x)′ = b c 1 x loga b logb c = loga c; gdzie e ≈ 2,71828 – stała Eulera. log a x n →∞ k ( a) . loga b c = c loga b ; loga bc = loga b – loga c; loga bc = loga b + loga c; b ; a c = c ab = . - 60O, etc … sin(x + π2 ) = cosx; sin(x + 2k π ) = sinx; cos(x + 2k π ) = cosx; sin2x + cos2x = 1; sin(x + y) = sinx cosy + cosx siny; cos(x + y) = cosx cosy – sinx siny; sin2x = 2sinx cosx; cos2x = cos2x – sin2x; –1 sin x tgx = cos x = (ctgx) ; (sinx)′ = cosx; (cosx)′ = –sinx; (tgx)′ = (cosx)–2; (ctgx)′ = –(sinx)–2. x 0 π π π π 6 4 3 2 sinx 0 1 2 2 2 cosx 1 3 2 tgx 0 1 3 ctgx – 3 2 2 3 2 1 2 1 1 3 1 3 π 1 0 0 –1 – 0 0 – funkcja okresowa o okresie t: f (x + t) = f (x) dla dowolnego x. funkcja parzysta: f (–x) = f (x); funkcja nieparzysta: f (–x) = – f (x) dla dowolnego x. Ad. A3. b) x5 – x – 3x4 + 3 = 0 ⇔ x(x4 – 1) – 3(x4 – 1) = 0 ⇔ (x – 3)(x – 1)(x + 1)(x2 + 1) = 0. Ad. A4. f) 3 x := t, t > 0. Ad. A4. h) log(a b) = log a + log b. Ad. B8. c) Narysować wykresy funkcji sinx i, na przykład, log4 x. Uogólnić spostrzeŜenia osobno dla t > 1 i osobno dla t < 1.